新高考数学二轮复习函数培优专题19 函数中的数列问题（含解析）

专题19函数中的数列问题一、单选题1．对于一切实数x，令SKIPIF1<0为不大于x的最大整数，则函数SKIPIF1<0称为高斯函数或取整函数.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由题意，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，均有SKIPIF1<0，故可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A2．已知数列SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的两个不同零点，则SKIPIF1<0等于（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．14 D．16【解析】SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的两个不同零点，所以SKIPIF1<0，由于数列SKIPIF1<0是等比数列，所以SKIPIF1<0.故选：C3．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，则二次函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴的交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以二次函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴交点的个数为1或2.故选：D.4．已知数列SKIPIF1<0中，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.故选：A5．等差数列{an}中，a2+a5+a8=12，那么函数SKIPIF1<0x2+（a4+a6）x+10零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【解析】根据等差数列的性质只SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故二次函数对应的判别式SKIPIF1<0，所以函数有两个零点，故选C.6．已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝（）A． B． C．45 D．55【解析】函数图像如图所示，y=x-1与该函数的交点的横坐标是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，求和得457．若数列SKIPIF1<0为等比数列，则称SKIPIF1<0为等比函数.下列函数中，为等比函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是常数，A错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不是常数，B错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等比数列，故SKIPIF1<0为等比函数，C正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不是常数，D错误.故选：C8．在等差数列SKIPIF1<0中，a2，a2020是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0的值为（

）A．－3 B．－SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，a2，a2020是该函函数的两个不同的极值点，故可得a2，a2020是方程SKIPIF1<0的两个不等实数根，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是等差数列，故可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：B.9．已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：C.10．已知函数SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0是递增数列，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为数列SKIPIF1<0是单调递增数列，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，可得SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0.故选：C.11．设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0是单调递减数列，则实数k的取值范围为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为数列SKIPIF1<0是单调递减数列，所以只需SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故实数k的取值范围为SKIPIF1<0．故选：C．12．已知数列SKIPIF1<0为等比数列，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选:C.13．已知函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D.14．已知函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是公差为1的等差数列，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：D15．已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，令SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中项，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B.16．若函数SKIPIF1<0，则称f（x）为数列SKIPIF1<0的“伴生函数”，已知数列SKIPIF1<0的“伴生函数”为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】依题意，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0为等比数列，其首项为SKIPIF1<0，公比也为2，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，两式相减，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.17．已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，由等差中项的性质可得SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.故选：D.18．已知函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可知数列SKIPIF1<0为递增数列，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立SKIPIF1<0整数SKIPIF1<0的最小值是2，故选：A二、多选题19．已知函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为等差数列，且公差不为0，若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0是单调递增函数 B．SKIPIF1<0图像是中心对称图形C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】对于A：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是单调递增函数.故A正确；对于B：设SKIPIF1<0存在对称中心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对任意x都成立，所以只需SKIPIF1<0.不妨取SKIPIF1<0，符合题意.所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一个对称中心.故B正确；对于D：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0的值不含π，所以只需：SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故D正确；对于C：数列SKIPIF1<0为等差数列，且公差不为0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故C错误.故选：ABD20．已知函数SKIPIF1<0，则(

)A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列【解析】A：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由等差中项的应用知，SKIPIF1<0成等差数列，所以A正确；B：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由等差中项的应用知，SKIPIF1<0成等差数列，所以B正确；C：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，又SKIPIF1<0，所以C错误；D：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由等比中项的应用知，SKIPIF1<0成等比数列，所以D正确.故选：ABD.21．已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的单调函数，且对任意的正数x，y都有SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则下列正确的是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由题意，知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是首项为1，公比为SKIPIF1<0的等比数列，∴SKIPIF1<0．故选：AD22．数列SKIPIF1<0的各项均是正数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线过点SKIPIF1<0，则下列正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．数列SKIPIF1<0是等比数列C．数列SKIPIF1<0是等比数列D．SKIPIF1<0【解析】对函数SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0是等比数列，且首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0，B对；SKIPIF1<0，A对；SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0不是等比数列，C错；由上可知，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0是等比数列，且首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，D对.故选：ABD.23．等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0－38 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由题得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，又因为公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，经计算，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，故选：ACD.三、填空题24．等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（舍负），设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.25．已知对任意SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____________．【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两边平方得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以1为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0，26．已知SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个零点，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，则SKIPIF1<0___________.【解析】因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的零点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．27．已知函数SKIPIF1<0有两个零点1和2，若数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0＝________．【解析】由题意得：SKIPIF1<0的两个根为1和2，由韦达定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等比数列，公比为2，首项为3，所以SKIPIF1<0.28．已知函数SKIPIF1<0，若递增数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为__________.【解析】由于SKIPIF1<0是递增数列，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.29．已知函数SKIPIF1<0，若对于正数SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图像恰好有SKIPIF1<0个不同的交点，则SKIPIF1<0___________.【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：SKIPIF1<0与函数恰有SKIPIF1<0个不同的交点，根据图象知，直线SKIPIF1<0与第SKIPIF1<0个半圆相切，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.30．已知等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为______．【解析】∵等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．∵函数SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．四、解答题31．设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0均在函数SKIPIF1<0的图象上.(1)求证：数列SKIPIF1<0为等差数列；(2)设SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，求使SKIPIF1<0对所有SKIPIF1<0都成立的最小正整数SKIPIF1<0.【解析】(1)依题意，SKIPIF1<0＝3n－2，即Sn＝3n2－2n，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.

当n＝1时，a1＝S1＝1符合上式，所以an＝6n－5(n∈N＋)又∵an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6，∴{an}是一个以1为首项，6为公差的等差数列.(2)由(1)知，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0故Tn＝SKIPIF1<0[(1－SKIPIF1<0)＋(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)＋…＋(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)]＝SKIPIF1<0(1－SKIPIF1<0)因此使得SKIPIF1<0(1－SKIPIF1<0)<SKIPIF1<0(n∈N＋)成立的m必须且仅需满足SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0，即m≥10，故满足要求的最小正整数m为1032．已知数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和记为SKIPIF1<0.若点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图像上，点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上.(1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和记为SKIPIF1<0.【解析】（1）由已知得SKIPIF1<0，因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由已知得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.33．函数SKIPIF1<0的部分图象如图所示，（1）求函数SKIPIF1<0的解析式；（2）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等差中项，求SKIPIF1<0的通项公式.【解析】（1）由图象可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.又当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取得最大值，故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，（2）由已知数列SKIPIF1<0中有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设递推公式SKIPIF1<0可以转化为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.故递推公式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，2为公比的等比数列，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.34．已知点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）在函数SKIPIF1<0的图象上，SKIPIF1<0．（1）证明：数列SKIPIF1<0为等差数列；（2）设SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【解析】（1）∵点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上，∴SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是以1为首项、1为公差的等差数列．（2）由（1）知