2023年广东省湛江市霞山区乐群学校中考一模数学试题(含解析)

精品试卷·第2页（共2页）2023年霞山乐群学校初中学业水平测试一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1．2的相反数是（

）A．-2 B． C． D．2．由5个完全相同的小长方体搭成的几何体从正面看到的形状图和从左面看到的形状图如图所示，则这个几何体从上面看到的形状图是（

）

A． B． C． D．3．我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1800000000亩耕地红线．将数据1800000000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC=26°，∠AOE的度数为（）A．26° B．154° C．77° D．82°5．下面图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．6．实数在数轴上对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（

）A． B． C． D．7．某高校计划派出甲、乙、丙3名男生和A、B、C3名女生共6名志愿者参与北京冬奥会工作，现在将他们分配到北京、延庆2个赛区进行培训，其中1名男性志愿者和1名女性志愿者去北京赛区，其他都去延庆赛区，则甲和A恰好被选去北京赛区培训的概率为（

）A． B． C． D．8．下列运算中正确的是（

）．A． B．C． D．9．下列函数中，y是x的正比例函数的是（

）A．y=4x+1 B．y=2x2 C．y=-x D．y=10．如图，点A在反比例函数(k≠0）的图象上，点C在x轴的正半轴上，AC交y轴于点B，若点B是AC中点，AOB的面积为1，则k的值为（

）A．-2 B．-3 C．-4 D．-611．如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分（）A． B． C．18 D．1912．如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，点位于、之间，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于，两点，点在轴上方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③其中为任意实数；④，其中正确的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案。）13．计算：________．14．一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为_____．15．若为整数且n为小于8的正整数，设整数部分为x，小数部分为y，则_______．16．方程的解是_______________．17．如图，在第个△中，，；在边上任取一点，延长到点，使，连接，得到第个△；在边上任取一点,延长到点,使，连接，得到第个△……按此作法继续下去，则第个三角形的底角度数是__________．18．在平面直角坐标系中，将点P（－9，－5）以原点O为旋转中心，顺时针旋转，得到点P1，则点P1的坐标是___________三、解答题（本大题共7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：；（2）解方程：．20．设．(1)求A与B的差；(2)若x是不等式组的整数解，求（1）中结果的值．21．已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F在边BC，CD上，且∠EAF=60°；求证：AE=AF．22．某学校八、九年级各有学生200人，为了提高学生的身体素质，学校开展了主题为“快乐运动，健康成长”的系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）a．八年级学生成绩的频数分布直方图如图（数据分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）b．八年级学生成绩在70≤x＜80这一组的是：70

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79c．九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下：平均数中位数众数优秀率79768440%根据以上信息，回答下列问题：（1）在此次测试中，小腾的成绩是74分，在年级排名是第17名，由此可知他是年级的学生（填“八”，或“九”）；（2）根据上述信息，推断年级学生运动状况更好，理由为；（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）（3）假设八、九年级全体学生都参加了此次测试，如果年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”，预估八年级学生至少要达到分才可以入选．23．学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，A种魔方的单价比B种魔方的单价多5元．（1）求这两种魔方的单价；（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个），某商店有两种优惠活动，如图所示．若根据信息，社团选择了活动一的优惠办法购买魔方较实惠．请求出该社团最多购买多少个A种魔方．24．已知，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D为优弧BC的中点（1）如图1，连接OD，求证：AB∥OD；（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E．若AE＝3，BC＝8，求⊙O的半径．25．如图，已知抛物线与轴交于点，（点位于点的左侧），为顶点，直线经过点，与轴交于点．(1)求线段的长；(2)沿直线方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为，若点在反比例函数的图象上．求新抛物线对应的函数表达式．26．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．27．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．参考答案：1．【分析】根据相反数的定义求解可得．解：2的相反数是-2，故选：A．【点评】本题主要考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．【分析】先有正视图可以判断出左边为2层，知道几何体的形状，然后从左视图判断出左边为两层.解：由正视图可以看出左边有2层右边一层，并且正视图为长方形，故排除B、D两项，然后从左视图可以看出左边为2层，所以排除C项，故选A.【点评】本题考查由三视图确定几何体，学生们细致观察即可.3．【分析】直接利用科学记数法的表示形式求解即可．解：1800000，故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．【分析】由∠AOD+∠AOC=180°，又知∠AOC=26°，故能知道∠AOD的度数，又因为OE是∠AOD的平分线，故能求出∠AOE的度数．解：∵∠AOD+∠AOC=180°，又知∠AOC=26°，∴∠AOD=154°，∵OE是∠AOD的平分线，∴∠AOE=77°．故选C．【点评】本题主要考查角的比较与运算，关键是根据角平分线的知识点，比较简单．5．【分析】根据中心对称图形在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，和轴对称图形在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，对各选项分析判断即可得解．解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题关键．6．【分析】先判断a的范围，再确定符合条件的数即可．解：∵-2＜a＜-1，a＜b＜2，∴b可以是-1．故选：B．【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，解决本题的关键是根据数轴上的点确的范围．7．【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到甲和A恰好被选去北京赛区培训的结果，再根据概率公式求出两人恰好被选去北京赛区培训的概率，从而得出答案．解：画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中甲和A恰好被选去北京赛区培训有1种结果，∴P（甲和A被选去北京赛区培训）＝．故选：C．【点评】本题考查了用列表法或树状图法求概率，画出树状图是解决本题的关键．8．【分析】根据分式的性质，分式的分子、分母、分式本身，三处的符号改变任意两处，分式的值不变，可对选项A进行判断；将分子和分母分别因式分解，再约分化简到最简分式，可对选项B和C进行判断；选项D不能化简．解：A．=，故选项A不正确，不合题意；B．=，故选项B不正确，不合题意；C．=，故选项C正确，符合题意；D．不能化简，故选项C不正确，不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是对分式的分子分母进行因式分解，然后再约分即可求解.9．【分析】正比例函数的解析式是，据此解题．解：A.y=4x+1是一次函数，不是正比例函数，故A错误；B.y=2x2是二次函数，不是正比例函数，故B错误；C.y=-x是正比例函数，故C正确；D.y=是根式函数，不是正比例函数，故D错误．故选C．【点评】本题考查正比例函数、一次函数、二次函数等的概念，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．10．【分析】过点A作AF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，可证△AFB≌△BOC，由线段关系求得△AOF的面积，再根据反比例函数的k的几何意义得结果．解：过点A作AF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，∵AB=BC，∠AFB=∠COB=90º，∠ABF=∠CBO，∴△AFB≌△COB（AAS），∴FB=OB，∵ΔAOB的面积为1，∴S==S=1，SΔAFO=SΔAFB+SΔAOB=1+1=2，∴=S矩形AEOF=2SΔAFO=2×2=4，∴，故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义的应用，考查了全等三角形的性质与判定，关键是构造全等三角形．11．【分析】根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm得出，过点于点C，交于点，进而得到，从而得出，得出答案即可．解：过点于点C，交于点，∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．∴∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，∴，∴，因为钟面显示3点50分时，，∴，∴A点距桌面的高度为．故选D．【点评】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，特殊角的三角函数．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．12．【分析】利用抛物线与轴的交点位置得到，利用对称轴方程得到，则，于是可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对进行判断；根据二次函数的性质得到时，二次函数有最大值，则，即，于是可对进行判断；由于直线与抛物线交于、两点，点在轴上方且横坐标小于，利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即，然后把代入解的不等式，则可对进行判断；解：抛物线与轴的交点在轴上方，，抛物线的对称轴为直线，，∴，所以正确；抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点位于、之间，抛物线与轴的另一个交点位于，之间，即当时，，也就是，因此选项正确；对称轴为直线，时的函数值大于或等于时函数值，即当时，函数值最大，∴，即，因此正确；直线与抛物线交于、两点，点在轴上方且横坐标小于，时，一次函数值比二次函数值大，即，而，∴，解得，因此正确；综上所述，正确的结论有，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式等知识，利用两个函数在直角坐标系中的图象求自变量的取值范围以及判断系数的大小关系是常考的知识．13．【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．解：，故答案为：4．【点评】本题主要考查完全平方公式，解决本题的关键是要熟练掌握完全平方公式．14．【分析】用阴影部分的面积除以正方形的总面积即可得．解：由图形知，S①＝S②，∴阴影部分的面积为正方形面积的一半，∴蚂蚁停在阴影部分的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查几何概率.解题的关键是熟练掌握几概率的公式.用阴影区域表示所求事件（A）；计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．15．【分析】为整数，则3n开方能开得尽，n为小于8的正整数，故n=3，进一步求x和y，计算代数式的值即可．解：∵为整数，∴3n开方能开得尽，∵n为小于8的正整数，∴，∴，∴，∴，，∴=．故答案为：【点评】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．16．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：，解得：，检验：当时，，∴是分式方程的解．故答案为：．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17．【分析】根据题意先表示出第一个、第二个、第三个、第四个三角形底角的度数，进而总结规律，得到第n个三角形底角的规律，可代入2021得出第个三角形的底角度数．解：在中，，，且是的一个外角．同理可得：依次类推第个三角形的底角度数是：．第个三角形的底角度数是．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、规律型—图形的变化类等知识，能够通过表达式将规律呈现出来是解决本题的关键，在寻找规律时注意不要直接求出具体度数，而是找到一定规律之后再求解．18．【分析】如图，作PE⊥x轴于E，P′F⊥x轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可．解：如图，作PE⊥x轴于E，P′F⊥x轴于F．∵∠PEO=∠OFP′=∠POP′=90°，∴∠POE+∠P′OF=90°，∠P′OF+∠P′=90°，∴∠POE=∠P′，∵OP=OP′，∴△POE≌△OP′F（AAS），∴OF=PE=5，P′F=OE=9，∴P′（-5，9）．故选：A．【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．19．【分析】（1）先根据零指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，算术平方根化简，再计算，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．解：（1）原式．（2），，或，解得：，．【点评】本题主要考查了特殊角锐角函数值的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握特殊角三角函数值以及解一元二次方程的方法是解题的关键．20．【分析】（1）首先通分，然后利用同分母的分式的加减法则求解；（2）求出不等式组的解集，结合分式求出x值，代入计算即可．解：（1）解：；（2），解不等式得：，解不等式得：，∴不等式组的解集为：，由A，B可得：x不能取，∴，代入，则．【点评】本题考查了分式的加减，不等式组的整数解，解题的关键是掌握分式的运算法则和不等式组的解法．21．【分析】连接AC，如图，根据菱形的性质得AB=BC，而∠B=60°，则可判定△ABC为等边三角形，得到∠2=60°，∠1+∠4=60°，AC=AB，易得∠ACF=60°，∠1=∠3，然后利用“ASA”可证明△AEB≌△AFC，于是得到AE=AF．解：证明：连接AC，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠2=60°，∠1+∠4=60°，AC=AB，∴∠ACF=60°，∵∠EAF=60°，即∠3+∠4=60°，∴∠1=∠3，在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC，∴AE=AF．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了全等三角形的判定与性质．22．【分析】（1）求出八年级学生成绩的中位数，根据小腾的成绩和在年级的名次，确定出是哪个年级的；（2）从优秀率、中位数上分析可以得出九年级成绩较好，理由为：①九年级优秀率40%，可以求出九年级的优秀人数，②九年级中位数为76，八年级为72，说明九年级一半的同学测试成绩高于76，而八年级一半同学的测试成绩仅高于72；（3）年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”，因此年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”，根据直方图和70≤x＜80中学生的成绩，得出最少为78分．解：（1）八年级学生成绩的中位数为分；小腾的成绩是74分，在年级排名是第17名，可知其中位数应该不大于74，因此他应该在八年级，故答案为：八；（2）九；理由：①九年级优秀率40%，八年级优秀率30%，说明九年级体能测试优秀人数更多；②九年级中位数为76，八年级为72，说明九年级一半的同学测试成绩高于76，而八年级一半同学的测试成绩仅高于72．（3）总体中“运动达人”占＝35%，可得样本中“运动达人”有40×35%＝14人，80≤x＜90的有9人，而90≤x≤100的有3人，因此再从70≤x＜80成绩中，从大到小找出第2个即可．故答案为：78．【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，理解中位数、众数、平均数的意义是解题关键．23．【分析】（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，A种魔方的单价比B种魔方的单价多5元，列出方程组解答即可；（2）设购进A种魔方m个，则购进B种魔方（100﹣m）个，根据题意得出不等式解答即可．解：（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，由题意可得，，解得：，答：A种魔方的单价为20元/个，B种魔方的单价为15元/个；（2）设购进A种魔方m个，则购进B种魔方（100﹣m）个，根据题意，得20×0.8×m+15×0.4×（100﹣m）＜20m+15（100﹣m﹣m），解得：m＜45，∵m为正整数，∴m的最大整数值为44，答：该社团最多购买A种魔方44个．【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．24．【分析】（1）如图1，延长DO交BC于F，根据垂径定理得到DF⊥BC，根据圆周角定理得到AB⊥BC根据平行线的判定定理即可得到AB∥OD；（2）连接DO并延长交BC于F，由垂径定理得到DF⊥CB，求得CF=BC=4，根据全等三角形的性质得到OF=OE=OA-3，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图1，延长DO交BC于F，∵点D为优弧BC的中点，∴弧BD=弧CD，∴DF⊥BC，∵AC为⊙O的直径，∴AB⊥BC，∴AB∥OD；（2）连接DO并延长交BC于F，∵点D为优弧BC的中点，∴弧BD=弧CD，∴DF⊥CB，∴CF=BC=4，∵DE⊥AC，∴∠DEO=∠OFC=90°，∵∠DOE=∠COF，OC=OD，∴△DOE≌△COF（AAS），∴OF=OE=OA-3，∵OC2=OF2+CF2，∴OC2=（OC-3）2+42，∴OC=，∴⊙O的半径为．【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）根据二次函数解析式求出点A的坐标，然后求出直线AD的解析式，得到点D的坐标，再根据勾股定理计算即可；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：，可得C'（m，n），根据题意求出直线CC′的解析式，然后把点C'分别代入直线CC′的解析式和反比例函数的解析式中计算即可．解：（1）解：由得，，，∵点A位于点B的左侧，∴A（−2，0），∵直线y＝x＋m经过点A，∴−2＋m＝0，解得：m＝2，∴直线AD解析式为：y＝x＋2，∴点D的坐标为（0，2），∴AD＝；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：，∴C'（m，n），由题意得：CC′平行于直线AD，且经过C（0，−4），∴直线CC′的解析式为：y＝x−4，∴n＝m−4，∵点C'在反比例函数的图象上，∴，∴，解得：或，∴新抛物线对应的函数表达式为或，∴新抛物线对应的函数表达式为：或．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的平移，待定系数法求函数解析式，勾股定理，一次函数的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握方程思想的应用是解题的关键．26．【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=