2021高中数学人教A版必修二（第二单元 点、直线、平面之间的位置关系）章节练习试题（含详细解析）

一、单选题（共20题；共0分）

如图，在长方体ABCD-K|CiD1中，AB=BC=2,AA^l,则4。与平面4公的，所成

角的正弦值为

A.VB.|C.qD-

2、（0分）已知a,b为两条不同直线，a,夕为两个不同平面，且a_La,bl0,则下列命

题中不正确的是（）

A.若a\\b,贝！Ja_L0B.若a_L/?,贝！Jalb

C.若a,b相交，则a,/?相交D.若a4相交，则a,b相交

3、（0分）在正方体ABCD-AjB,C,Di中，下列几种说法正确的是)

A.1ADB.5G14B

C.ACi与DC成45。角I).AWi与BiC成60。角

4、（0分）有两条不同的直线m,n与两个不同的平面a,B,下列命题正确的是（）.

A.m〃an//B且a〃B,贝ljm〃n

B.m±an±B且a_LB,则m〃n

C.m〃an±B且aJ_B,则m〃n

D.m±a,n〃B,且。〃6,则m_Ln

5、（0分）过平行六面体ABCD——A,B,C,D।任意两条棱的中点作直线，其

中与平面DBB,D।平行的直线共有（）

A.4条B.6条C.8条D.12条

6、（0分）如图，小于90。的二面角a-1-3中，。€，，A.Bea,且4OB为钝角，"‘OB'是

N40B在夕内的射影，则下列结论错误的是（）

A.NA'OB'为钝角B.Z-A'OB'>AAOB

C.Z.AOB+Z.AOA'<nD.Z-B'OB+Z.BOA+Z.AOA'>n

7、（0分）如图，在棱长为1的正方体4BCD-4B1C1D1中，点E、F是棱BC、CG的中点，P是底

面4BCD上（含边界）一动点，满足为P1EF,则线段aP长度的取值范围是（）

A-[4]B.惇|]

C.[1,V3]D.[V2,V3]

8、（0分）已知两异面直线a,b所成的角为80°,过空间一点P作直线，使得呜a,b的夹

角均为50°,那么这样的直线有（）条

A.1B.2C.3D.4

9、（0分）下列结论中：

（1）过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；

（2）过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行;

（3）过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；

（4）过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行.

正确的序号为（）

A.(1)(2)B.(3)(4)C.(1)(3)D.(2)(4)

10、（0分）在空间中，可以确定一个平面的条件是

A.两两相交的三条直线

B.三条直线，其中的一条与另外两条分别相交

C.三个点

D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点

11、（0分）设a和夕是两个不重合的平面，给出下列命题：

①若a外一条直线1与a内一条直线平行，则/||a：

②若a内两条相交直线分别平行于口内的两条直线,则a||由

③设aC0=I,若a内有一条直线垂直于I,贝ijal伙

④若直线I与平面a内的无数条直线垂直，则Zla«.

上面的命题中，真命题的序号是（）

A.①③B.②④C.①②D.③④

12、（0分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（)

*t*3-*iK-4―»i

正住濯图值（左）视图

幅帽

A.28+6V5B.30+6V5C.56+1275D.60+12V5

13、（0分）关于直线a,b及平面a/,下列命题中正确的是（)

A.若a||a,an夕=b,则a\\b

B.若a\\a,bIIa,则aIIb

C.若a1a,a||，，则aL0

D.若aIIa,b1a,则b1a

14、（0分）已知m、n是两条不同的直线，a、p是两个不同的平面，给出下列命题：

①若a10，m||a,则m1伙②若m1a,n1S，且m1n,则al八③若m1夕，m||

a,则al£；④若m||a,n||£,且mIIn,则a||/?.其中正确命题的序号是（）

A.①④B.②③C.②④D.①③

15、（0分）设a,£,y是三个不重合的平面，/是直线，给出下列命题：

①若a_LS，4ly,则aly；②若21a1||夕则a_L/?

③若/上存在两点到a的距离相等，则I||a：④若a||°』不在。内，且?||a,则

III/?

其中正确的命题是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

16、（0分）（2015秋•随州期末）已知正方体ABCD-ABCD中，E、F分别为棱BC和棱

CC的中点，则异面直线AC和EF所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

17、（0分）已知平面a与平面B相交于直线1,L在平面a内，12在平面B内，若直

线L和12是异面直线，则下列说法正确的是（）

A.1与都相交li，12

B.1至少与11，12中的一条相交

C.1至多与11，12中的一条相交

D.1与11,12都不相交

18、（0分）有4个命题：

1）三点确定一个平面；

2）梯形一定是平面图形；

3）平行于同一条直线的两直线平行；

4）垂直于同一直线的两直线互相平行.

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

19、（0分）已知正四棱柱ABCD—AHCD中，AA|=2AB,E为AA|中点，则异面直线BE与

CD,所成角的余弦值为

A.叵B.iC.迪D.I

105105

20、（0分）下列命题中正确的个数是（）

①过异面直线a,b外一点P有且只有一个平面与a,b都平行；

②异面直线a,b在平面内的射影相互垂直，则a_Lb；

③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；

④直线a,b分别在平面a,夕内，且a_Lb,则al£.

A.0B.1C.2D.3

二、填空题（共10题；共0分）

21、（0分）两条异面直线所成的角的取值范围是.22、（0分）如图，已

知PA,平面ABC,BC±AC,则图中直角三角形的个数为_________

23、（0分）在直三棱柱ABC—4/16中，底面为等腰直角三角形，4B=BC=2,441=1,若

E、F、。别是棱AB、CB、4cl的中点，则下列四个命题：

①1FD；

②三棱锥A-BCG的外接球的表面积为9兀；

③三棱锥4-CEF的体积为点

④直线GE与平面4BC所成角为g

其中正确的命题有.（把所有正确命题的序号填在答题卡上）

24、（0分）如图，等腰△P48所在平面为a,PA1PB,4B=6.G是4P48的重心.平面a内经过

点G的直线，将△P4B分成两部分，把点P所在的部分沿直线I翻折，使点P到达点P'（P'C平面

a）.若P'在平面a内的射影”恰好在翻折前的线段AB上，则线段P'H的长度的取值范围

是________________________.

25、（0分）已知线段AD〃平面a,且与平面a的距离等于4,点B是平面a内动点，且

满足AB=5,AD=10.则B、D两点之间的距离的最大值为________________26、（0分）已知

正四面体ABCD的棱长为1,E是AB的中点，过E作其外接球的截面，则此截面面积的最

小值为________________

27、（0分）不同直线m、n和不同平面a、0.给出下列命题：

①{3=B；

mca

4rn||n

②"f="/B；

_mca

③{九u/?=m，n异面；

④Ca=m_LB.

其中假命题的个数为_________.

28、（0分）已知a、b、c是直线，a是平面，给出下列命题：

①若a〃b,b1c,则a_Lc；②若alb,blc,则a〃c；

③若”/a,bua,贝！|a〃b；④若aJ.a,bua,则a_Lb；⑤若a与b异面，则至多有一条直

线与a、b都垂直.

⑥若aua,bua,ale,b1c,则a〃b。

其中真命题是（把符合条件的序号都填上）

29、（0分）如图，正方体4BCD—4B1GD1的棱长为1,M是&&的中点，则下列四个命

题：

①直线BC与平面ABGDi所成的角等于45°：

②四面体4BCD］在正方体六个面内的投影图形面积的最小值为|；

③点M到平面ABC也的距离是

④BM与CD1所成的角为arcsin^.

其中真命题的序号是______________.

30、（0分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=V5,

ZADC=90°,沿直线AC将4ACD翻折成aACD',直线AC与BD'所成角的余弦的最大值

是_______________.

三、解答题（共5题；共0分）

31、（0分）如图，四棱柱ABCD-A出储4।中，侧面AA）D）D为矩形，AB_L平面AA,D

iD,CD_L平面AAiDiD,E、F分别为A）B八CC।的中点，且AA产CD=2,AB=AD=1.

（1）求证：EF〃平面AiBC；

(2)求Di到平面A,BCi的距离.

32、(0分)如图，在四棱锥A—CDFE中，四边形CDFE为直角梯形，CE“DF,EF，

FD.AFCEFD,P为AD的中点，EC=^FD.

(1)求证：CP〃平面AEF-,

(2)设EF=2,AF=3,FD=4,求点F到平面ACD的距离.

33、(0分)如图所示，四边形2MNC为等腰梯形，44BC为直角三角形，平面4MNC与平面

4BC垂直，AB=BC,AM=CN,点。、D、E分别是4C、MN、48的中点.过点E作平行于平面

4MNC的截面分别交B。、BC于点F、G,”是FG的中点.

(I)证明：OBJ.EH；

(II)若直线BH与平面EFG所成的角的正弦值为手，求二面角D-AC-H的余弦值.

34、(0分)如图，AB为圆0的直径，点E,F在圆0上，且AB//EF,AB=2EF,矩形ABCD

所在的平面和圆0所在的平面互相垂直.

(I)证明：0F//平面BEC；

(II)证明：平面ADFL平面BCF.

35、(0分)如图，星氯垂直于矩形,屈勰海所在的平面，.融=理容肆分别是布霸的中点.

(I)求证：,鳏糕平面那窗售；

(II)求证：平面藏黑』平面霰:渺.

试卷答案

1.【答案】D

【解析】由题意连接A£1,则NAC1A】为所求的角，在4ACm】计算.

；连接A&1,在长方体ABCD-A簿）Di中，

A|AJ,平面AiB]C)Di则NAC]Ai为AC।与平面AiBiCiDi所成角.

21

在AACiAi中，sinZACiAkdu磐#蕾=3

故选D.

2.【答案】D

【解析】视a,b为正方体中的线，a,B为正方体中的面，观察正方体解决.

对于A,根据面面平行的判定定理可知其正确；

对于B,根据线面垂直的性质定理可知“aJ.b”，故正确；

对于C,根据反证法思想可知该命题正确；

对于D,若a,B相交，则a,b可能相交，也可能异面，故D为假命题.

故选D.

3.【答案】D

【解析】【解答】画出如图所示的正方体，易知域殿与辛:成4铲角，所以A不正

确；踽周部’/嗡，所以B不正确；为噩与函所成的角，显然不是4T，

所以C不正确；雕谕1,离甥，所以他与眼所成的角，显然为6方所

以D正确.

要求两条异面直线所成的角，关键是通过做平行线，把两条异面直线所成的角做出来，然

后再计算.

4.【答案】D

【解析】期内存在直线甘口骸；

倒JJL".蝴_1_.潦。选D。

【点评】题目考查的是空间线面位置关系的判定和性质，难度不大，要求学生熟记掌握

5.【答案】D

【解析】【解答】如图，过平行六面体ABCD-A,B£,D।任意两条棱的中点作直线，

其中与平面DBB।平行的直线共有12条，

故选D.

解题的关键是画出图形，然后数出来，基础题。

6.【答案】D

【解析】

如图，过点B作BCJ.。垂足为C,过点A作4。1垂足为I).

在直角△BCO中，sin^BOC=骂在直角三角形8。夕中，sin^BOB1=桨

B080

因为是锐角二面角，

所以BC>BB1sin^BOC>sin^BOB1:.ABOC>乙BOB]

同理/.AOD>乙404]，因为乙B'OB+/.BOA+/.AOA'</.BOC+乙BOA+/.AOD=n

故选D.

点睛：本题的关键是证明利用什么方法来判断选项，由于选项判断的是角的大小关系，所

以一般要构造直角三角形，再利用三角函数分析解析.

7.【答案】D

【解析】因为CD1平面BB1CG,EFu平面BBiCG,所以CD1EF,又因为EF||BG，BCi1

BC：.EF工B©所以可得EFJ■平面4B1DC,当点P在线段CD上时，总有&P_LEF,所以

&P的最大值为,4P的最小值为&D=&，可得线段&P长度的取值范围是

[V2,V3],故选D.

【方法点晴】本题主要考查正方体的性质、线面垂直的判定定理的应用，属于难题.解答

空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关

系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面

垂直的常用方法有：(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论(a||b,a_La=b_La)；

(3)利用面面平行的性质(aJLa,可但na_L0)；(4)利用面面垂直的性质，当两个平面垂

直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

8.【答案】C

【解析】分析：如图所示，把a,b平移到点P处，则与a,b所成的角都为50。的直线有3条.

详解：过P作与a,b平行的直线a',",

如图,乙CPD=80°,

直线4G过点P且乙4PC=4AP0=50。，这样的直线有两条.

又4FPC=100°,直线PE为乙FPC的平分线，则NFPE=4EPC=50。，

综上，满足条件的直线的条数为3.

点睛：一般地，如果两条异面直线所成的角为。(0<。w］，过空间一点P作直线，与a,b所

成的均为a,即直线，的条数为则

(1)若0<a<g,则zn=0；

(2)若a=g,则m=1；

(3)若g<a<三，则m=2；

(4)若a=l，则zn=3；

(5)若则m=4

（6）若a=],则m=1.

9.【答案】C

【解析】对于（1）,过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行，正确；

对于（2）,当已知直线与平面相交时，不存在平面与已知平面平行，错误；

对于（3）,过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确；

对于（4）,过不在直线上的一点，有无数个平面与已知直线平行，正确；

故选C.

10.【答案】D

【解析】两两相交的三条直线，它们可能相交于同一点，也可能不相交于同一点，当三条直

线相交于同一点时，这三条直线可能不在同一个平面内，A错；条件中另外两条直线可能共

面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，三条直线不能确定一个平面，B错；空间三个

点可能不在同一条直线上，也可能在同一条直线上.当三个点在同一条直线上时，经过这三

个点的平面有无数个，C错；因为三条直线两两相交于不同的点，所以三个交点不在同一条

直线上，由公理2知，这三条直线可以确定一个平面，D正确.故选D.

11.【答案】C

【解析】【解答】根据直线与平面平行的判定定理可知①是真命题；由平面与平面平行的

判定定理可知是②真命题；若在婚内有一条直线垂直于交线y,不一

定垂直平面，髀，故③时假命题；根据已知条件可知，这无数条直线是平行的，由直线

与平面垂直的判定定理可得④是假命题.故选C.

12.【答案】B

【解析】因为三棱锥的表面积是3发二闻黄二次浜-*百刀+就号.由题意易知

.又因为统_L平面魂醺所以

又因C.^.3C机所以故

13.【答案】C

【解析】【解答】A是错误的，因为溺不一定在平面视内，故寓施可能为异面直线;

B是错误的，同平行于一个平面的两条直线位置关系不确定；D是错误的，直线与平面垂

直，需直线与平面内两条相交直线垂直；C是正确的，直线与平面垂直的判断定理.

14.【答案】B

【解析】【解答】当雄•！■好,时，有解1.鼾、解$却纵辍忆理等多种可能情况，所

以①不正确；

当阿=比阳1•目且题』阳时，由平面垂直的判定定理知凌.f所以②正确;

因为\mqB所以够」.尊,③正确；

④若除斑视，且漏点，，则或情廊相交，其不正确，故选B.

15.【答案】C

【解析】【解答】对于①若圾一.曜…了则嬷，，*两个平面可能平行，因此错

误。

对于②若凄展阖融则谨词根据面面垂直的判定定理可知成立。

对于③若/上存在两点到第的距离相等，则;也可能是相交，错误。

对于④若窿篦树上匠畿1且/赭嗨则滤.树’.，符合面面平行的性质定理，故成立，故选C.

本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间直线与平面，

平面与平面位置关系的定义及判定方法，是解答本题的关键.

16.【答案】C

【解析】试题分析：连接BCi，A1C1，A.B,根据正方体的几何特征，我们能得到NAiCiB

即为异面直线AC和EF所成的角，判断三角形AiCiB的形状，即可得到异面直线AC和EF

所成的角.

解：连接BCi，AiC1；AjB,如图所示:

根据正方体的结构特征，可得

EF〃BCi，AC:〃AC，

则/A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角

BC1=A1C1=A1B,

二△AICIB为等边三角形

故NA|CiB=60°

故选C

考点：异面直线及其所成的角.

17.【答案】B

【解析】试题分析：可以画出图形来说明1与11,12的位置关系，从而可判断出A,C,D

是错误的，而对于B,可假设不正确，这样1便和L,12都不相交，这样可退出和L,12

异面矛盾，这样便说明B正确.

解：A.1可以和上都相交，如下图：

该选项错误；

B.“1至少与11,12中的一条相交”正确，假如1和3，12都不相交;

1和12都共面；

，1和1I,12都平行；

11和12共面，这样便不符合已知的L和12异面；

.•.该选项正确.

C.1与11,12可以相交，如图：

...该选项错误；

D.1可以和L,I2中的一个平行，如上图，,该选项错误；

故选：B.

考点：空间中直线与直线之间的位置关系.

18.【答案】C

【解析】试题分析：由立体几何公理可知：不共线的三点确定一个平面，故1）错；梯形

中有一组对边平行，故梯形是平面图形，2）对；根据平行的传递性可知3）对；垂直于

同于条直线的两条直线可能异面也可能平行，4）错；因此只有2个命题正确；

考点：立体几何的公理；

19.【答案】C

【解析】试题分析：连接AXB,则有AXB//CD1,乙4$E就是异面直线BE与CD1所成

角，

设AB=1,则&E=4E=1,，BE=V2,ArB=V5.由余弦定理可知：cos^BE=

2+5-1_3所

2V2-V5110

考点：异面直线所成角

20.【答案】A

【解析】试题分析：①此命题不正确，当过点P与两条异面直线中的一条的平面与另一条

直线平行时，此时找不到一个过P的平面与两条异面直线都平行，不正确；②本命题用图

形说明，如图，三棱锥P-4BC中，侧棱PB垂直于底面，P4PC两线在底面上的投影垂直,

。为棱PB上一点，而异面直线P4DC两线不垂直，不正确；③四边相等的四边形也可以是

空间四边形，不正确；④直线a,b分别在平面a,0内，且a_Lb,贝不一定垂直，不正

确.故选A.

考点：空间中直线与直线之间的位置关系.

【方法点睛】通过列举反例说明命题不正确.本题考查命题真假的判断，考查了空间中直

线与直线之间的位置关系，线面位置关系，两异面直线的关系，面面位置关系等，正确解

答本题，关键是要有着较好的空间立体感知能力，能对命题所涉及的问题找到恰当的模型

做教体进行判断.本题是训练空间感知能力的一道好题，属于中档题.

21.【答案】（0°,90°]

【解析】【解答】解：由异面直线所成角的定义可知：

过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成

的角

故两条异面直线所成的角的取值范围是（0°,90°]

故答案为：（0°,90°]

由异面直线所成角的定义求解.

22.【答案】4

【解析】

由在Rt^ABC中，ZACB=90°,P为△ABC所在平面外一点，PAL平面ABC,能推导出

BCJ.平面PAC.由此能求出多少个直角三角形.

在Rtz^ABC中，/ACB=90°,P为△ABC所在平面外一点，PAJ.平面ABC,

ABC±PA,BC±AC,VPAAAC=A,BC_L平面PAC.

...四面体P-ABC中直角三角形有APAC,APAB,AABC,APBC.4个.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查直线与平面垂直的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思

想的灵活运用，是基础题.

23.【答案】①②③

【解析】根据题意画出如图所示的直三棱柱ABC-aB1G：

其中，底面为等腰直角三角形，AB=BC=2,44i=l,E、尸、。别是棱48、CB、4cl的中

点.

对于①，取4/1中点G,连接EG,BG交BiE于点0,连接DG.

：E为4B中点，AB=2,=1

.••四边形BEGB］为正方形，则BG1B1E

在AA/iCi中，D,G分别为4G的中点，则DG〃B】G，且DG=；BIG.

：F为BC的中点，且BC//BiQ

，BF//DGS.BF=DG

二四边形DFBG为平行四边形

二DF//BG

；.BiE1FD,故正确；

对于②，易得BC】=遮，则4炉+BG2=4+5=9.

■:AC12=AC2+CCi2=8+1=9

2

/.AB+BC12=AC12)即NABCI=]

♦.zcq=|

.•.三棱锥a-BCG的外接球的球心在线段4G的中点处，则外接球的半径为|

...三棱锥4-BCG的外接球的表面积为47rx(|)2=9〃，故正确；

对于③，易得当。=近，EF=也.

在RtADGE^,DG=洱5=1,EG==1,DE=y/DG2+GE2=夜，同理可得。F=V2,则

三棱锥Bi-OEF为正四面体，其体积为了=""鱼x&xfx乎x&=],故正确；

对于④，直线QE在平面4BC上的投影为直线CE,则aEG为直线&E与平面ABC所成的角，

在RtZCiCE中，taMCEG=绘=痈£葩=个手6,故不正确.

故答案为①②③.

24.【答案】，问

【解析】因为等腰APAB所在平面为a,PA1PB,4B=6.G是"48的重心，所以可得24=

3&,PG=2,连接P'G,"G,在RMP'HG中，P'G=2,P'H='JP'G2-HG2=V4-WG2,当H与A重

合时HG最大为2,此时P'H最小，P'H=0,（P'与力重合）作GHJ.4B于H,此时GH最小为1,P'H

最大为=g，的长度的取值范围是（0,遮］,故答案为（0,遮］.

25.【答案】［"VI丽”］

【解析】【解答】解：记A、D在面a内的射影分别为A1、D1,

VAB=5,AAi=4,，A［B=3,

即B在面a内以Ai为圆心、3为半径的圆周上，

又A1Di=10,故D1最大为13,最小为7,而DD1=4,

由勾股定理得BB、D两点之间的距离的最大值为：V132+42=A<185.

故答案为：V185.

记A、D在面a内的射影分别为A|、D1,由AB=5,可得出B在面a内以Ai为圆

心、3为半径的圆周上，由勾股定理能求出B、D两点之间的距离的最大值.

26.【答案】

【解析】【解答】解：将正四面体放入正方体中，则

正方体的中心即为其外接球的球心，AB为过E的最小截面圆的直径，

如图所示:

2

则所求截面圆的面积为n-（J=E.

故答案为：.

4

将正四面体放入正方体中，正方体的中心即为其外接球的球心，AB为过E的最小截面圆

的直径，求出截面圆的面积即可.

27.【答案】3

【解析】试题分析：①=m与平面B没有公共点，所以是正确的.

mca

②直线n可能在B内，所以不正确♦

③{:n异面，可能两条直线相交，所以不正确.

④m与平面B可能平行，不正确

m||a

考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系

28.【答案】①④

【解析】①•••a〃b,b_Lc,，a_Lc（一条直线垂直于两条平行线中的一条，也垂直于另一

条），故①正确；②a、c可能异面，不正确；③a、b也可能异面，不正确；

④由线面垂直的性质，若a_La,bua,则alb,故④正确；⑤不正确，只要有一条直线，

和a、b垂直，则与］平行的直线都满足；⑥不正确，若aua,bua,ale,61c,则除

Ta//b,亦可能a与b相交；故答案为①④.

点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查直线与平面间的位置关系，考查线面平

行的性质定理，采用逐一判定，①②⑤⑥空间三条直线关系的判定，③④线面平行、垂直

关系的判定.

29.【答案】①②④

【解析】试题分析：①懿：与面魂爵画1所成的角即为之侬僦产嘴，...①正确；②在四个

面上的投影或为正方形或为三角形，最小为三角形面积为公，...②正确；③嬲七晶福J,

埼陶群面段鸣闻，到面跳离的距离等于编到面丝霭离的距离为兽糊啊一豆,.••③

不正确；④联监与领所成的角即为魅•与蹈।所成的角，即贬漓髀，域瞳

..*尸：獭，故BM与CD1所成的角为

arcsin^,...④正确.故答案为：

①②④.

考点：点、线、面间的距离关系.

30.【答案】

O

【解析】【解答】解：如图所示,取AC的中点0,VAB=BC=3,AB01AC,在RtZ\ACD'

中，AC=712+（V5）2一捉作D'E±AC,垂足为E,D'E=1XA/5=屈.C0=

~7TT

娓，CE=D'A=近,/.E0=C0-CE=娓■

~2CAFTT

过点B作BF〃B0,作FE〃B0交BF于点F,则EF_LAC.连接D'F.ZFBDZ为直线AC与

BD'所成的角.

则四边形BOEF为矩形，BF=EO=近.EF=BO=！2_（捉）2=730.则NFED'为

二面角D'-CA-B的平面角，设为9.

则D'F2=2+（75^）2-2X730V30cos。=25~5cos。》也，

cos。=1时取等号.二D，B的最小值==2..♦・直线AC与BD，所成角的余

弦的最大值=_BF_=近=述.故答案为：V6.

7^ATT

2

如图所示，取AC的中点0,AB=BC=3,可得BOLAC,在Rt^ACD'中，AC=加.作

D'E±AC,垂足为E,D'E=730,C0=遍，CE=D'C2=&，EO=CO-CE=

"V~2CAT

76•过点B作BF〃BO,作FE〃BO交BF于点F,则EF_LAC.连接D'F.ZFBDZ为直线

T_

AC与BD'所成的角.则四边形BOEF为矩形，BF=EO=近.EF=BO=返.则/FED'为

T

二面角D'-CA-B的平面角，设为o.利用余弦定理求出D'F2的最小值即可得

出.本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属

于难题.

31.【答案】证明：（1）取AiB的中点0,连接0E,0C,则0E平行且等于|BBI,

•.•F为CCi的中点，；.CF平行且等于|CC1,

/.0E平行且等于CF,

二四边形OECF是平行四边形，

EF〃0C,

,.•EFQ平面AiBC,OCc平面AiBC,

，EF〃平面A,BC；

(2)解：Z\AiBCi中，A】B=A】C产V5,BC尸V6,，面积为|xV6x^5一倒二

叵

2°

设D।到平面AjBC।的距离为h,则|X亨h=|x|x2xlx2

【解析】（1）取A而的中点0,连接0E,0C,证明四边形OECF是平行四边形，可得

EF〃OC,即可证明EF〃平面AiBC；

（2）利用等体积法求D1到平面A,BCi的距离.

32.【答案】（1）见解析，（2）等

【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是

利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）利用棱锥的体积公式

1

•芦

'一岁求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面

垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂

直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积

时，选择适