数学高中必修一知识点总结

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数学高中必修一知识点总结1

一、平面的基本性质与推论

1、平面的基本性质：

公理1假如一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；

公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

公理3假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

2、空间点、直线、平面之间的位置关系：

直线与直线—平行、相交、异面；

直线与平面—平行、相交、直线属于该平面〔线在面内，最易忽视〕；

平面与平面—平行、相交。

3、异面直线：

平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线〔判定〕；

所成的角范围〔0，90〕度〔平移法，作平行线相交得到夹角或其补角〕；

两条直线不是异面直线，那么两条直线平行或相交〔反证〕；

异面直线不同在任何一个平面内。

求异面直线所成的角：平移法，把异面问题转化为相交直线的夹角

二、空间中的平行关系

1、直线与平面平行〔核心〕

定义：直线和平面没有公共点

判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么该直线平行于此平面〔由线线平行得出〕

性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行

2、平面与平面平行

定义：两个平面没有公共点

判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行

性质：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；假如两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线

三、空间中的垂直关系

1、直线与平面垂直

定义：直线与平面内任意一条直线都垂直

判定：假如一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直，那么该直线与此平面垂直

性质：垂直于同一贯线的两平面平行

推论：假如在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面

直线和平面所成的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度

2、平面与平面垂直

定义：两个平面所成的二面角〔从一条直线出发的两个半平面所组成的图形〕是直二面角〔二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角〕

判定：一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

性质：两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

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★高中数学导数知识点

一、早期导数概念————非常的形式大约在1629年法国数学家费马讨论了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f〔A+E〕—f〔A〕，发觉的因子E就是我们所说的导数f〔A〕。

二、17世纪————广泛运用的“流数术”17世纪生产力的进展推动了自然科学和技术的进展在前人制造性讨论的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地讨论微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的改变率为流数相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的改变与函数的改变的比的构成最在于决断这个比当改变趋于零时的极限。

三、19世纪导数————渐渐成熟的理论1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简约表示{dy/d*〕=lim〔oy/o*〕。1823年柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数假如函数y=f〔*〕在变量*的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60时代以后魏尔斯特拉斯制造了ε—δ语言对微积分中涌现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今日常见的形式。

四、实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是实无限理论即无限是一个详细的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比如无限接近。就历史来看两种理论都有肯定的道理。其中实无限用了150年后来极限论就是现在所运用的。光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争辩的问题后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的`理论都不是最好的手段。

★高中数学导数要点

1、求函数的单调性：

利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf〔*〕在区间〔a，b〕内可导，〔1〕假如恒f〔*〕0，那么函数yf〔*〕在区间〔a，b〕上为增函数；〔2〕假如恒f〔*〕0，那么函数yf〔*〕在区间〔a，b〕上为减函数；〔3〕假如恒f〔*〕0，那么函数yf〔*〕在区间〔a，b〕上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数yf〔*〕的定义域；②求导数f〔*〕；③解不等式f〔*〕0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式f〔*〕0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题〔如确定参数的取值范围〕：设函数yf〔*〕在区间〔a，b〕内可导，

〔1〕假如函数yf〔*〕在区间〔a，b〕上为增函数，那么f〔*〕0〔其中使f〔*〕0的*值不构成区间〕；

〔2〕假如函数yf〔*〕在区间〔a，b〕上为减函数，那么f〔*〕0〔其中使f〔*〕0的*值不构成区间〕；

〔3〕假如函数yf〔*〕在区间〔a，b〕上为常数函数，那么f〔*〕0恒成立。

2、求函数的极值：

设函数yf〔*〕在*0及其四周有定义，假如对*0四周的全部的点都有f〔*〕f〔*0〕〔或f〔*〕f〔*0〕〕，那么称f〔*0〕是函数f〔*〕的微小值〔或极大值〕。

可导函数的极值，可通过讨论函数的单调性求得，基本步骤是：

〔1〕确定函数f〔*〕的定义域；〔2〕求导数f〔*〕；〔3〕求方程f〔*〕0的全部实根，*1*2*n，顺次将定义域分成假设干个小区间，并列表：*改变时，f〔*〕和f〔*〕值的

改变状况：

〔4〕检查f〔*〕的符号并由表格判断极值。

3、求函数的最大值与最小值：

假如函数f〔*〕在定义域I内存在*0，使得对任意的*I，总有f〔*〕f〔*0〕，那么称f〔*0〕为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不肯定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。

求函数f〔*〕在区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤：〔1〕求f〔*〕在区间〔a，b〕上的极值；

〔2〕将第一步中求得的极值与f〔a〕，f〔b〕比较，得到f〔*〕在区间[a，b]上的最大值与最小值。

4、解决不等式的有关问题：

〔1〕不等式恒成立问题〔绝对不等式问题〕可考虑值域。

f〔*〕〔*A〕的值域是[a，b]时，

不等式f〔*〕0恒成立的充要条件是f〔*〕ma*0，即b0；

不等式f〔*〕0恒成立的充要条件是f〔*〕min0，即a0。

f〔*〕〔*A〕的值域是〔a，b〕时，

不等式f〔*〕0恒成立的充要条件是b0；不等式f〔*〕0恒成立的充要条件是a0。

〔2〕证明不等式f〔*〕0可转化为证明f〔*〕ma*0，或利用函数f〔*〕的单调性，转化为证明f〔*〕f〔*0〕0。

5、导数在实际生活中的应用：

实际生活求解最大〔小〕值问题，通常都可转化为函数的最值。在利用导数来求函数最值时，肯定要留意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。

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一、求导数的方法

〔1〕基本求导公式

〔2〕导数的四那么运算

〔3〕复合函数的导数

设在点*处可导，y=在点处可导，那么复合函数在点*处可导，且即

二、关于极限

1、数列的极限：

粗略地说，就是当数列的项n无限增大时，数列的项无限趋向于A，这就是数列极限的描述性定义。记作：=A。如：

2、函数的极限：

当自变量*无限趋近于常数时，假如函数无限趋近于一个常数，就说当*趋近于时，函数的极限是，记作

三、导数的概念

1、在处的导数。

2、在的导数。

3。函数在点处的导数的几何意义：

函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，

即k=，相应的切线方程是

注：函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数。

例、假设=2，那么=〔〕A—1B—2C1D

四、导数的综合运用

函数y=f〔*〕在点处的导数，就是曲线y=〔*〕在点处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程。详细求法分两步：

〔1〕求出函数y=f〔*〕在点处的导数，即曲线y=f〔*〕在点处的切线的斜率k=

〔2〕在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为*。

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轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性〔也叫做须要性〕；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性〔也叫做充分性〕。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤。

1、建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；

2、写出点M的集合；

3、列出方程=0；

4、化简方程为最简形式；

5、检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

1、直译法：径直将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

2、定义法：假如能够确定动点的轨迹满意某种已知曲线的定义，那么可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

3、相关点法：用动点Q的坐标*，y表示相关点P的坐标*0、y0，然后代入点P的坐标〔*0，y0〕所满意的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

4、参数法：当动点坐标*、y之间的径直关系难以找到时，往往先查找*、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

5、交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

求动点轨迹方程的一般步骤：

①建系——建立适当的坐标系；

②设点——设轨迹上的任一点P〔*，y〕；

③列式——列出动点p所满意的关系式；

④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于*，Y的方程式，并化简；

⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

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空间几何体表面积体积公式：

1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h〔R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高〕。

2、圆锥体：表面积：πR2+πR[〔h2+R2〕的]体积：πR2h/3〔r为圆锥体低圆半径，h为其高。

3、a—边长，S=6a2，V=a3。

4、长方体a—长，b—宽，c—高S=2〔ab+ac+bc〕V=abc。

5、棱柱S—h—高V=Sh。

6、棱锥S—h—高V=Sh/3。

7、S1和S2—上、下h—高V=h[S1+S2+〔S1S2〕^1/2]/3。

8、S1—上底面积，S2—下底面积，S0—中h—高，V=h〔S1+S2+4S0〕/6。

9、圆柱r—底半径，h—高，C—底面周长S底—底面积，S侧—，S表—表面积C=2πrS底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h。

10、空心圆柱R—外圆半径，r—内圆半径h—高V=πh〔R^2—r^2〕。

11、r—底半径h—高V=πr^2h/3。

12、r—上底半径，R—下底半径，h—高V=πh〔R2+Rr+r2〕/313、球r—半径d—直径V=4/3πr^3=πd^3/6。

14、球缺h—球缺高，r—球半径，a—球缺底半径V=πh〔3a2+h2〕/6=πh2〔3r—h〕/3。

15、球台r1和r2—球台上、下底半径h—高V=πh[3〔r12+r22〕+h2]/6。

16、圆环体R—环体半径D—环体直径r—环体截面半径d—环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4。

17、桶状体D—桶腹直径d—桶底直径h—桶高V=πh〔2D2+d2〕/12，〔母线是圆弧形，圆心是桶的中心〕V=πh〔2D2+Dd+3d2/4〕/15〔母线是抛物线形〕。

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空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面。

按是否共面可分为两类：

〔1〕共面：平行、相交

〔2〕异面：

异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为〔0°，90°〕esp。空间向量法。

两异面直线间距离：公垂线段〔有且只有一条〕esp。空间向量法。

假设从有无公共点的角度看可分为两类：

〔1〕有且仅有一个公共点——相交直线；〔2〕没有公共点——平行或异面。

直线和平面的位置关系：

直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行。

①直线在平面内——有很多个公共点

②直线和平面相交——有且只有一个公共点

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

空间向量法〔找平面的法向量〕

规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角；b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角。

由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]。

最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角。

三垂线定理及逆定理：假如平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

直线和平面垂直

直线和平面垂直的定义：假如一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说