大学数学线性代数期末复习模拟测试试卷(含答案)

线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别姓名成绩一、选择题1．已知二次型,当t取何值时，该二次型为正定？（）A.B.C.D.2.已知矩阵，求的值（）A.3B.-2C.5D.-53．设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A.B.C.D.A的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面的交线平行的直线方程为（）A.B.C.D.5．已知矩阵,其特征值为（）A.B.C.D.二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式的展开式中，前面的符号应是。7．设为中元的代数余子式，则。8．设n阶矩阵的秩，则的伴随矩阵的元素之和。9．三阶初等矩阵的伴随矩阵为。10．若非齐次线性方程组有唯一解，则其导出组解的情况是。11．若向量组线性相关，则向量组的线性关系是。12．设矩阵的特征多项式为，则行列式。13．如果n阶方阵的各行元素之和均为2，则矩阵必有特征值。14．设为正交矩阵，则其逆矩阵。15．二次型的正惯性指数为。三、计算题16．计算行列式的值。17．设,且,其中E是三阶单位矩阵,求矩阵B。18．a取何值时，方程组有解？在有解时求出方程组的通解。19．设向量组线性无关。试证明：向量组线性无关。20．试证向量组为的一组基，并求向量在该组基下的坐标。答案一、选择题1.A解析：由题可知，该二次型矩阵为，而，可解得。此时，该二次型正定。考查知识点:二次型正定的判断难度系数2.C解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5，可解得x=-5。考查知识点:n阶矩阵特征值的性质难度系数:3.D解析：由题可知，A为n阶可逆矩阵，则A的行向量组线性无关。考查知识点:n阶可逆矩阵的性质难度系数:4.A.解析：由题可知，两平面法向量分别为，则所求直线的方向向量为。所以所求直线为。考查知识点:求空间平面交线平行的直线方程难度系数:5.C.解析：由，可解得特征值为考查知识点:求解矩阵的特征值难度系数:填空题6．负号；7．1；8．0；9．或；10．唯一解（或只有零解）；11．线性相关；12．-27；13．2；14．；15．3.三、计算题16.…………4分17.解:由于,因此,又,故A可逆,所以18．故当且仅当a=2时，有解。当时，得是任意），所以或即19．证一：设有一组数使即由线性无关，有…………2分该方程组只有零解故线性无关。证二：因线性无关，用线性表出的系数行列式故线性无关。（若只证明△≠0，不强调线性无关这一条件,就得出线性无关的结论，扣2分）。故命题得证。20．证明：令，则，故向量组为的一组基，又设，得线性方程组解之得向量在该组基下的坐标为。线性代数期末考试题班别_________姓名___________成绩_____________说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||||表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.要求：1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。6、不可以使用普通计算器等计算工具。一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题5分，共25分）1.若，则__________。2．若齐次线性方程组只有零解，则应满足。3．已知矩阵，满足，则与分别是阶矩阵。4．已知矩阵为33的矩阵，且，则。5．阶方阵满足，则。二、选择题（每小题5分，共25分）6．已知二次型,当t取何值时，该二次型为正定？（）A.B.C.D.已知矩阵，求的值（）A.3B.-2C.5D.-58．设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A.B.C.D.A的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面的交线平行的直线方程为（）A.B.C.D.10．已知矩阵,其特征值为（）A.B.C.D.三、解答题（每小题10分，共50分）11.设且矩阵满足关系式，求。12.问取何值时，下列向量组线性相关？。13.为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。14.设求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。15.证明：若是阶方阵，且证明。其中为单位矩阵线性代数期末考试题答案一、填空题1.5.解析:采用对角线法则,由有.考查知识点:行列式的计算.难度系数:.解析:由现行方程组有,要使该现行方程组只有零解,则,即.考查知识点:线性方程组的求解难度系数:3.解析;由题可知,则设,可知的行数与一致,列数与一致,且与均为方阵,所以为阶矩阵,为阶矩阵.考查知识点:n阶矩阵的性质难度系数:4.24解析:由题可知,为3阶矩阵且,则. 考查知识点:矩阵的运算难度系数:解析:由有,此时.考查知识点:求解矩阵的逆矩阵难度系数:选择题A解析：由题可知，该二次型矩阵为，而，可解得。此时，该二次型正定。考查知识点:二次型正定的判断难度系数C解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5，可解得x=-5。考查知识点:n阶矩阵特征值的性质难度系数:D解析：由题可知，A为n阶可逆矩阵，则A的行向量组线性无关。考查知识点:n阶可逆矩阵的性质难度系数:A.解析：由题可知，两平面法向量分别为，则所求直线的方向向量为。所以所求直线为。考查知识点:求空间平面交线平行的直线方程难度系数:C.解析：由，可解得特征值为考查知识点:求解矩阵的特征值难度系数:三、解答题解：考查知识点:矩阵方程的运算求解难度系数:12.解：当=0时即或时，向量组线性相关。考查知识点:向量组的线性相关性难度系数:13.解：①当且时，方程组有唯一解；②当时方程组无