关于洛伦兹变换推导的一些问题

关于洛伦兹变换推导的一些问题

几年前，我写了一篇关于洛伦兹变换合理性的文章。最近，我读了一篇题为《洛伦兹变换的新指南》的文章。事实上，这份文章中的相关问题基本上都给出了解释。然而，我们的文章太短，我们可能不理解。我们在文献中提出的方法是“相对简单、相对严格的可视化方法”，如下所示。1因果关系条件爱因斯坦在1905年提出狭义相对论的那篇文章《论动体的电动力学》里,宣称他的理论是“以相对性原理和光速不变原理为依据的”.光速不变原理没有什么问题,而他对相对性原理的陈述是:“物理体系的状态据以变化的定律,同描述这些状态变化时的坐标系究竟是用两个在互相匀速运动着的坐标系中的哪一个并无关系.”然而,仅仅依据这两条原理,对于静止坐标系S和沿S的x轴正方向以恒定速度v运动的坐标系S′,只能够推出下面形式的一组坐标变换公式(为方便阅读,换成今天的读者比较习惯的符号):⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x′=φ(v)x−vt1−(v/c)2√y′=φ(v)yz′=φ(v)zt′=φ(v)t−(v/c2)x1−(v/c)2√{x′=φ(v)x-vt1-(v/c)2y′=φ(v)yz′=φ(v)zt′=φ(v)t-(v/c2)x1-(v/c)2为了确定上述变换式中只依赖于速度大小的未知函数因子φ(v),爱因斯坦再引进对于静止坐标系S沿x轴负方向以速度v运动的第三个坐标系S″.然后,爱因斯坦说,从S到S′再到S″的变换“显然也必定是恒等变换”,由此出发推出φ=1,于是就可以抹掉上面变换式里的函数因子φ,得出洛伦兹变换式.爱因斯坦这种论证,显然不是上面引述过的他关于相对性原理的陈述的推论,而是在两条基本原理之外的一个补充条件.为了便于叙述,我们称之为“爱因斯坦条件”.这个条件相当于说,从S看到S′以速度v运动,则反过来从S′看,S必定以速度-v运动.1922年,爱因斯坦在《相对论的意义》中对相对性原理的陈述是:“自然界定律对于所有惯性系都是一致的.”在这部著作里随后对洛伦兹变换的推导中,爱因斯坦从代表光速不变的要求ds2=dx2+dy2+dz2-c2dt2=0上升到ds2不变的、更加严格的要求,实际上从四维正交群的不变量出发,推导出洛伦兹变换.然后,爱因斯坦还指出,仅仅根据光速不变原理来推导洛伦兹变换,存在着一个“漏洞”.他指的就是“在变换中可能还带有一个因子”,亦即上面所说的未知函数因子φ(v).然后,爱因斯坦说,“现在要证明相对性原理不容许这个因子不等于1.”这里的证明,实际上亦相当于补充了上述“爱因斯坦条件”,不过这回他又改口说这是相对性原理的要求了.爱因斯坦的这种做法并没有得到普遍的认同.例如福克认为,爱因斯坦条件中“相对速度矢量的绝对值在两个计算系里是相等的虽然和我们日常的观念相符,但绝不可看做是显而易见的结果.”按照福克,在从四维正交群的不变量出发的完善推导里,这个结果是能够证明出来的,不应当作为一个想当然的前提.2从转速不变到总条件的转化柏格曼在1942年出版的《相对论引论》里,也是从光速不变和相对性原理出发来推导洛伦兹变换.不过他采用的是另一个补充条件,即在与两个坐标系的相对速度相垂直的坐标轴方向上有y′=y,z′=z下面我们把这一组式子称为“柏格曼条件”.观察上一节写出的变换式,容易看出从这组条件亦能得出φ=1的结论,自然可以推出洛伦兹变换了.然后,柏格曼比较洛伦兹变换和由此导出的逆变换说,“我们得出结论:相对于S′,S具有相反的速度(-v).这并非是一个无意义的结论,因为S和S′中的单位长度既不能直接比较,单位时间亦不能直接比较.”这样,他就反过来从洛伦兹变换推演出爱因斯坦条件.并且,他也明确表达了不应该把爱因斯坦条件看做是一种不证自明的命题的意思.可是,柏格曼在为1962年出版的《物理大全》写的长篇论文《狭义相对论》里,在推导洛伦兹变换时,实际上使用的又是“爱因斯坦条件”,并且说这一要求是“以最一般形式的相对性原理为基础的.”我在约莫十年前有机会在广州同来访的柏格曼教授当面讨论这个问题.当我把带去的《相对论引论》中译本给他看时,他说从来没有见到过.在我问到他为什么在先后两本著作中使用了不同的补充条件时,他先是有点惊讶地对我说,“你读得真仔细呀.”我对他说,“当然,我是有备而来,向您请教呀.”然后他回答说,在《物理大全》里的那种写法是为了顺应丛书编者的意见.而且,他认为上述的两种推导方法都不能令人满意.然后他讲了一大通,意思大概是完善的推导方法应该是使用四维正交群不变量的方法.总结以上的内容,可以得到如下的结论:一,从光速不变出发的推导,必须另外引入补充条件.例如引入爱因斯坦条件或者引入柏格曼条件,无论用哪一个条件,都足以得出洛伦兹变换公式.二,这两个补充条件,虽然符合于人们的直观,并且常常被说成是以相对性原理为基础的,但实际上并不能从例如上述爱因斯坦对相对性原理的陈述推演出来,应该看做是独立的假设.3相对性原理与速度下面我们给出论证,文献对洛伦兹变换的推导里,实际上既使用了爱因斯坦条件,又使用了柏格曼条件.即是说,这种推导方法使用了过多的假设条件,在逻辑上是不干净的.因而,这种推导方法既不“简单”,亦不“严格”.问题在于,文献说,从变换式(1)过渡到其逆变换式(2)的理由是“根据相对性原理”,这明显是对相对性原理的误解.上面已经引述了爱因斯坦对相对性原理的两种陈述,从其中任何一种陈述都不能够帮助完成从变换式(1)到其逆变换式(2)的过渡.或者说明白一点,相对性原理只是说在所有惯性参照系里物理学定律都具有相同的形式,并不意味着这些物理学定律的表示式里都具有相同的参数.文献从变换式(1)过渡到变换式(2),使用了完全相同的变换参数.这一点是完全没有根据的,亦根本不能从相对性原理得到支持,而只是像福克所说的“虽然和我们日常的观念相符,但绝不可看做是显而易见的结果”.文献这样做,实际上同时引入了关于两个坐标系相对速度关系的“爱因斯坦条件”,以及在垂直方向上坐标不变的“柏格曼条件”.因为综合这两道变换式,第一,可以看出已经放进了从S看到S′以速度v运动,则反过来从S′看,S