数学复习课设计的理论与案例分析

夯实根底、培养思维、提高能力——对初中数学复习课的认识与思考舟山南海实验初中张宏政

QQ:1141011769第一局部构建高效教学的条件与案例分析；第二局部数学复习课设计的理论与案例分析。内容概要对数学教学中低效现象的反思案例一：“几何证明与计算〞专题复习课教学片断问题：如图1，△ABC中，AB=AC,P是△ABC内部任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连结BQ，CP，那么BQ=CP〞小亮是一个爱动脑筋的同学，他通过分析证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移动到等腰△ABC外，原题中的条件不变，发现BQ=CP仍然成立，请你就图2给出证明。ABCPQ图1ABCQP图2〔教师把题目朗读了一遍后，便引导学生进行分析……〕对数学教学中低效现象的反思案例一：“几何证明与计算〞专题复习课教学片断ABCPQ图1ABCQP图2教师：如图2，AQ是由AP旋转得到的，因此它们之间的关系是怎样的呢？学生1：相等。教师：由∠QAP=∠BAC可得∠QAP+∠BAP=∠BAC+∠BAP,于是有∠QAB=∠PAC，题中还有一个条件是AB=AC，那么能否得到△ABQ≌△ACP呢？为什么？学生2：能得到，根据SAS定理。教师：这样我们便知BQ=CP仍然成立。对数学教学中低效现象的反思这种“以教师的读题来代替学生对问题的自主阅读〞的教学现象和“以为教师对问题已经理解便认为学生也就能明确问题所提供的条件信息和目标信息〞的教学观念，在日常的课堂教学中实在比较常见。但学生是否“明确了问题所提供的条件信息和目标信息，并在头脑里建立起问题的表象〞了呢？这些都是学生进行数学问题解决的第一步，也是至关重要的一步。否那么学生扮演的无非是教师的“同声筒〞角色，这样的教学，是无法产生理想的教学效果的。实验说明，对于数学题而言，教师的有声读题在引起学生注意力水平上低于学生默读。因此，本例应让学生默读问题，自主分析题中信息，并尝试用自己的语言解释题目中的信息。对数学教学中低效现象的反思案例2：我的方法怎么不对了？问题：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E,F分别是BC,AC的中点，延长BA到点D,使AD=1/2AB，连结DE,DF。〔1〕求证：AF与DE互相平分；〔2〕假设BC=4，求DF的长。BACDEF第〔1〕问顺利解决后，在教学第〔2〕问时，教师请学生表达自己的想法，出现了如下教学片断：教师：还有不同的想法吗？学生1：连结EF后，可得到四边形BDFE是等腰梯形…教师：四边形BDFE怎么会是等腰梯形呢？这种方法行不通。听到这种评价，学生1便不做声的坐了下来，低着头在纸上写写画画，过了好一会，他才把注意力集中到课堂教学中来…对数学教学中低效现象的反思预设与生成看似一对矛盾，但也不完全是对立的。归根到底是教师对教学质量的认识偏差。一堂好课，应该让学生的知、情、意均得到开展。因此，有时虽然不能很好完成预设的教学任务，但对已教学的内容，假设学生都能真正理解与掌握，能积极快乐的参与到教学中来，思维被激活，并享受到学习的成就感，就是很大的成功。本例中学生的阐述不管是否正确，其实都具有较高的教育价值，一方面可以借此引导学生稳固等腰梯形等相关知识，帮助学生完善知识结构；另一方面，让学生表达自己的观点，表达了教师对学生的尊重，师生之间的平等对话，这样的环境里，学生感到平安、轻松、自由，这对培养学生的数学学习兴趣及学生的平安成长都讲产生潜移默化的积极影响。对数学教学中低效现象的反思案例3：问题解决就可以了吗？如图,△AOB和△COD均为等腰直角△,∠AOB=∠COD=90°,D在AB上。〔1〕求证:△AOC≌△BOD;〔2〕假设AD=1,BD=2,求CD的长。AOBCD教学过程描述：教师让学生讲解该问题的解答思路，对于〔2〕，学生给出了三种不同方法，教师随即问其他学生是否已听懂，在得到学生的肯定信息后，教师进入了下一环节的教学。一周后，该老师抱怨，在那节课后的第三天，他们进行了一次测试，该题也是其中的一个考题，但结果班里仍有十多位同学不能正确解答……对数学教学中低效现象的反思教学中教师常发出信息：你们都听懂了吗？收到学生回复的信息也常是：听懂了。于是教师便以为学生真的懂了。其实，“听懂〞与“真懂〞之间仍有着明显的差距。“听懂了〞仅说明学生能在他人的解题思路的引领下，了解到问题的解答思路。但数学问题的关键是寻找解题思路和突破解题的难点。假设学生不能真正领悟解题思路的获得过程，那么，除了当时在解题思路上相互之间产生共鸣的学生外，对于其他学生，尤其是对于那些理解能力较弱的学生，当他们面对相似的甚至同一个问题时，仍然难以顺利解决。因此在教学中，教师除了要帮助学生理解他人解题的思路外，还应针对不同学生的思维特点和能力，通过个别辅导或同伴互助等方式，帮助他们能从自身的思路出发获得解决问题的策略，或帮助他们分析其思路受阻的原因，进而领悟问题解决的策略。故此，问题解决后，教师应组织学生反思思维的探索过程，评价同伴的解题方法，并从中进行分析、归纳、比较和选择，以提高数学解决问题与数学思考的能力。对数学教学中低效现象的反思案例4：二次函数中面积问题的专题教学问题1：如图1，抛物线y=x2+2x-3与x轴分别交于A,B两点，与y轴交于C点，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，请分别求出△ABC及△ACD的面积。问题2：如图2，抛物线y=x2-7x+6与x轴分别交于A,B两点，P(x,y)是位于x轴下方抛物线上的一个动点，四边形OPAQ是平行四边形，求这个四边形的面积S与x之间的函数关系式。ABCODxyOBAxPQy对数学教学中低效现象的反思案例4：二次函数中面积问题的专题教学问题3：如图3，抛物线y=-x2-2x+3与x轴分别交于A,B两点，与y轴交于C点，点D是位于x轴上方抛物线上的一个动点，设四边形ABCD的面积为S，求S的最大值及此时点D的坐标。问题4：如图4，抛物线y=-x2+4x与x轴分别交于A点，点B(1,y)是抛物线上的一点，P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，设△PAB的面积为S，求S的最大值及此时点P的坐标。ABCODxyOAxPyB对数学教学中低效现象的反思教学现象描述：教师依次给出问题1、2、3，先让学生自主探索解法，在学生遇到困难时，适当给予方法上的提示，在学生得到解题思路后，教师引导学生根据解题思路板书具体的解答过程，教学完这三个问题后，教师又给出了问题4，并让学生独立尝试解答。但根据课题观察，全班学生能顺利解答出来的寥寥无几。思考：从问题设计看，四个问题都紧紧围绕本课教学的主题。问题1属于固定图形的面积，问题2—4属于变化图形中的面积问题，教学目标明确，问题难度层层深入，内部联系紧密。从教法看，先学后教，让学生先尝试再讲解，吻合新课程倡导的教学方式。从教学效果看，学生根本理解了前三个问题的解题思路与方法，但为什么学生不能独立完成问题4的解答呢？对数学教学中低效现象的反思变式教学不能只关注问题的解决方法，更要强化问题之间的内在联系！本课的难点在于引导学生归纳、感悟运用割补法求不规那么图形的面积。因此，从问题1到问题2,3，从数值问题到函数问题，学生虽然会求解问题1，教师也教会了学生解决问题2，但由于教师没能引导学生找出解决问题2的难点与关键点，也没有引导学生感悟问题1与问题2之间的联系，同时，当教师讲解完问题3后就直接给出问题4，也没能先引导学生挖掘问题3与前两个问题的内在联系，因此，虽然教完了前三个问题，但学生的思维仍是点状的、散乱的、没能系统化、结构化，故此，对此类问题的认识仍是外表的，根据课堂观察，绝大局部学生还是把问题4当做一个独立的新问题来思考，没有把问题4与前面的问题联系起来，也没能借用前面问题的解决方法、解题经验，致使思路陷入了困境。构建高效教学的条件分析高效教学=理解数学+理解教学+理解学生教什么永远比怎么教要重要！把握教学的目标要把学术形态转化为教育形态，明确教学的本质了解学生的认知起点与认知特点，找准教学的起点案例1：老师，你该告诉我们你是怎么想到的？问题:：如图，H为△ABC内任意一点，连结AH并延长交BC于D，连结BH并延长交AC于E，连结CH并延长交AB于F，求证：DH/AD+EH/BE+HF/CF=1.ABDCFEH理解教学变证为猜！猜DH/AD+EH/BE+HF/CF=?一般问题——特殊化方法——类比思想——回归特殊问题——一般结论理解教学把数学冰冷的美丽转化为炽热的思考！理解教学案例2：“平行四边形判定〞的设计教材的处理：我们已经知道可以用定义判定一个四边形是否是，还有其他方法吗？比方，一个四边形的一组对边平行且相等，这个四边形是平行四边形吗？两组对边分别相等的四边形呢？设计：先画一个平行四边形，把它分成两个三角形，接着擦去其中一个三角形，提出问题：如何复原平行四边形呢？分析：画图虽不能用性质作依据，但要联想性质；画图是一种行为，通过行为获取命题，实际上是实践到理论的过程；图画出来了，你凭什么确认？判定方法的产生就是一种必须，证明也就成了探究活动的自然延伸。由一个问题(初始问题〕生成了本节课的全部知识，既表现了课的整体美感，又提高了课堂教学的效益。理解教学教学是科学，科学的关键词是探索；教学是哲学，哲学的关键词是思辨；教学是技术，技术的关键词是设计；教学是艺术，艺术的关键词是鉴赏。教学设计时要思考教学的诸要素中，观察、实验、猜测、验证、推理、交流等的价值到底是什么？如何表达它们的价值。如果说单纯依赖模仿记忆的课一定不是好课，那么即使运用了实践、探索、交流等方式的课也未必是好课。关键是看它们在实现教学目标中所起的作用，即是否促进学生获得了对数学的理解，是否引领学生经历了数学思考和解决问题的过程，是否有利于学生在情感、态度和价值观方面的开展。高效教学=进行高立意的教学设计+组织高认知的思维活动+营造高情意的学习气氛理解数学、理解教学、理解学生数学复习课——为什么而教？一、复习目的1.梳理知识体系,减少知识盲区,形成认知网络;2.强化知识间的联系与沟通,深刻理解知识内涵;3.突出思想方法灵魂,开展思维能力为本.应试的成绩可持续学习能力平衡点数学复习课——为什么而教？1、是深化知识理解的需要。新课学习中获得的知识与其他知识有什么联系，在整个数学知识体系处于什么地位，有什么作用，需进行知识组织活动。只有把握了知识之间的联系，才可能深刻地理解知识；其次，学生的学习是循序渐进、螺旋上升的，最终学习目标的达成需要整合先前各阶段学习的知识，通过知识的回忆、组织和应用，建立知识间的联系，扩展原有的知识网络，形成对知识关系的深层次理解。2、是减少遗忘，改善记忆的需要。学习过程中，知识的保持与遗忘是同时进行的，为减少获得知识的遗忘，使知识更多地存储到长时记忆中，需运用复述、精细加工和组织的学习策略。3、是选择性应用知识解决问题，实现知识的迁移，初步体会数学思想方法的需要。程序性知识不能仅靠告知获得，需要经过“解决问题—模仿运用—归纳提炼—专项训练〞的从内隐到外显再到内隐〔自动化〕的过程。4、是查漏补缺，为后进生提供再次学习的需要。这是贯彻根底教育的普及型，面向全体的需要。一个可以借鉴的例子!“四边形内角和〞的教学A班讨论“一题多解〞的背后，有什么共同的地方。B班没有这个环节25天后的测试ABCDEA班正确率89%B班正确率25%结果分析：A班进行了数学本质——“化归思想〞的显化提炼；B班仅停留在“一题多解〞的操作层面和“化归〞的渗透阶段。更深层次的思考!

图1图2图3ABCDEABCDEABCDE前25%的学生摆脱了对三角形情境的依赖，对化归思想的灵魂——把未知问题转化成问题有了更深的认识〔内隐学习〕；但65%的学生对当初“化归为三角形的内角和〞有直接的依赖，停留在原来的水平上，没有表现出认知水平的提升〔外显学习〕.后10%的情况说明思想方法的提炼需要知识根底.结论:思想方法的提炼可以提高中等生的数学能力.关键在于教师要设计“从内隐到外显〞的逻辑通道，提供时机。数学复习课——教什么？二、复习课特点1.重复性---既有坚实根底,也会削弱学生学习动机；应把握知识本质和内在联系,创新复习方式(组织策略)。2.概括性---从新课知识的过程性认识过渡到知识的系统整理，思想方法从内隐到外显的总结提炼。3.系统性---单元知识之间，与其它知识之间、不同学科之间、与现实生活之间建立简约性、多触点、结构化特征的知识体系。4.综合性---知识综合组织，形成认知结构；数学知识的综合应用体验，以提炼问题解决的策略与方法。5.反思性---通过知识回忆与系统化，改进原有认知缺乏或缺陷；在知识应用中进行实时评价，开展思维。数学复习课——教什么？知识的回忆、知识的组织、知识的运用是复习课教学中的核心认知活动。知识内容的选择要以课程标准和学情为依据；要思考知识的整体性和系统性。如一次函数的复习可以从为什么要研究函数、怎样研究函数出发引导学生整体回忆函数与一次函数概念、一次函数的图形性质、一次函数的应用。实数复习要让学生感受数系扩充的必要性，扩充后的新数与原数的区别与联系。把扩充后数系的大小比较、运算与运算律与有理数进行类比，把平方根与立方根类比，把乘法与开方类比。一元一次方程的复习应以建立方程模型、解方程和解方程的依据为核心，用方程思想贯穿复习的全过程。三、学生复习数学的心理过程分析1.信息的搜索与提取—根据复习任务搜索先前分散学习的数学知识与学习经验，并把注意力聚焦到这些知识与经验上，体验对这些目标知识进行重新认识与组织的必要性，产生复习活动的动机。2.信息的组织与再加工—对先前学习过的知识进行结构特征、相互关系的再加工，重新建构系统更大、联系更广泛的知识结构体系，并结合问题解决把数学思想方法、策略有效融入新的知识结构体系之中。3.信息的重新存储与转移—把重新组织与加工的数学知识、思想方法、解题策略用适合自己的方式重新表征，尝试不同表征方式之间的转换，把获得的知识与经验进行存储并转移到长期记忆之中。数学复习课——怎么教？四.复习课教学与新授课教学的区别

数学复习课——怎么教？由知到熟〔方法与思想〕由点成网〔直觉与逻辑〕时间有限〔能学，会跟，难懂均有〕问题总有〔有需要教的，也有能够学的〕学生定型〔能学，会跟，难懂的均有〕教学共需〔有需要教的，也有能自己学的〕四.复习课教学与新授课教学的区别

由知到熟由点成网时间有限问题总有

学生定型教学共需

过程中寻求开展〔温故而知新〕正确定位学生根底,分类施教尽量争取与必要的舍去数学复习课——怎么教？数学复习课——怎么教？五、复习课现状根本可以分成三类：一类：设计数学问题，学生先参与问题解决，接着学生活动后，组织交流，教师概括。二类：教师先引导回忆知识，并形成知识体系，再安排学生进行练习，过程中进行交流。三类：主讲为主的教学，教师先把知识分成几块，再选择对应例题，逐块讲解。教师工作：总结题型，标准解法，专题训练学生工作：识别题型，回忆解法，模仿例题数学复习课——怎么教？六、复习课的误区1、重综合轻根底——把着眼点放在综合题、新颖题、压轴题上，对根底题轻描淡写，没有进行必要的稳固练习，甚至学生还没有把根底知识梳理清楚，就急于进行综合题的演练。2、重数量轻质量——对铺天盖地的资料无所适从，多多益善。学生的厌学情绪与这样的教学方法有密切关系。3、重题型轻反思——虽然必要的归纳总结，形成一定的解题规律与技巧是必要的。但运用不当，容易使学生陷入题海，把运用知识解决问题的能力异化成死记硬背，由此导致思维定势、负迁移。1.在2021年中考复习课中，对教师所用的例题〔〕选“全都能听懂〞有19%，选“大局部能听懂〞的达53%，而选择“有些能听懂〞有26%，选择“D都听不懂〞有2%。2.对听懂的较难的例题，一般情况下，你认为〔〕选“当时自己能做出，一定时间后难说〞达72%，而选择“今后一定会做〞有20%，选择“还是不会做〞有8%。

对初三学生的调查数据分析结论：辩证看待难题，讲过的不一定懂，懂的不一定会，会的不一定对。对初三学生的调查数据分析3.复习课中，你认为〔〕选“只听教师讲最好〞的有4%，而选择“有教师讲也有自己做最好〞的到达91%，选择“全部自己做最好〞的有4%。4.复习课中，你是否经历过“教师出问题→小组合作或自己探究→交流所得→老师概括〞的课〔〕认为“经常有的〞只占19%，认为“有过〞的占65%，认为“没有〞的有15%。结论：复习教学存在提升实效的需要，复习教学呼唤复习途径与方法的改进。七、我的认识与思考认知心理学的理论依据1.线索回忆好于自由回忆；分类回忆好于随机回忆复习目标：梳理知识，形成网络→稳固应用，促进理解→拓展提高，开展思维→适时总结，归纳方法。怎样设计复习课的教学？——教学设计时要为学生回忆知识提供背景线索〔关系线索：知识对象之间的关系；情境线索：与个体的相关度越高，变化连续性越好，越容易形成知觉形象；问题与任务线索：让学生在任务操作回忆知识〕2.学生认知的差异性特点〔理解方式与理解程度不同〕——教学时需要开展适度交流〔防止单向传递信息〕3.知识系统要成为模块自动提取，需为思想方法概括准备经验

——问题设计时应具有典型性、层次性、综合性七、我的认识与思考4.系列化、连续性的活动能使学生更容易形成记忆的活动情境线索，便于保持和提取

——要围绕核心知识设计问题系列，由浅入深、层层递进七、我的认识与思考★数学复习课的理想结构：教师活动提供线索倾听、提示与方法指导活动对象关系情境创设情境引导反思引导总结问题系列1问题系列2数学思想方法、解决问题策略知识与思想方法学生活动回忆知识整理知识互相交流体验问题解决过程概括、提炼思想方法与解决问题策略总结与复述八、复习课教学案例案例1反比例函数复习课案例2相似三角形判定方法复习案例3平行四边形复习案例4特殊四边形专题复习案例7折叠中的数学问题案例8一节直角三角形性质引申的复习课案例6“因式分解〞单元复习课案例5相似三角形性质专题复习课九、提供几点建议1.从学生的实际水平出发教师对数学教学把关到什么程度？不可能把全班学生都教成得120分，但可以使学生可做题得总分值，可动题做到底，可怕题得点分。为此，除了数学教学外，还需要重视学习方法的指导、心理辅导和考试指导，从现状看，只有4%的学生具