2021高考数学全真模拟卷（北京版）20【解析版】

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷(北京版)

第二十模拟

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.命题对任意xeR,2*+1>()的否定是()

A.-P：存在毛eR,2%+1KOB.~^P：存在与wR,2国>+1>0

C.-P-.不存在/€^,2&+14()D.-P-.对任意xwR,2'+l<0

【答案】A

【解析】所给命题是全称性命题，它的否定是一个存在性命题，即存在与GR,2'"+l<0.

故选：A.

2.已知全集。={%€"|0<%<6},集合A={4,5,6},则C0A=()

A.{1,2,3}B,{0,1,2,3)

C.{x|()<x<3}D,U={xeN|()<x<3}

【答案】B

【解析】因为。={0,1,2,3,4,5,6},所以14={0,1,2,3},选B.

3.下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上单调递增的是()

A.y=3xB.>=凶+3C.y=-x2+2D.y=2X

【答案】B

【解析】由一次函数的性质可知，>=3x为奇函数，故A错误；

由指数函数的性质可知，y=2,为非奇非偶函数，故D错误；

由二次函数的性质可知，y=-/+2是偶函数，在(0,+8)上单调递减；故C错误.

由卜x|+3=W+3得y=|x|+3是偶函数，当x>0时，y=|x|+3=x+3显然单调递增，故B正确；

故选：B

1、

4.若等差数列{“”}首项为2,公差为2,其前〃项和记为S,”则数列{f不}前〃项和为()

2nnn

A.----B.Cn(n+l)D.

〃+l〃+l2(〃+1)

【答案】B

【解析】等差数列前“项5“=叼+，等差数列｛4｝首项为2,公差为2,代入可得

,?(H-1)11111]

5，，=2〃+-4^义2=〃(〃+1),所以£==7一Q所以数列｛f不｝前〃项和为

,1111111n

=1---1-----1-----F.•+--=1------

22334n〃+1〃+1〃+1

故选：B

5.已知。是第三象限角，则Jsire-sii/e可化简为（）

A.sincosB.-sinScoseC.2sin8cos。D.—2sin^cos^

【答案】A

【解析】拓二=万祥飞至访卜inOcosq,因为。是第三象限角，所以

sin0<0,cos°<0,所以Jsin28-sin46-sin6cos0

故选：A

6.在梯形A5CO中，已知A3〃CO,AB=2CD,DM=2MC，CN=2NBr若丽7=4亚+4硒，

11

町+丁()

【答案】D

【解析】由题意，根据向量的运算法则，可得：AM^AC+CM=AC--AB=AC--(AC+CB)

66

=5^_1^=5-^_1^=5—=13—_1—

666464124

___一一一131

又因为AM=XAC+〃AN,所以4=j^,〃=—w，

111240

所以二-I——----44=----

4〃1313

故选：D.

Du

7.已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧为,圆周，则该几何体的侧面积为（）

21

11

人/13万771

A.44---B.-1—

422

「7加兀7也兀

--1-----nU---1-----

2428

【答案】C

由一个三棱锥体S-ABO和一个,圆锥组成的几何体.

【解析】由几何体的三视图转换为直观图为:

4

如图所示：

S

B

所以该几何体的侧面积为S=S“SAC+SS”+-7VOCSC.

4

='2x2+'后逑+lx〃x逐，垂＞兀

4------

222424

故选：c.

8.唐代诗人李欣的是《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河''诗中隐含着一个有缺的数

学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走

才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为/+若将军从4(2,0)出发，河岸线

所在直线方程x+y-4=0,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，贝「将军饮马”的最短总路程为

()

A.回B.275-1C.2y[5D.V10-1

【答案】B

b

【解析】设点A关于直线x+y=4的对称点A'(a,b),-

a-2

I-=1

4A的中点为1*，父，故|?解得a=4,b=2,

I22)a+2b,

-----+--4

[2---2

要使从点A到军营总路程最短，即为点Af到军营最短的距离，

即为点4和圆上的点连线的最小值，为点A'和圆心的距离减半径,

“将军饮马”的最短总路程为-1=-1，

故选:B

9.已知抛物线4%的焦点与椭圆=1(a>h>0)的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所

得线段长为&，那么该椭圆的离心率为()

A.2B.-C.—

32

【答案】C

【解析】设椭圆的焦点为《，心，抛物线的准线为AB

由题意可知马(1,0),-1,—1

则二+上=1,即一一+」=1

a22b2b2+l2b2

整理得到2//—/一1=。，解得力2=一!(舍)，/=[,

则a=V2

vc=l

c1V2

e=—=—]=-----

a<22

故选：C

小

|x+11,—7<x<e:

10.已知函数/(x)=f'若存在实数加,使得/(〃?)=2/一4。成立，则实数。的取值范

Inx.e<x<e.

围是()

A.[-1,+oo)B.(-oo,-1]U[3,+oo)C.[-1,3]D.(-00,3]

【答案】c

【解析】作出函数/(x)=]，~的图象如图：

[Inx,e~<x<e

"(-7)=6,f(e-2)=—2,.•.值域为[―2,6],

若存在实数用，使得/(加)=2/-4a成立，

.•.-242/-4a46，解得一lWaW3,

二实数。的取值范围是IT,3J.

故选：c

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

II.若复数z=2^,则向=

【答案】1

2—z(2——2。2—4z—z—2.

【解析】由Z-l+2z(l+2/)(l-2z)-1+4'

目=1

故答案为1.

12.若@一'-）6的二项展开式中常数项为-2,则常数。的值是.

ax2

【答案】2

567r62r

（解析】（X-'）6的第r+1项为Tr+l=C；•x--（--/=（--r-C；-x-,

axaxa

51,.5

常数项为—二，则r=3,（—一）3-C；=一二，解得”=2.

2a2

故答案为：2

13.已知圆C:（x—2『+:/=2,直线/:y=Ar（x+2）,若直线与x轴交于点A,过直线/上一点P做圆C

的切线，切点为7,若PA=^PT，则左的取值范围是.

rv~3币377-

【答案】——-

77

【解析】圆C：(x—2)2+y2=2,直线/：y=-x+2)与X轴相交于点A(-2,0)

设尸(x,y),由=可得

(x+2)2+/=2((x-2)2+/-2),即/+y2-]2x=0,满足m=&PT的点P的轨迹是一个圆

(X-6)2+/=36,所以问题转化为直线与圆(X—6)2+V=36有公共点

|6A-0+2&|“3s3J7

所以dWr，'~,~<6,解得一丝工心"

y/k2+177

oFioFi

所以实数%的取值范围是：--一,小

77

3币3币-

故答案为：丁，r

77

Y

14.已知双曲线T(。>0/>0)的左右顶点分别为A、8,点尸是双曲线上一点，若△尸AB为等

腰三角形，NPAB=120°，则双曲线的离心率为

【答案】叵

因为为等腰三角形，所以Q4=A3=2a,

又因为NPAB=120。，所以ZPAD=60、

PO=P4sin60，AD=PAcos60u=a>故P（-2a,氐）.

29

因为点P(—2a,6a)在双曲线„y_—1上,

a2b2

4-Cl3q_,Hn优«

所以F-----7-=l,B[J—=1.

a2b2b2

故答案为：y/2

15.已知曲线C：_/+y4+如2y2=1(m为常数).

(i)给出下列结论：

①曲线C为中心对称图形；

②曲线C为轴对称图形；

③当机=一1时，若点P(x,y)在曲线C上，则国21或仅|21.

其中，所有正确结论的序号是.

(ii)当相＞一2时，若曲线C所围成的区域的面积小于乃，则小的值可以是.(写出一个即可)

【答案】(i)①②③(ii)加＞2均可

【解析】⑴在曲线。上任取一点P(x,y)，则/+寸+如2y2=],

将点爪一乂一丁)代入曲线。的方程可得(—x)4+(—y)4+m(—x)2(—»=1,

同理可知，点巴(无,一丁)、6(-x,y)都在曲线。上，则曲线C关于原点和坐标轴对称，命题①②正确.

，1、2q

当团=-1时，l=x4+y4-x2y2=x2一一y1+-y2，反设国＜1且仪|＜1,

、2/4

则04y2＜l,所以，一大V%?一大丁？＜二,则0Klx?—』,

2T2(2)4

所以，£*+y4=1*2+(y2＜],这与无4+,4一12,2=1矛盾.

假设不成立，所以，国21或»归1,命题③正确；

(ii)当加=2时，曲线C的方程为/+寸+2/3；2=1,B[J(x2+y2)2=1,即/+,2=1,

此时，曲线。表示半径为1的圆，其面积为万.

当加＞2时，同当孙。0时，在圆V+y2=l上任取一点尸则

1=6+力2=/+34+2/2</+,4+皿2y2,则点p在曲线外，所以，曲线。的面积小于圆的面

积开.

故答案为：①②③；m>2均可.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.(本小题满分14分)

在AABC中，内角A、B、C所对的边长分别为〃、b,c,tan^-^+tan—=—.

223

(1)求角C的大小：

(2)已知△ABC不是钝角三角形，且c=26，sinC+sin(5-A)=2sin2A,求△ABC的面积.

【解析】(I)因为｛q｝的前20项成等差数列，生=4,$5=30,

q+d=4,

解得[7;

[a=2

所以％0=2+19x2=40.

因为数列｛%｝后11项成公比为夕的等比数列，

所以“=2■=〈.

a202

综上，d-2,q=—.

2

(II)｛4｝的前20项成等差数列,d>0.

所以前20项为递增数列.

即:前20项的最大项为为)=40.

数列｛a,,｝的后11项成等比数列,q=g,

所以后11项是递减数列.

即:后11项的最大项为生。=40

综上，数列｛6,｝的最大项为第20项，其值为40.

选择条件②：$3=0,%>=-36,a22=-9

解：(I)因为｛叫的前20项成等差数列，S3=0,a20=-36,

｛3a.+3d=0,

所以llQ/

+19d=-36,

a=2,

所以《A

d=-2.

因为数列｛〃”｝后11项成公比为4的等比数列,

〃20=-36,又因为出2=-9,

q2=^2.=1

«204

所以q=±；.

综上，d=-2,q=.

(II)｛%｝的前20项成等差数列，d<0.

所以前20项为递减数列.

前20项的最大项为4=2.

因为q=±L

i.当4=5时，=-361-1(20W/1W30且“eN"),

所以当204〃430时，an<0.

此时,数列｛4｝的最大项为第1项,其值为2；

1(1)TO

ii.当4=一5时，a„=-36l--I(20<〃W3(ianeN*),

后11项的最大项为%=18.

此时，数列｛%｝的最大项为第21项，其值为18.

综上，当4=工时，数列｛”“｝的最大项为第1项，其值为2；

当4=-g时，数列｛%｝的最大项为第21项，其值为18.

选择条件③：£=48,%1=20,%a=160

解：(1)因为数列口J后11项成公比为夕的等比数列，%=20,生4=160,

所以^=9=8,

%

解得4=2.

所以.

q

又因为｛6,｝的前20项成等差数列，S=q=48,

所以［=&1二幺=一2.

20-1

综上，d=-2,q=2.

(II)｛%｝的前20项成等差数列，d<0.

所以前20项为递减数列.

前20项的最大项为q=48.

｛%｝的后11项成等比数列，而电0=10,q=2,

,,-2

an=10-2°(20W〃W30且〃eN,),

所以后11项为递增数列.

后11项的最大项为。3。=10240

综上，数列｛"J的最大项为第30项，其值为10240.

17.(本小题满分14分)

如图，在四棱锥S-ABC。中，底面ABC。是边长为2的菱形，ASAB是等边三角形，NABC=120。，SD=3,

M,N分别是SC,CD的中点.

(I)求证：CD上平面BMN；

(II)求直线SA与平面SCO所成角的正弦值.

【解析】(I)连接80，由已知得，BD=BC,又N是CD的中点，所以CDLBN.

再由丽•丽=丽•(系+X5)=C5•系+CD-A5=2x2xg+2x2x(-;)=0,所以CE>J_SD,由

MNHSD.：.CD±MN,MNcBN=N，故CDJ_平面

(II)取AB的中点O,连结OS,OD,由己知OD=0S=6,OD//BN

根据（1）有C。，。。，CDLSD,SOI。。=。

所以8，平面SOD.又CDu面SCO,r.面SOD±面SC。

平面SOOc平面SCD=S£）,作OPLSD,则。尸_L面SCD

△SO。中，OD=OS=6,SD=3,

8=g(”储邛

AB11CD,CDu平面SCO,；.AB〃面SCD,

■.点A到平面SCD的距离等于点O到平面SCD的距离

设直线SA与平面SCO所成角为巴

上

sin0=""-""sc"=-2-=

SA2

18.（本小题满分14分）

2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数

据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市

设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI）,其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,

2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量.

（1）若某日播报的AQI为118,已知轻度污染区AQI的平均值为74,中度污染区AQI的平均值为114,

求重度污染区AQI的平均值；

（2）如图是2018年II月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在［170,180）内.

组数分组天数

第一组[50,80)3

第二组[80,110)4

第三组[110,140)4

第四组[140,170)6

第五组[170,200)5

第六组[200,230)4

第七组[230,260)3

第八组[260,290)1

①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180,则去进

行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；

②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据

中抽取3天的数据进行评价，设抽取到AQI不小于180的天数为X,求X的分布列及数学期望.

【解析】（1）设重度污染区4。的平均值为x，WJ74x2+114x5+2x=118x9,解得x=172.

即重度污染仅40/平均值为172.

（2）①由题意知，AQ/在［170,180）内的天数为1,

由图可知，AQ/在［50,170）内的天数为17天，故II月份AQ/小于180的天数为1+17=18.

1QQ3

又弓==，则该学校去进行社会实践活动的概率为3•

3055

②由题意知，X的所有可能取值为0，1,2,3,且

P（X=0）=卑=垩，唳=1）=年=型，

7

''C；o10151Cj01015

P（X=2）=4^=也，P（X=3）=4^=。-,

'）以1015'）C；°203

则X的分布列为

X0123

20445929711

P

101510151015203

MW"c204,459c297cli6

数学期望收=Ox----+lx----+2x----+3x——=-.

1015101510152035

19.（本小题满分14分）

已知椭圆E:0+'=l（a>O>O）,过点A（2,l）,且该椭圆的短轴端点与两焦点”，死的张角为直角♦

（1）求椭圆E的方程；

⑵过点8（0,3）且斜率大于0的直线/与椭圆E相交于点P,Q,直线AP,AQ与），轴相交于例，N两点，

求忸M+|BN|的取值范围.

【解析】⑴由于椭圆的短轴端点与两焦点”，骂的张角为直角，所以6=，,/=6+。2=2/，所以

41

万+屏=1,66,

b2=363

a2=2b2

（2）设直线/的方程为丁=依+3,。（石，M），°（工2，%），

V.—1

直线AP的方程为y-l=J（X-2）,可得M0,1一一百_L

Xj-2I%-2

1%—1

直线A。的方程为y』工（尤-2）,可得N0,1--比一

I%-2）

；2二：；：6,消去“整理得（1+2公）/+12"+12=0.

联立《

A=14442-4x12（1+2/）〉。

12k

x,+x=----------

12-1+2公

1

可得公〉i，由于左＞o,所以左＞1.

忸M|+忸N|=2+%+2+以=4+^^+^^

~~乙*^2~~/

=4+2x(芍-2)(y-1)+(5—2)(%T)

(百-2)(%-2)

_4上,乂(，2-2)(脑+3-1)+(3-2)(5+3-1)

C)(x「2)

=4+2x(9-2)(牝+2)+(%-2)(5+2)

(X-2)(9-2)

42\2kxyx2-(2^-2)(%,+x2)-8]彳4^,%2-2(2^-2)(x,+x,)-16

玉工2-2(玉+尤2)+4xtx2-2(X]+X2)+4

「「'…+仍’")……48攵+24人(2%-2)-16.(1+2二)

12।24k।[12+24%+4(1+22

l+2k2l+2k2

，16%2—16=4+次凸=6,

=4+-----------------

8F+24Z+16k+2k+2

由于左+2>3,所以0<-^-<2,—2<—一—<0,4<6--—<6,

k+2k+2k+2

也即忸M|+忸N|的取值范围是(4,6).

20.已知函数/(%)=-+ln--(aeR).

x

(1)当函数〃X)与函数g(x)=lnx图象的公切线/经过坐标原点时，求实数。的取值集合;

当ae[()L111

(2)证明:函数力(x)=/(x)-仪有两个零点，且满足一+一＜一.

百x2a

【解析】(1)设公切线/与函数g(x)=lnx的切点为(毛,%),则公切线/的斜率&=g'(xo)=」-，公切线

玉)

/的方程为：y-%='(X-尤0),将原点坐标(0,0)代入，得%=1,解得$=e,公切线/的方程沏y=』x,

玉)e

将它与八＞)="比联立，整理得a=4/—inx.

xe

令机(x)=1——inx,对之求导得：加(x)=2xe,令m(幻=。，解得》=上.

eexv2

当xe(0,J|)时，加(x)＜0,/〃(x)单调递减，值域为(竽,+8),

当了£电收)时，加。)〉0,加。)单调递增，值域为In2)

~T')'

由于宜线/与函数/(X)相切，即只有一个公共点,

故实数。的取值集合为，;In

(2)证明：〃(x)='+h"",要证人(x)有两个零点，只要证-x)=o?—inx-a有两个零点即

X

可.2(1)=0,即X=1时函数左(X)的一个零点.

对我(x)求导得：k'(x)-lax--,令&'(x)=0,解得x=1—.当工>7=时，A'(x)>0,左(x)单调递

x72cl\J2a

增;

当0<x<I—时,人(九)<0,Z(x)单调递减.当冗=~时，％(x)取最小值，k</:(!)=0,

72cl72a

A(x)=ax2-Inx-tz>ax2一(％-1)-Q=ax2-x+l-a>ax2-x+—,必定存%>~r=在使得二次函数

212a

w(x)=竭一%)+g>0，

即左(%)>“(%)因此在区间上

>0.,XO必定存在k(x)的一个零点.

7

\

练上所述，A(x)有两个零点，一个是x=l,另一个在区间,+8上.

7

111

下面证明一+一<—

a

hM上.

由上面步骤知人(无)有两个零点，一个是x=l,另一个在区间

72a>

不妨设x]=L%>I——1则,+,