《概率论与数理统计》习题第五章数理统计的基本概念

第五章数理统计的基本概念一.填空题1.设X1,X2,…,Xn为来自总体N(0,2),且随机变量,则常数C=___.解.~N(0,n2),所以.2.设X1,X2,X3,X4来自正态总体N(0,22)的样本,且,则a=______,b=______时,Y服从2分布,自由度为______.解.X1－2X2～N(0,20),3X3－4X4～N(0,100),;.Y为自由度2的2分布.3.设X1,X2,…,Xn来自总体2(n)的分布,则解.因为X1,X2,…,Xn来自总体2(n),所以E(Xi)=n,D(Xi)=2n(i=1,2,…,n)二.单项选择题1.设X1,X2,…,Xn为来自总体N(0,2)的样本,则样本二阶原点矩的方差为(A)2(B)(C)(D)解.X1,X2,…,Xn来自总体N(0,2),所以.(C)是答案.2.设X1,X2为来自正态总体N(,2)的样本,则X1+X2与X1－X2必(A)线性相关(B)不相关(C)相关但非线性相关(D)不独立解.假设Y1=X1+X2,Y2=X1－X2所以E(Y2)=E(X1)－E(X2)=0.cov(Y1,Y2)=E(Y1Y2)－E(Y1)E(Y2)=E(.(B)是答案.3.设X服从正态分布N(0,22),而X1,X2,…,X15为来自总体X的简单随机样本,则随机变量所服从的分布为(A)2(15)(B)t(14)(C)F(10,5)(D)F(1,1)解.,所以,即(C)是答案.三.计算题1.设X1,X2,…,X102)的一个样本,求.解.因为X1,X2,…,X102)的一个样本,所以2.从一正态总体中抽取容量为10的一个样本,若有2的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上,试求总体的标准差.解.因为总体X服从N(,2),所以.由知即查表得3.设总体X～N(72,100),为使样本均值大于70的概率不小于0.95,问样本容量至少应取多大?解.假设样本容量为n,则由得P(>所以.4.设总体X服从N(,4),样本(X1,X2,…,Xn)来自X,为样本均值.问样本容量至少应取多大才能使i.ii.解.i.所以n³40.ii..所以(,查表得n³15375.设,证明:i.=;ii..解.i.===ii.==上海第二工业大学《概率论与数理统计》复习题填空题1.已知，则的关系是独立。2．已知互相对立，则的关系是互相对立。3.为随机事件，，，，则0.3。4.已知，，，则0.7。5.为随机事件，，，，则____。6．将一枚硬币重复抛掷3次，则正、反面都至少出现一次的概率为。7.设某教研室共有教师11人，其中男教师7人，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为_______。8.设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不放回，则第2次抽出的是次品的概率为______。9.3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为，则此密码被译出的概率为______。10．随机变量能取，取这些值的概率为，则常数__。11．随机变量分布律为，则__。12.是的分布函数，则分布律为____。13．随机变量的分布函数为，则____。14.随机变量，，__0.025。15.设，若,则__3__。（注：）16．设，其分布函数为，则有1。17．已知随机变量的分布律为，则随机变量函数的分布律为_____。18.已知随机变量的概率分布为,则的分布函数为___。19.若服从的分布是，则服从的分布是。20．设，且相互独立，则_____。21．若，独立，则服从的分布是。22.，独立，则服从的分布是。23.随机变量，则__5__，___。24.随机变量，则__-4__，____。25.设随机变量相互独立，其中在上服从均匀分布，服从正态分布服从参数为的泊松分布，记,则__12___。26.若是取自总体的一个样本，则服从______。27．设是的无偏估计，则必须满足条件。28．总体以等概率取值，则未知参数的矩估计量为_____。29．设为的样本，，则关于的矩估计量是。30．设由来自正态总体容量为9的简单随机样本,得样本均值,则未知参数__。（附：）二、选择题1．设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（A）。(A)（B）(C)(D)2．事件满足：（A）。3.连续型随机变量分布函数，其中常数值为（C）。（A）（B）（C）（D）4．若可以成为某随机变量的概率密度函数，则随机变量的可能值充满区间(B),（A） （B）（C） （D）5.当随机变量的可能值充满区间(A),则可以成为某随机变量的密度函数。 （B）（C） （D）6.随机变量服从参数的指数分布，则（D）。（B）（C）（D）7.随机变量服从，若增大，则（D）。单调增大（B）单调减小（C）增减不定（D）保持不变8.设随机变量的概率密度，则的概率密度是（B）。（B）（C） （D）9.关于联合分布与边缘分布的关系，以下结论错误的是（C）。（A）二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布（B）二维均匀分布的两个边缘分布未必是均匀分布（C）边缘分布可以唯一的确定联合分布（D）联合分布可以唯一的确定边缘分布10.设（）的联合分布函数为，则其边缘分布函数（B）。（B）（C）（D）11.随机变量相互独立，且，则必有（C）。（A）（B）（C）（D）。12．关于正态分布的结论中错误的是（C）。（A）服从正态分布的随机变量的任一线性变换后仍然服从正态分布（B）边缘分布是正态分布，联合分布不一定是正态分布（C）联合分布是正态分布，边缘分布不一定是正态分布（D）正态分布的数学期望决定了密度函数的对称轴，方差决定了密度函数的陡峭程度13.已知离散型随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数的值为（B）。 （B）（C） （D）14．已知随机变量离散型随机变量的可能取值为，且，则对应于的概率为（A）。 （B）（C） （D）15.设随机变量，则下列计算正确的是（C）。（A）（B）（C）（D）16．设随机变量密度函数为，已知，若，则下列计算正确的是（D）。（A）（B）（C）（D）17.已知总体服从参数的泊松分布（未知），为的样本，则（C）。（A）是一个统计量（B）是一个统计量（C）是一个统计量（D）是一个统计量18.设总体，其中已知，未知。是取自总体的一个样本，则非统计量是（D）。（A）（B）（C）（D）。19.人的体重为随机变量，，，10个人的平均体重记为，则（A）。(A)（B）(C)(D)20．设服从正态分布，为取自总体的一个样本，则（B）。（A）（B）（C）（D）。21．设服从正态分布，为的样本，则（C）。（B）（C）（D）22．设服从正态分布，，则服从（A）。（A）（B）（C）（D）23.从总体中抽取样本，以下结论错误的是（B）。（A）服从正态分布（B）服从（C）（D）24.设是总体的方差存在，为的样本，以下关于无偏估计量的是（D）。（A）（B）（C）（D）25.从总体中抽取简单随机样本，统计量，，，都是总体均值的无偏估计量，则其中更有效的估计量是（C）。（A）（B）（C）（D）26.设是总体的方差，为的样本，则样本方差为总体方差的（C）。（A）矩估计量（B）最大似然估计量（C）无偏估计量（D）有偏估计量27.设是参数置信度为的置信区间，则以下结论正确的是（C）。参数落在区间之内的概率为参数落在区间之外的概率为区间包含参数的概率为对不同的样本观察值，区间的长度相同28.设为总体的未知参数，为样本统计量，随机区间是的置信度为的置信区间，则有（B）。（A） （B）（C）（D）29．在假设检验中，表示原假设，表示对立假设，则称为犯第一类错误的是（A）。(A)不真，接受 (B)不真，接受(C)不真，接受(D)不真，接受30．总体，样本，假设检验，则的拒绝域为（D）。（A）（B）（C）（D）三、计算题1．某厂生产的100个产品中，有95个优质品，采用不放回抽样，每次从中任取一个，求：（1）第一次抽到优质品；（2）第一次、第二次都抽到优质品；（3）第一次、第二次都抽到优质品、第三次抽到非优质品的概率。解：设：第次取到优质品，（1）；（2）；（3）。2．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱中含0，1只残次品的概率分别为0.8和0.2，一个顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时顾客开箱验货，顾客随机的察看了4只，若无残次品则购买下该箱玻璃杯，否则退回。试问：顾客购买该箱玻璃的概率。解：设且已知：3.有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。掷一枚骰子，若出现1，2，3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否则选丙盒。然后从所选中的盒子中任取一球。求：（1）取出的球是白球的概率；（2）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。解：：取到白球，：取到黑球；：甲盒；：乙盒；：丙盒取到白球的概率。（2）取到白球是从甲盒中取出的概率。4.设一盒中有5个纪念章，编号为1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3个，用表示取出的3个纪念章上的最大号码，求：（1）随机变量的分布律；（2）分布函数。解：设为取出的3个纪念章上的最大号码，则的可能取值为；；；；于是的分布律为，。5．某型号电子管，其寿命（以小时计）为一随机变量，概率密度函数（1）试求一个电子管使用150小时不用更换的概率；（2）某一电子设备中配有10个这样的电子管，电子管能否正常工作相互独立，设随机变量表示10个电子管中使用150小时不用更换的个数，求的分布律。解：（1）设电子管的寿命为随机变量，（2）设10个电子管中使用150小时不用更换的个数为随机变量，则依题意，，。6.某人有9把钥匙，其中只有一把能打开一门。今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需要试开次数（记为随机变量）的数学期望和方差。解：设打开门的次数，可能取值为。所以，，于是，，。设随机变量的概率密度为，；试求：（1）常数；（2）；（3）设，求。解：（1）；；于是，。（2），。（3）。8．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩72分，96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60-84分之间的概率。附表：0解：设考生外语成绩,。9.口袋里有2个白球，3个黑球。现不放回地依次摸出2球，并设随机变量，。试求：（1）的联合分布律；（2）和的边缘分布律；（3）问是否独立？（4）。解：（1）联合分布为：0101（2），（3），所以与独立。（4）。。10．设随机变量相互独立，且等可能的取1，2，3为值，定义随机变量，试求：（1）的联合分布律；(2)是否相互独立？解：（1）因为独立，依题意的联合分布为XY12311/91/91/921/91/91/931/91/91/9又因为，则UV12311/90022/91/9032/92/91/9这里其余同理可得。（2）。11.设同时独立地掷一枚硬币和一颗骰子两次，用表示两次中硬币出现的正面次数，用表示两次骰子点数不超过4的次数。（1）求的联合分布。（2）求的和分布。（3）解：设可能取值为0，1，2；可能取值为0，1，2.于是，，.由于与相互独立，所以联合分布为YX012012和分布为：，。12.设随机变量的概率密度为，试求：（1）的边缘概率密度；（2）。解：（1）（2）。13.设随机变量在区域上服从均匀分布，试求：（1）随机变量的概率密度函数；（2）。解：（1）因为服从均匀分布，所以其联合密度函数为。（2）。14.设二维随机变量的概率为（1）求的两个边缘密度；（2）判断是否相互独立；（3）求；（4）求的分布函数。解：（1）（2），不独立；（3）（4）。15.设二维随机变量具有概率密度求常数A；（2）求联合分布函数；（3）求边缘密度；并问是否独立？（4）求。解：（1）由于，得。（2）当或时，因为，所以，。当时，；所以，。（3）边缘密度函数为：；；由于，所以独立。（4）。或。16．设随机变量相互独立，服从（0，1）均匀分布，服从参数为1的指数分布，试求：（1）随机变量的分布的密度函数；（2）。解：（1）因为，又因为又因为，则（2）因为因为服从均匀分布，所以因为服从指数分布，所以故。17.设随机变量具有概率密度求：（1）（2）解：（1）；（2）18.设总体的概率密度列其中是未知参数，得到总体的样本值：1，3，0，2，3，3，1，3，（1）求参数的矩估计值；（2）求参数的最大似然估计值。解：（1）；；。（2）；，；，因为，所以舍去，所以。19.设总体的概率密度为，其中的未知参数，是来自总体的一个样本，（1）求参数的矩估计量；（2）求参数的最大似然估计量。解：（1），于是未知参数的矩估计量为。构造似然函数；取对数：；令，即未知参数的最大似然估计值为。20．设总体服从正态分布，为其样本，试求：（1）的矩估计量；（2）若，多大时方能使的90%的置信区间的长度不超过1？()解：（1）由矩估计法知（2）记关于的置信区间长度为L当时，。21．从一批钉子中随机抽取16枚,测得其长度(单位:厘米)为：2.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11.假设钉子的长度服从正态分布,求总体均值的置信度为90%的置信区间。(保留到小数后四位）解：所以的置信度为90%的置信区间为：。22．某大学数学测验，抽得20个学生的平均分数为，样本方差，假设分数服从正态分布，求的置信度为9