山东省青岛市即墨第一中学高三数学文月考试题含解析

山东省青岛市即墨第一中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（

）A.合格产品少于8件 B.合格产品多于8件C.合格产品正好是8件 D.合格产品可能是8件参考答案：2.函数的大致图象是()参考答案：C略3.i是虚数单位，复数表示的点落在哪个象限（

）A．第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：C4.已知是定义在上的奇函数，满足,当时,，则函数在区间上的零点个数是

（

）

A．3

B．5

C．7

D．9参考答案：D5.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D本题考查了统计中的基本统计量，中位数、众数、均值之间的计算。难度较小。计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D6.下列说法错误的是

A．若命题，则

B．命题“若，则”的否命题是：“若，则”

C．“”是“”的充分不必要条件

D．若命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题参考答案：C7.函数y=（x＞1）的最小值是（）A．2+2 B．2﹣2 C．2 D．2参考答案：A【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先将函数变形可得y==（x﹣1）++2，再利用基本不等式可得结论．【解答】解：y==（x﹣1）++2∵x＞1，∴x﹣1＞0∴（x﹣1）+≥2（当且仅当x=+1时，取等号）∴y=≥2+2故选A．8.“数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的（

）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A解：若数列既是等差数列又是等比数列，则数列为常数列，且，反之，当时，满足数列是常数列，但数列不是等比数列，所以“数列既是等差数列又是等比数列”是“是常数列”的充分不必要条件，故选．9.如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．参考答案：B由题，，则，则离心率．故选B．10.已知向量m=(a,b)，向量m⊥n且|m|=|n|,则n的坐标为

（

）A.（a,－b）

B.(－a,b)

C.

(b,－a)

D.(－b,－a)参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在数列中，已知，记为数列的前项和，则

.参考答案：-1006【知识点】数列求和.D4

解析：由，得，，，…由上可知，数列是以4为周期的周期数列，且，所以【思路点拨】由已知结合数列递推式求出数列前5项，得到数列是以5为周期的周期数列，由此求出答案.12.在△ABC中，如果cos（B+A）+2sinAsinB=1，那么△ABC的形状是． 参考答案：等腰三角形【考点】三角形的形状判断． 【专题】解三角形． 【分析】把已知等式利用两角差的余弦函数公式化简后与左边合并，然后再利用两角和的余弦函数公式得到cos（A﹣B）=1，根据余弦函数的图象及三角形角的范围得到A=B，即可得解． 【解答】解：依题意，2sinAsinB=1﹣cos（B+A）=1﹣cosBcosA+sinAsinB， 化简得sinAsinB=1﹣cosAcosB，即cosAcosB+sinAsinB=1， 则cos（A﹣B）=1， 由﹣π＜A﹣B＜π，所以A﹣B=0，即：A=B， 所以△ABC的形状是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点评】此题考查学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式化简求值，是一道综合题．做题时应注意角度的范围． 13.用数字0，1，2，3，4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有

个．参考答案：240【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，从1，2，3，4中四个数选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，根据分步计数原理得到结果．解：由题意知本题是一个分步计数问题，从1，2，3，4中四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A53=60个，根据分步计数原理知有60×4=240个，故答案为：240．【点评】本题考查分类计数问题，数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．14.若集合满足∪∪…∪,则称，，…为集合A的一种拆分。已知：

①当∪=时，A有种拆分；

②当∪∪=时，A有种拆分；

③当∪∪∪=时，A有种拆分；

……由以上结论，推测出一般结论；当∪∪…∪=，A有

种拆分。参考答案：略15.一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则.俯视图h452

正（主）视图侧（左）视图参考答案：16.设实数x，y满足不等式，则函数的最大值为

.参考答案：11不等式表示区域如图中阴影部分所示，目标函数为是与直线平行的直线系，当直线向上平移时，在增大，且过点A时达到最大值，由得,从而.17.复数z=1+在复平面上对应的点到原点的距离为．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．参考答案：(1)设污水处理池的宽为xm，则长为m.总造价为f(x)＝400×＋248×2x＋80×162＝1296x＋＋12960＝1296＋12960≥1296×2＋12960＝38880元．当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2m，宽为10m时总造价最低，最低总造价为38880元．(2)由限制条件知∴10≤x≤16.设g(x)＋x＋，由函数性质易知g(x)在上是增函数，∴当x＝10时(此时＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×＋12960＝38882(元)．∴当长为16m，宽为10m时，总造价最低，为38882元．19.已知某种细菌的适宜生长温度为10℃～25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194

对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如下表所示：18663.81124.3142820.5

其中，.（1）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（3）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二成估计分别为，.参考数据：.参考答案：(1)更适合作为关于的回归方程.(2).(3)245.【分析】（1）画出关于的散点图，即可作出判定，得到结论.（2）由（1）因为，得，利用公式求得和的值，即可求得回归方程；（3）令，求得，即可得到结论.【详解】（1）由题意，关于的散点图如下图所示.更适合作为关于的回归方程.（2）由（1）因为，则，∴，∴，∴关于的回归方程为.（3）由（2）中的回归方程，令，求得，所以当温度为时，预报值为.【点睛】本题主要考查了数据的散点图的应用，回归方程的求解及应用，其中解答中正确理解题意，合理利用散点图作出判断，准确利用公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.20.（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱BB1⊥平面ABC，D是棱BC的中点，点M在BB1棱上，且CM⊥AC1，AB=1，BB1=2．（1）求三棱锥D﹣ABC1的体积；（2）求证：A1B∥平面AC1D；（3）求证：CM⊥C1D．参考答案：【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）侧棱BB1⊥平面ABC，利用==即可得出．（2）连接A1C交AC1于点E，连接ED，可得AE=EC1，利用三角形中位线定理可得ED∥A1B，利用线面平行的判定定理可得：A1B∥平面AC1D；（3）由△ABC是正三角形，BD=DC，可得AD⊥DC，由侧棱BB1⊥平面ABC，可得BB1⊥AD，于是AD⊥平面BCC1B1，可得：CM⊥平面AC1D．即可证明．（1）解：∵侧棱BB1⊥平面ABC，∴====．（2）证明：连接A1C交AC1于点E，连接ED，则AE=EC1，又BD=DC，∴ED∥A1B，又A1B?平面AC1D，又ED?平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D；（3）证明：∵△ABC是正三角形，BD=DC，∴AD⊥DC，∵侧棱BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，又BB1∩BC=B，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥CM，∵CM⊥AC1，又AD∩AC1=A，∴CM⊥平面AC1D．∴CM⊥C1D．【点评】：本题考查了正三角形与平行四边形的性质、线面面面平行垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（I）求证：DE是圆O的切线；（II）求证：DE·BC=DM·AC+DM·AB.参考答案：解：（I）连结OE.∵点D是BC的中点，点O是AB的中点，∴，∴，.∵，∴，∴.在和中，∵，，∴，即.∵是圆上一点，∴是圆的切线.

……5分（II）延长交圆于点.∵≌，∴.∵点是的中点，∴.∵是圆的切线，∴.∴.

∵，∴.∵是圆的切线，是圆的割线，∴，∴……10分

22.在直三棱柱中，=2,.点分别是

,的中点，是棱上的动点.（I）求证：平面；(II)若//平面，试确定点的位置，并给出证明；参考答案：(I)证明：∵在直三棱柱中，，点是的中点，∴

…………1分,,

∴⊥平面

………3分平面∴，