2021届高三数学第一学期单元测试第十四章 空间直线与平面 单元测试（过关解析版）

第十四章

空间直线与平面单元测试（基础过关）

一、填空题

1.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定个平面.

【答案】1

【解析】

两条平行直线确定1个平面，根据两点在平面上可知直线也在平面上，从而得到结果.两条平行直线可确定1个平

面

•••直线与两条平行直线交于不同的两点该直线也位于该平面上

这三条直线可确定1个平面

本题正确结果：1

【点睛】

本题考查空间中直线与平面的关系，属于基础题.

2.给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直

线平行；④平行于同一直线的两直线平行.其中正确命题的序号是—.

【答案】④

【解析】

分析：由三点可能共线可判断①错；由点可能在直线上可判断②错；由两直线可能相交、异面判断③错；根据

公理可判定④正确.

详解：①不共线的三点确定一个平面，故①错误；

②一条直线和直线外一点确定一个平面，故②错误;

③垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，故③错误；

④平行于同一直线的两直线平行，故④正确，故答案为④.

点睛：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推理的合理运用.空间

直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、

桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，

原命题与逆否命题等价.

3.正方体中，异面直线8。与。G所成的角的大小为.

【答案】600

【解析】

如图所示，连接A。，AG，则即为异面直线8。与£>G所成角.利用△为正三角形，即可

得出.解：如图所示，直线所以直线4。与。G所成的角N4DG即为异面直线片。与DG所

成角.

•••△ADG为正三角形，

=60°.

故答案为：60°.

AB

【点睛】

本题考查正方体的性质、等边三角形的性质、异面直线所成的角，考查推理能力与计算能力.

4.在立方体中，过它的任意两条棱作平面，则与直线4B成30°角的平面有个.

【答案】4

【解析】

根据题意，对题目中要求的平面进行分类讨论，结合立方体的性质，线面角的定义进行求解即可.设立体体的棱长

为a,过立方体ABCD-Ag的任意两条棱作平面有三类，

一类是平面8AC和平面A84A，其中平面CQAG,ABu平面AB4A，这两个平面不符合题意；

一类是除了平面C。。G和平面ABB14另外四个面ABCD,%BCR,ADD,4,BCCtBt,因为4A_L平面

ABCD,所以幺班是直线A1与平面ABC。所成的角，

显然N4BA=45°,同理其他三个面也不符合题意；

一类是平面BDD｝片，A8G。，AgCO,ACC.A,

连接交于点o,连接08,显然4。，片4,由立方体的性质可知：

AtOLDDt,又因为4。n。。=2,所以4。，平面3。。百，

因此NAB。是直线48与平面8。。百所成的角，

22

显然4。=gJ（A3）2+（3C）2=1y]a+a=^a，

A8=J(44)2+(48)2="2+/=缶,因此在R/DAB。中,

V2

因此NA^O=30,

49。二翁誉;

同理4B与其他三个平面也成30°角.

故答案为：4

【点睛】

本题考查了线面角的计算，考查了立方体的性质应用，考查了分类讨论，考查了数学运算能力.

5.a,万是两条异面直线，它们成30°角，A，3是。上的点，4，鸟是人上的点，A4,1h,±b.若

AB=6cm,则.

【答案】3百cm

【解析】

构造长方体ABCA-OGEF,NEAC=30°,直线Ag为直线4，直线AE为直线b,过8作B旦工4乃交

AE与四，通过证明AEJ■面可得解直角三角形即可得44.如图在长方体

ABC4,-DGEF中，ZE4,C=30°,直线AB为直线。，直线4E为直线6，过台作8月，A,E交4E与四，

FE

由长方体的性质可知A4,AB//A.C,

则NE&C是异面直线。，人所成的角，

又AA"BC

BCA.A.E,又841.4£：,且3用口8。=8,

；.AE，面BBC，又B]Cu面BBC,

：.A,EVB,C

又AC=AB=6,ZEAIC=30°,

则A用=4Ccos30°=6x曰=36.

故答案为：3j5cm.

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，考查线面垂直的证明，解决本题的关键是构造合适的长方体，并在长方体中进行计

算，是中档题.

6.边长为。的正方形A8CO和正方形A8EF所在的平面成120°,M，N分别是对角线AC和BE上的点，

且4M=RV,则线段MN长的取值范围为.

【答案】~T~a^a

2

【解析】

作辅助线找出二面角C—AB—E的平面角，利用余弦定理结合二次函数的性质，即可得出答案.如下图所示，作

叱_1,48于。，连接PN

丝二丝,AC-MC=AB-BP

ACABACAB

MCBP

即an——

AC~AB

AC=BF,AM=FN

,BNBP

:.MC=BN,即nr---

BF~AB

：.ABPN□ABAF，则ZBPN=ZBAF

：.PN//AF,即PNLAB

由二面角的定义可知，二面角C—的平面角为NMPN=120。

设AM=FN-x,xe[o,0a]

MPAMx

MP=

aCa

41a-x

同理可得PN~JT

由余弦定理可得的V?=尸加2取2—2PM-PNcosl20°

2

/旦

_32

X_+-4

2_2

x2->/2ax+2a2u

22

vxe^0,V2tzJ

r3、2

0n------a+3/

I2)2

<MN2<

2

即走a4MN<a

2

故答案为:—a,a

2

【点睛】

本题主要考查了已知面面角求其他，涉及了余弦定理的应用，属于中档题.

7.将边长为1的正方形A3CO沿对角线AC折叠，使得点3和。的距离为1,则二面角B—AC—。的大小为

兀

【答案】-

2

【解析】

设翻折前AC与89相交于点0,则。此，Q£>_LAC，作出翻折后的图形，由二面角的定义可知N68

TT

即为所求，易证ABO。为等腰直角三角形，故NB0£>=5,从而得解.设翻折前AC与80相交于点0,则

OBLAC,OD1AC，而翻折之后的图形如图所示，

为二面角3—AC—£>的平面角.

D

-OB=OD=—BD=L

2f

TT

.•□5Q£＞为等腰直角三角形，且NBOO=—,

2

Tt

二二面角3—AC—。的大小为一.

2

71

故答案为：一.

2

【点睛】

本题考查二面角的求法，理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、作图能力和逻辑推理能力,

属于基础题.

8.如图，在正四棱锥P-ABCD中，ZAPC=6Q°,则二面角A—P6—C的平面角的余弦值为.

【答案】一1

【解析】

设4?=。，则女=血，过A作垂足为E，连CE，则根据宣△PCB,可得CELPB,

所以NAEC为二面角A—P8—C的平面角，在口4£。中，用余弦定理可求得结果.设，则AC=0a，

因为NAPC=60°,所以PA=PC=MZ，

过人作4£，依，垂足为E，连CE，则根据△BLB三△PCB,可得CELPB,

如图：

所以NAEC为二面角A—必一C的平面角，

ABaI/_1—\2I—

在△网中,COS/P昨五=%=叵所以sin/PBA=I—苧=个,

PB42a4VI4J4

所以在直角A4EB中，AE=AB-sinZEBA=­a^同理。£=恒°，

44

14142

._n_._2.—Q2H--CI2-2。1

yprAirr-rh八/Arr+CE~-AC~_1616一1

在LAEC中，cosZ.AEC=---------------------------------------=—•

2AECE2X427

16

故答案为：—.

7

【点睛】

本题考查了正四棱锥的结构特征，考查了二面角的求法，按照作、证、求这三个步骤做题是解题关键，属于中档

题.

9.若有平面a与4，=,Pea,P史1,则下列命题中真命题的序号有.(1)过

点尸且垂直于a的直线平行于£；(2)过点尸且垂直于/的平面垂直于£；(3)过点尸且垂直于£的直线在a

内；(4)过点p且垂直于/的直线在a内.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】

由线面平行的判定定理判断(1),由面面垂直的判定定理判断(2),由面面垂直的性质定理判断(3),由线线的

位置关系判断(4).(1)过点p且垂直于a的直线为a,设在平面分内与交线/垂直的直线为〃，因为

所以所以a//Z?,又P以，aCBT,所以Pe夕，所以。而bu0,所以a//4，(1)正确；

(2)过点尸且垂直于/的平面为设。口7="，则/，加，又a，B,所以加，£,所以(2)正

确；

(3)过点尸且垂直于夕的直线为。，在平面a内过「作直线b_U,因为a，6，所以人_L〃，又a_L尸，

且a,。都过点P,所以a,b重合，所以aua.(3)正确；

(4)(2)中平面/内过P点的所有直线都与/垂直，这些直线中只有一条在平面a内，其余直线都不在a内，

(4)错误.

故答案为：(1)(2)(3).

【点睛】

木题考查空间线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的判定，掌握面面垂直的判定定理与性质定理、线面垂直的判

定定理与性质定理是解题基础.

10.如图，已知AB是平面a的一条斜线，3为斜足，AOA.a，。为垂足，BC为a内的一条直线，

ZABC=6Q°>NQBC=45°，则斜线AB和平面a所成角是.

A

/

aBC

【答案】450

【解析】

在平面a内作8八BC,垂足为点。，连接AO,设0B=2,计算出BO、AB，可求得cos/ABO的值,

由此可求得斜线和平面a所成的角的大小.如下图所示，在平面a内作OD八BC,垂足为点£),连接AD，

设0B=2,在及△O6£)中，/08。=45°，则3。=08(：0545°=0，

-AO±a,BC^a，:.AO±BC,又〈ODLBC，AOcOD=O,..BC，平面A8,

(5710匚平面40。，.・.8。_1?1£)，

BD

vZA5D=60°>AB=——=2A/2,

cos60

vABLa,所以，直线AB与平面a所成的角为NAB。，

在R/DABO中，cosZABO=—=—.ZAB(9=45°.

AB2

因此，直线AB与平面a所成的角为45。.

故答案为：45°.

【点睛】

本题考查直线与平面所成角的计算，考查计算能力，属于中等题.

jrTT

11.如图，二面角二一/一户的大小是一，线段AB<=a,Be/,AB与/所成的角为夕，则AB与平面/所

36

成的角是（用反三角函数表示）

【答案】arcsin-

4

【解析】

7T

如图，过点A作尸,垂足为0,过点A作ACJJ,垂足为C,连接QB,OC,证明NAC0=§,不妨设

AC=1,根据已知求出AB=2,A0=且，求出sinAABO=—即得解.

24

如图，过点A作A。，4,垂足为过点A作ACJU，垂足为C,连接OB,OC.

因为所以A0，/,因为AC，/,

A0,ACu平面A0C,A（9nAC=A,

所以/_L平面A0C，所以/_LOC,

jr

所以NACO就是二面角4一/一夕的平面角，所以/ACO=—.

3

由题得ZABC=~，不妨设AC=1,AB=2,A0=且，

62

由题得AB与平面夕所成的角是ZABO,

出

所以./.ncT6

sinZABO==——

24

所以ZABO=arcsin—.

4

故答案为：arcsin@'

4

【点睛】

本题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算，考查空间直线和平面所成的角的作法和计算，意在考查学生对

这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

12.已知底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥IMBCD可绕着AB任意旋转,A8U平面a,M是CD的中点，

A3=2,忆4=,点V在平面«上的射影点为0,则的最大值为

【答案】1+0

【解析】

先计算得到二面角C-AB-V的大小为60。，设二面角C-AB-0的大小为夕，则

\OMf=4—sin（20+60°），计算得到答案.如图所示：简单计算可得二面角C-AB"的大小为60°

设二面角C-4B-0的大小为。，则NWVO=e—60°,NO=2cos（。一60°）

在AWNO中，利用余弦定理得到：

\OMf=4+4cos2（。-60。）-222cos（夕-60。）＜05。=4-2氐皿2夕+60。）

故当6=105。时，|。闾取得最大值为1+6.

故答案为：1+6

【点睛】

本题考查了立体几何中的线段的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

二、单选题

13.设直线与平面a所成的角相等，则直线a力的位置关系为（）

A.平行B.平行或异面

C.平行或相交D.平行、相交或异面

【答案】D

【解析】

两条平行线可以和一个平面成相等的角；两条相交线可以和一个平面成相等的角；两条异面直线可以和一个平面

成相等的角.棱柱的侧棱所在直线与底面成等角，所以两条平行直线可以和一个平面成相等的角；

一个圆锥的所有母线所在直线与圆锥底面成等角，非重合母线是相交的；

将一条母线平移，与其中一条母线成异面直线，可知两条异面直线可以和一个平面成等角；

则直线a力与平面a所成的角相等，则直线。力的位置关系为平行、相交或异面,

故选：D.

【点睛】

方法点睛：该题考查的是有关空间两直线位置关系的判断，方法如下：

（1）结合几何体，判断空间直线与平面成等角对应的特征；

（2）结合几何体，可以得出与平面成等角的两条直线可以平行，可以相交，也可以异面，从而得到结果.

14.设为两条直线，a、P为两个平面，则下列命题中假命题是（）

A.若加，根_1_2,n±/3t则a_L•4

B.若根〃〃，mLanl1p,则a，6

C.若mJ_〃，mllanl1p,则□///

D.若mHn,mVa>则a//1

【答案】c

【解析】

根据面面垂直与平行的判定定理判断.A.若加_L〃，机，。，nl/3,相当于两平面的法向量垂直，两个平

面垂直，A正确；

B.若加〃〃，/则〃_La,又〃//，，则平面月内存在直线c〃〃，所以c_La,所以a_L〃，B正确；

C.若根_L〃，mlla,〃///?，则％，可能相交，可能平行，c错；

D.若mHn,ml.a>，则a，Z?的法向量平行，所以a//。,D正确.

故选：c.

【点睛】

关键点点睛：本题考查两平面平行与垂直的判断，掌握两平面平行与垂直的和性质定理是解题关键.另外从空间

向量角度出发，利用平面的法向量之间的关系判断两平面平行与垂直也是一种行之有效用较简单的方法.

15.如图，在下列四个正方体中，A、3为正方体的两个顶点，M、N、。为所在棱的中点，则在这四个正

方体中，直线AB不平行与平面的是（）

■0

eW

M

M

【答案】D

【解析】

利用线面平行的判定定理可判断A、£3、C选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D选项的正误.对于A选

项，如下图所示，连接co,

匕

在正方体中，AD//BC且A£>=BC,所以，四边形ABCO为平行四边形，则A3〃CD，

QN、。分别为OE、CE的中点,帆NQIICD,:.AB〃NQ,

•.•43.平面加'。，"。匚平面脑7。，，回〃平面加。；

对于B选项，连接co,如下图所示:

在正方体中，且AO=8C,所以，四边形A8CD为平行四边形，则AB〃C。，

•.•〃、。分别为。E、CE的中点，则MQ〃CQ,

•.•ABZ平面MNQ,MQI平面MNQ,〃平面MNQ；

对于C选项，连接CO,如下图所示：

在正方体中，ATV/BC且AO=8C，所以，四边形ABCD为平行四边形，则AB〃C£>,

•.•M、。分别为OE、CE的中点，则MQ〃C。，...A8〃MQ,

♦.•ABZ平面MNQ,MQ\平面MAQ,AB〃平面MNQ；

对于D选项，如下图所示，连接BE交MN于点、F，连接QF,连接CO交BE于点。，

若AB〃平面MNQ,ABI平面/WE，平面ABEf）平面"NQ=EQ,则产Q〃AB,

由于四边形BCE。为正方形，对角线交于点O,则。为鹿的中点,

•.•M、N分别为DE、CE的中点，则MN〃C。，且MNn3E=F,

EFEN1

贝|J----：.EF=-OE=-BE,

EOCE224

eEF1又殁则空#殁，所以，与平面不平行;

则一=LA3MNQ

BE4AE2BEAE

故选：D.

【点睛】

判断或证明线面平行的常用方法:

（1）利用线面平行的定义，一般用反证法;

（2）利用线面平行的判定定理（aUcz,bua,a//b=>alla）,其关键是在平面内找（或作）一条直

线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；

（3）利用面面平行的性质定理,auanci”。）.

16.四棱锥P-ABC。底面为正方形，侧面尸AD为等边三角形，且侧面Q4£>J_底面A5CD,点M在底面

正方形ABCO内运动，且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）

【答案】A

【解析】

先找出符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线，即可求得点M

的轨迹.根据题意，可知=则点。符合"点〃在正方形ABCD内的一个动点”，

且满足MP=MC，

设AB的中点为E，根据题目条件可知AftAE和ACBE全等，

所以PE=CE,点£也符合"点M在正方形ABC。内的一个动点，且满足MP=MC",

故动点M的轨迹肯定过点D和点E，

而到点P到点C的距离相等的点为线段PC的垂直平分面，

线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线，

所以M的轨迹为线段DE.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及平面的基本性质等知识的应用，同时考查了空间想象能力，以及推

理能力.

三、解答题

17.如图，已知长方体中，AB=6，BC=6，M=76.

(1)求异面直线A片与BG所成角的大小;

(2)求点C到平面的距离.

兀

【答案】(1)-；(2)V2.

【解析】

(1)连接得到/与即为所求角或其补角，在△gAA中，利用余弦定理，即可求解;

（2）利用等体积法，结合匕一4他=%.APC，即可求解.（1）连接4。1，片。1，则ADJ/BG，所以NgAA即

为所求角或其补角，

做=’（句+㈣?=2V2，AD,=’（可+（扃=3，BR=

在△4A?中，由余弦定理得cos/B|A£\=妆寺黑常互=¥

所以NgAR=（,即异面直线A4与BQ所成角的大小为:.

（2）由S=；ABxAQ=1x72x3=^^.

S.„=-?!BxBC=-x72x73=—>DD、=瓜

ABrC222

设点C到平面ABD,的距离为h,

由等体积法，得％.A明=匕一ABC»即gSA8O,X力=；SABCXDD1,所以力=血,

所以点C到平面A8R的距离为72.

【点睛】

用平面求异面直线所成的角的三步骤:

1、一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

2、二证：证明作出的角是异面直线所成的角；

3三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；若求出的角是钝角，则它

的补角才是要求得角.分一ADD,=-ABC

18.如图，在长方体ABC。一AgG。中，AB=AD^l，=2，点P为棱。，的中点.

（1）证明：5。//平面小c；

（2）求异面直线8A与AP所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）30°.

【解析】

（1）AC和3。交于点。，则。为80的中点.推导出产。//8。1.由此能证明直线8。//平面PAC；

（2）由「。//3口，得NAP。即为异面直线与AP所成的角或其补角.由此能求出异面直线8。与AP所

成角的大小.（1）证明：设4c和8D交于点。，则。为BD的中点.

连结P。，又因为P是。A的中点，所以

又因为P。U平面PAC,BD]u平面PAC

所以直线5。"/平面RAC

（2）解：由（1）知，PO//BD,,所以NAPO即为异面直线8。与AP所成的角或其补角.

因为P4=PC=正，AO=；AC=乎且POLA。,

6

所以sin/APO=^='2,=—1.

AP近2

又NAPOe(0°,9(y],所以NAPO=30°

故异面直线BD,与AP所成角的大小为30。.

【点睛】

方法点睛：异面直线所成的角的求法

方法一：（几何法）找T■作（平移法、补形法）一证（定义）T■指一求（解三角形）

mUu

方法二：（向量法）COSC=其中a是异面直线〃〃所成的角，而,5分别是直线〃7，”的方向向量.

19.如图，在四棱锥P—ABCZ）中，底面ABCO为矩形，侧棱PO_L平面ABC。，E为PC的中点,

AD=3,PD=4,PC=5.

E

（1）证明：直线QA//平面BDE；

（2）求点A到平面PBC的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）y.

【解析】

（1）连接AC交5。于0,连接EO,利用中位线证明OE//AP,结合线面平行的判定定理可完成证明;

（2）建立空间直角坐标系，先求解出平面PBC的法向量］和而，然后根据［=匚^即可求解出结果.（1）

同

连接AC交aD于。，连接E0,因为底面ABCD为矩形，所以。为AC中点，

因为E为PC中点，在△PAC中，。,£分别为两边中点，所以OE//AP,

又因为OEu平面BOE，所以直线PA//平面BDE，

AB

（2）建立如图所示空间坐标系，CD/j。=3,P（0,0,4）,A（3,0,0）,B（3,3,0）,C（0,3,0）,

所以丽=(3,3,-4),PC=(0,3,-4),AP=(-3,0,4),

设n=(x,y,z)为平面PBC的法向量，PBn=0,PC-«=(),

3x+3y—4z=0

所以令y=4,其中一个法向量3=（0,4,3）,

3y-4z=0

设点A到平面PBC的距离为d,

\n-AP\

12_12

所以d--pi—

J32+425

【点睛】

思路点睛：利用向量方法求解平面外一点A到平面a的距离的步骤:

（1）建立合适空间直角坐标系，在平面a内取一点3：

（2）求解出而和平面a的法向量3

\AB-n\

（3）根据。=1I।即可求解出点A到平面a的距离.

\n\

20.如图所示，在四棱锥P-ABCO中，底面A8CO是正方形，侧棱。D_L底面ABC。，PD=DC，E是

PC的中点，过£点作EF上PB交PB于点尸.求证：

P

(1)PA//平面EDB；

(2)依_1_平面£尸£).

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)连结AC、BD，交于点0,连结OE,通过OE〃1%即可证明：

(2)通过尸DL5C,CD,3c可证平面POC,即得。£_LBC,进而通过平面PBC得

DE上PB，结合所_L~B即证.证明：(1)连结AC、BD，交于点0,连结0E,

•••底面ABCO是正方形，。是AC中点,

•.•点E是PC的中点，...OE///%.

•;OEu平面EDB,PAZ平面

•­•PA//平面EDB.

（2）•.•PD=OC，点£是PC的中点，..O£_LPC.

•.•底面A8CD是正方形，侧棱RD_L底面ABC。，

•••PDLBC，CD上BC,且PDcDC=D，

BC±平面PDC,：.DELBC,

又PCcBC=C，：.小，平面尸8。，

DE±PB，

•;EFkPB，EFcDE=E，

.•.总上平面后尸。.

【点睛】

本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.

21.如图，在三棱锥产一ABC中，AB=BC=2y[2>Q4=依=PC=AC=4,。为AC的中点.

（1）证明：P。，平面A8C；

___1一

（2）若点M在棱BC上，且8M=-5C,求直线PM与平面B4C所成角的大小.（结果用反三角表示）

3

【答案】（1）详见解析；（2）arctan——.

7

【解析】

（1）连接6。，计算80=2,根据勾股定理逆定理得到PO_L50,再因为OP,AC得到答案.

（2）过M作MNJ_AC与N,连接PN,证明平面PAC,故NMPN为直线PM与平面PAC所成

角，根据长度关系计算得到答案.（1）如图所示：连接80

在中：AB=8C=20,AC=4,则ZABC=90°,80=2

在AE4C中：PA=PB=PC=4,。为AC的中点，则OPLAC，且0尸=2百

在APO3中：30=2,0尸=2百，尸3=4,满足：BO1+OP2=PB1

根据勾股定理逆定理得到PO±BO

AC,80相交与。，故P01平面ABC

（2）如图所示：过M作MN_LAC与N,连接PN

MN1AC,肱V_LPO，故平面PAC

故NMPN为直线PM与平面PAC所成角

___12419

在APMN中:而=—而根据相似得到：MN=_B0=_,0N=_0C=_

33333

PN=y/OP2+ON2=地

3

八…，MN不

tan/MPN-----=——

PN7

所以直线PM与平面PAC所成角的大小为arctanE

【点睛】

本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系求解.

22.(1)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论:

®AB±EF；②MC7/AB；③EF与MN是异面直线；④MNHCD；

以上四个结论中，正确结论的序号是哪些？(无需说明理由，只要写出正确结论的序号即可)

(2)如图，四面体ABCD中，AB=CD,且直线AB与CD成60。角，点M、M分别是8C、AO的中点,

求异面直线AB和MN所成角的大小.

D

B《一；了

M

C

【答案】(1)①②③；⑵工或2.

36

【解析】

(1)将展开图还原成立体图，由立体图结合正方体性质可直观作出判断;

(2)可结合中位线性质，作AC的中点P,连接PM、PN,则将异面直线与CO转化为共面，再分类讨

论NMPN大小结合三角形性质即可求解(1)我们以正方形ACRV为底面，将展开面还原为正方体

ACFN—DEMB，如图，易见①②③正确；

(2)如图-3所示，取AC的中点P,连接PM、PN,则产加〃且阳=%,PNHCD,息网=抬

22

所以NMPN为异面直线AB与CD所成角(或其补角)，由题设，则NMPN=工，或NMPN=

33

71

若NMPN=—,-：PM//AB,

3

所以NPMN是A8与MN所成角(或其补角),

又AB=C0,所以PM=PN,

71

则口?”'是等边三角形，所以NPMN=-

3

71

即AB与MN所成角为一;

3

若NMPN==,则易知口尸儿火是等腰三角形，所以NPMN=三,即与MN所成角为：；

366

综上所述，A3与MN所成角为三或三

36

【点睛】

本题考查由展开图到立体图的还原，线线关系的判断，异面直线夹角的求法，属于中档题

23.如图，在多面体ABC415G中，AX-BBrCC均垂直于平面ABC，A&=4,CC,=3,

BB]=AB=AC=2,ZBAC=120°，D，E分别是线段BC和耳&上的点.

（1）求AB1与A.BC所成角的大小;

（2）求二面角A-A4-G的大小;

（3）求AD+DE的最小值.

【答案】（1）arcsin—；（2）arccos^；（3）

【解析】

(1)以A为原点建立空间直角坐标系，将直线AB】和平面44G的法向量求出来，得到直线与平面夹角的正弦

值；

(2)求出平面和的法向量，法向量的夹角与二面角的大小相等或者互补；

(3)将仆ABC展开与四边形BCC,B,成一个平面，AD+DE的最小值即为A点到直线C.B,的垂线段的长度.

(1)由题意建立如图所示空间宜角坐标系，

-AA1=4,CCi=3,BB1=AB=AC=2,ABAC=120°,

40,0,0),4(0,0,4),Bl(+-1,2),Cl(0,2,3).

鬲=(6

福'=(6,-1,-2),

祠=(02-1)，

设平面AiBiCi的一个法向量为in=(x,y,z),

m-AB.=yfix-y-2z=Q_

由.L，取y=L得所=

m-A1Q=2y-z=0l3)

8_V15

4班与48£所成角的最小值5由6=|＜：05＜鬲,沅＞|=2及y—5

ABi与48iQ所成角的大小为arcsin———；

5

<2)设平面A4B1的一个法向量为万=(X］，X，zJ,

n-AB.=y/3x.-y.-2z.=0r

由《LI'1，取xi=l,得万=(1,0,0)。

n-A41=4z,=0

56A

.cos(庆万___3_1_V10

''\m\-\n\画.5

J—x2

V3

则AD+DE的最小值即为A点到直线Gg的垂线段的长度。

以A为原点建立如图的平面直角坐标系:

则A（0,0），4（6—3）,CG6-4）,

直线G4的方程为Gx—6y—21=o

A点到直线G瓦的距离为%L噜

即AD+DE的最小值为Z叵

13

【点睛】

本题考查了空间向量在立体几何中的应用，注意直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的

绝对值，两个平面的法向量的夹角的绝对值等于二面角大小的绝对值，还需判断二面角是锐二面角或还是钝二面

角。求儿何体表面距离的最小值需展开转化成平面间的距离来求，也可建立平面直角坐标系来使计算更简单。本

题属于较难题。

24.如图所示的几何体A3CDEF中，四边形ABCO为菱形，AF//DE,AF_L平面ABC。，ZBAD=a.

.E

F

（1）求证：BF〃平面CDE；

（2）若a=60。，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值；

（3）若a=90°,P是4c内的一点，求点P到平面ABCO,平面ED4,平面EDC的距离的平方和最

小直

/o4）2i7r）2

【答案】（1）证明见解析；（2）型sin/AEO；（3）

2AD2+2ED2

【解析】

（1）由题可知A8//CO,A尸〃DE,根据面面平行的判定定理，即可证出平面ABF〃平面CDE