重难专题01 全等三角形的倍长中线模型（解析版）

重难专题01全等三角形的倍长中线模型如图，在中，为边上的中线．(1)按要求作图：延长到点E，使；连接．(2)求证：．(3)求证：．(4)若，，求的取值范围．【分析】（1）根据题目中语言描述画出图形即可；（2）直接利用证明即可；（3）根据，得，从而得出，再根据三角形三边关系即可得出，即可得出结论；（4）根据三角形三边关系得，又由，，，，代入即可求解．【详解】（1）解：如图所示，

（2）证明：如图，

∵为边上的中线，∴，在和中，，∴．（3）证明：如图，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．（4）在中，，由（3）得，，∵，，∴，∴，∴．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形三边的关系是解题的关键．“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，是的中线，延长到，使，连接，构造出和．求证：．【分析】由是的中线，可得，再由，，即可证明．【详解】证明：如图所示：

，是的中线，，在和中，，．【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，倍长中线，熟练掌握三角形全等的判定，添加适当的辅助线是解题的关键．如图，在中，是边上的中线．延长到点，使，连接．(1)求证：；(2)与的数量关系是：____________，位置关系是：____________；(3)若，猜想与的数量关系，并加以证明．【分析】(1)根据三角形全等的判定定理，即可证得；(2)由，可得，，据此即可解答；(3)根据三角形全等的判定定理，可证得，据此即可解答．【详解】（1）证明：是BC边上的中线，，在与中，；（2）解：，，，，故答案为：，；（3）解：证明：，，，，在和中，，．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．(1)阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；(2)问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．【分析】（1）延长至，使，连接，证明，根据三角形三边关系即可求解；（2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，证明在中，由三角形的三边关系得，即可得证；（3）延长至点，使，连接，证明，，根据求的三角形的性质即可得证．【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图①所示：∵是边上的中线，∴，在和中，∴，∴，在中，由三角形的三边关系得：，∴，即，∴；故答案为：；（2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示同（1）得，，，，，在中，由三角形的三边关系得，（3）证明如下：延长至点，使，连接，如图所示，在和中，，，，，在和中，，．，【点拨】本题考查全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到M，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．问题：(1)依据小明的做法，请你补全图形，并写出的取值范围；(2)根据你补全的图形，写出与的数量关系和位置关系，并加以证明．【分析】（1）延长到，使得，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可；（2）由（1）知，，可知，，进而可知；【详解】（1）解：如图，延长到，使得，连接，∵是的中线，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∴，，∴，故答案为：；（2），且，理由是：由（1）知，，∴，，∴【点拨】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米．【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：．【分析】（1）证明△ABC≌△DEC，由全等三角形的性质即可得AB＝DE；（2）延长到点E使，再连接，由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝3，由三角形三边关系可得1＜AD＜4；（3）在BC上截取BG＝AF，易证△ABG≌△ADF，可得DF＝AG和∠DFA＝∠BGA，即可求证△ACG≌△EAF，可得GE＝AF，即可解题．【详解】（1）解：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴DE＝AB=100米；故答案为：100米（2）延长到点E使，再连接如图所示∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE＝3，∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故答案为：1＜AD＜4；（3）证明：在BC上截取BG＝AF，∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝90°∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF＝90°∴∠CBA＝∠DAF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF，（SAS）∴DF＝AG，∠DFA＝∠BGA，∴∠EFA＝∠CGA，∵在△ACG和△EAF中，，∴△ACG≌△EAF（AAS）∴EE＝AG＝FD．∴【点拨】考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．一、单选题1．是的中线，，则的取值可能是（

）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】A【分析】先画出图形，延长至点，使得，连接，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的三边关系定理即可得．【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，则，

是的中线，，在和中，，，，在中，，即，，观察四个选项可知，只有A符合，故选：A．【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．2．已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】延长至E，使，连接，证明，得到，然后利用三角形的三边关系求解．【详解】解：延长至E，使，连接，∵，∵是中边上的中线，∴，∵，∴∴，∴在中：，即，∴，故选A．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边形关系．熟练掌握倍长中线法，构造全等三角形，以及三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键．3．如图，在中，，，是边上的中线，则的长度可能为（

）A．1 B．2 C．5 D．8【答案】C【分析】延长至点，使，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系，即可得到的取值范围．【详解】解：如图，延长至点，使，连接，∵是边上的中线，∴，又∵，∴，∴∴，∴，即：，∴，故选C．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系．解题的关键是：倍长中线法，证明三角形全等．4．如图，在中，为边上的中线，若，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】延长到E，使，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解．【详解】解：如图，延长到E，使，∵为边上的中线，∴，在和中，，∴（SAS），∴，∵，，∴，即，∵，∴．故选：A．【点拨】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延长，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．5．如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，从而得到的取值范围．【详解】如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，∵是边上的中线，∴，在△ABD和△CDE中，，∴△ABD△CDE（SAS），∴AB＝CE=5，AD＝DE，∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，∴4＜AE＜14，∴2＜AD＜7．故选：C．【点拨】本题主要考查倍长中线法解题，能够做出辅助线证出三角形全等再结合三角形三边关系是解题关键．6．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（

）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4【答案】B【分析】先延长到，且，并连接，由于，，利用易证，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，可得，从而易求．【详解】解：延长到，使，连接，则AE=2AD，∵，，，∴，，在中，，即，∴．故选：．【点拨】此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．二、填空题7．在中，，是边上的中线，则的取值范围是__．【答案】【分析】延长到E，使，证明，则，根据三角形三边关系得到，即可得到的取值范围．【详解】解：如图，延长到E，使，

∵是边上的中线，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延长，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．8．如图，在中，为中线，且，则边的取值范围是___________．【答案】【分析】延长至，使得，连接，先证明，由此可得，，再根据三角形存在性，求得，即得到边的取值范围．【详解】解：如图，延长至，使得，连接，∵在中，为中线，∴，在与中，∵，∴，∴．∵，又∵，，∴，，在中，∵，∵，，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了倍长中线构造全等三角形以及三角形存在性，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键．9．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为__．【答案】；【分析】延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．【详解】

如图：延长至使，连接在和中：∴∴∵∴∴∵∴∴∴即∴【点拨】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D是BC的中点，且AD⊥AC，若AC＝3，则AB的长为________．【答案】6【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接BE，由∠BAC=120°，∠DAC=90°，可得∠BAE=30°，根据SAS可证明△BED≌△CAD，从而可得∠BED=∠DAC=90°，BE=AC，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长.【详解】延长AD至E，使DE=AD，连接BE，∵∠BAC=120°，∠DAC=90°，∴∠BAE=∠BAC-∠DAC=30°，在△BED和△CAD中，，∴△BED≌△CAD（SAS），∴∠BED=∠DAC=90°，BE=AC=3，∴AB=2BE=6，故答案为6.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造出含30度角的直角三角形是解题的关键.三、解答题11．如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围．【答案】【分析】倍长中线至点N，构造，易得，再利用三角形的三边关系找到的取值范围，进而得到的取值范围．【详解】解：如图，延长到点，使，连接，在和中，，（SAS），，在中，，，即，，即．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的三边关系，解决本题的关键是倍长中线构造全等三角形．12．规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题：(1)求证：和是兄弟三角形．(2)取的中点P，连接，请证明．【分析】（1）根据，，即可证明；（2）延长至E，使，先证，推出，，进而推出，再证，即可推出，由此可证．【详解】（1）证明：，，又，，和是兄弟三角形．（2）证明：延长至E，使，P为的中点，，在和中，，，，，，，又，，，，，在和中，，，又，．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．13．在中，，，垂足为，点是延长线上一点，连接．(1)如图①，若，，求的长；(2)如图②，点是线段上一点，，点是外一点，，连接并延长交于点，且点是线段的中点，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）在等腰直角三角形，，，由勾股定理可求出，再由勾股定理可求的长；（2）延长到点，使得，连接，证得，再证明可得，，从而得到，即可得出【详解】（1）解：∵，∴∴，解得则，∴；（2）证明：延长到点，使得，连接．如图所示：在和中，，∴，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形性质等知识，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质．14．（1）已知：如图，△ABC和△DEF，，，AP、DQ分别是BC和EF边上的高，且．求证：；（2）如果（1）中的条件不变，“如图”二字去掉，那么△ABC与△DEF全等吗?如果全等请证明，如果不全等请举出反例．（3）如果把（1）中的条件“AP、DQ分别是BC和EF边上的高”改为“AP、DQ分别是BC和EF边上的中线”，请证明：．【答案】（1）见解析；（2）不一定全等；反例见解析；（3）证明见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可；（2）没有如图三角形的高线的位置不可知，所以无法求证；（3）根据全等三角形的判定和性质证明即可．【详解】解：（1）∵在△ABC和△DEF中，AP、DQ分别是三角形的高，∴，，在Rt△ABP和Rt△DEQ中，，∴(HL)，∴，

在Rt△ACP和Rt△DFQ中，，∴(HL)．∴，∴，即，在△ABC和△DEF中，∴(SAS)；（2）不一定全等，反例如图：；（3）延长AP至M，使得，延长DQ至N，使得．

∴，∵∴∵AP、DQ是中线∴，在△ACP和△MBP中，∴(SAS)，∴，在△DFQ和△NEQ中，∴△DFQ△NEQ(SAS)，∴，，∵，∴，在△ABM和△DEN中，∴△ABM△DEN(SSS)，∴，，∴，∴，即，在△ABC和△DEF中，∴△ABC△DEF(SAS)，【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握三角形的高和中线的相关性质．15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．(1)如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；(2)如图②，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AD＝BC，理由见解析【分析】（1）运用“”即可证明△ACD≌△EBD；（2）根据（1）方式作出辅助线，根据全等三角形的性质证明ACBE，然后再证明△BAC≌△ABE即可得出结论．【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS）；（2）AD与BC的数量关系为：AD＝BC，理由如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，如图2所示：同（1）得：△ACD≌△EBD（SAS），∴AC＝BE，∠DAC＝∠DEB，∴ACBE，∴∠BAC+∠ABE＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ABE＝90°，在△BAC和△ABE中，，∴△BAC≌△ABE（SAS），∴BC＝AE，∵AD＝DE＝AE，∴AD＝BC．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂题意，掌握“倍长中线法”构造全等三角形是解本题的关键．16．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．（2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．【答案】（1）；（2）且【分析】（1）用倍长中线模型，构造全等三角形，即可求出中线的取值范围；（2）用倍长中线模型，通过证明三角形的全等，可求出线段与的数量和位置关系．【详解】解：（1）如下图，延长，使得，则，∵D是的中点，∴，在和中，，∴，∴，在中，可得：，即，∵，∴，∴，∴边上的中线的取值范围为：；（2）且，证明如下：如下图，延长，使得，延长与交于点H，由（1）可易证，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，

∴，∵，∴，∴，综上所述，且．【点拨】本题考查三角形中线的定义、三角形全等的判定和性质，用倍长中线模型添加辅助线是解本题的关键，综合性较强，难度较大．17．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．【答案】（1）1＜AD＜6；（2）见解析；（3）结论：EF＝BE﹣FD，证明见解析．【分析】（1）先证明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三边关系解答即可；（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．再证明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系解答即可；（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．【详解】（1）解：如图1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC＝AB＝5，∵7﹣5＜AE＜7+5，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6，故答案为1＜AD＜6．（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∵FD⊥EH．DE＝DH，∴EF＝FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH＝BE，FH＝EF，∴BE+CF＞EF．（4）结论：EF＝BE﹣FD证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，∵AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，∴∠GAE＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．【点拨