甘肃省临夏回族自治州2022届高三一模数学（文）试题（含答案解析）

临夏回族自治州2022届高三模拟考试数学文科注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集的运算，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，.故选：A.2.设复数z共轭复数为为虚数单位，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘方运算以及除法运算，化简得出，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以，，所以，.故选：D.3.已知角终边上一点M的坐标为，则（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据任意角三角函数定义求出正切，再根据二倍角正切公式计算即可.

【详解】因为角终边上一点M的坐标为,所以,.故选:B.4.设，函数没有实数根，则p是q的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出对应的集合，结合两个集合的对应的关系可得两者之间的关系.【详解】对于函数没有实数根可得恒成立，即恒成立，解得，对于，即，因为，所以是的充分不必要条件．故选：A.5.双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先根据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果【详解】由，得，渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨取双曲线的右焦点，一条渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为，故选：C6.函数部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分析函数的奇偶性及其在区间上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数定义域为，，所以，函数为偶函数，排除A、D选项；当时，，，，则，排除C选项.故选：B.【点睛】本题考查利用解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，属于中等题.7.如图，在直三棱柱中，，，则直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据异面直线夹角的定义确定直线与的夹角，解三角形确定其大小.【详解】因为，所以为异面直线直线与的夹角，设，则，因为，所以，又三棱柱为直三棱柱，所以所以在中，,所以，所以直线与所成的角为，故选：B.8.已知函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先应用二倍角余弦公式化简，再换元，应用给定范围求二次函数最值即可.

【详解】,,对称轴为,应用二次函数的对称性可知，当时,则的最大值为.故选：C.

9.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则（）A. B.5 C.8 D.【答案】A【解析】【分析】由三角形的面积和计算出的值，再根据余弦定理求出的值，即可得到答案【详解】由题意可知，，得，由余弦定理可得：整理得：，故选：A10.一个几何体的三视图如图所示（图中每个小方格的边长为），则这个几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图还原得出原几何体为四棱锥以及各边长，然后即可根据棱锥的体积公式，得出答案.【详解】根据三视图，还原可得原几何体如图原几何体为四棱锥，底面为等腰梯形，，，高为.点为的中点，底面，.所以，该几何体的体积为.故选：D.11.过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】利用直线与抛物线相切设直线方程求切点，利用两点距离公式计算即可.【详解】由题意直线斜率存在，可设过点的切线方程为，与抛物线方程联立可得：，所以，解之得，如图所示，设，则，当时，，即，当时，，即，所以.故选：A12.已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设函数，根据题意可判断在上单调递减，再求出，不等式整理得，所以，利用单调性解抽象不等式即可.【详解】设函数，所以，因为，所以，即，所以在上单调递减，因为，所以，因为，整理得，所以，因为在上单调递减，所以.故选：C.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知在平面直角坐标系中，，则_________．【答案】【解析】【分析】根据数量积的坐标表示求解即可.【详解】因为，故，，故.故答案为：14.已知实数x，y满足约束条件则不等式组表示的平面图形的面积为_________．【答案】20【解析】【分析】作出可行域，求出边界各点的坐标，分别计算得出的面积，即可得出答案.【详解】如图，作出可行域为图中阴影.联立可得，联立可得，联立可得，联立可得.所以，，则.故答案为：20.15.函数满足：（1）定义域为；（2）偶函数；（3）在上单调递增．则满足上述三个条件的一个函数式为_________．（答案不唯一，正确即可．）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，结合函数的基本性质和基本初等函数的性质，即可求解.【详解】根据题意，函数满足定义域为，其为偶函数，在上单调递增，此函数可以是.故答案为：（答案不唯一）.16.如图是一张剪纸窗花，外部正六边形的边长为4，里面圆的圆心为正六边形的中心，半径为2．若向正六边形剪纸窗花的内部投掷一点P，则恰好落在圆的内部的概率为_________．【答案】##【解析】【分析】利用正六边形与圆的面积计算几何概型即可.详解】由题意可得，故向正六边形剪纸窗花的内部投掷一点P，则恰好落在圆的内部的概率为.故答案为：.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17.某学校学生会积极组织学生学习《中共中央关于党的百年奋斗重大成就和历史经验的决议》，组织线上考试后，随机抽取了若干人线上考试的成绩（满分60分），得到如图的频率分布直方图：已知，成绩最高的一组的人数为10．（1）求样本容量n；（2）样本估计总体的思想，估计该校学生的平均分数（每一组取组中点值近似代替本组考试成绩）；（3）按照分层抽样从成绩在两个组内共抽取8人组成交流互助小组，在这个小组中任选2人发言，求至少有1人的成绩在内的概率．【答案】（1）25（2）分（3）【解析】【分析】（1）根据题意,成绩最高的一-组的人数为10,求出组距,计算即可;（2）根据题意,结合平均分的定义，计算即可;（3）结合分层抽样知，从成绩在[36,40)抽取3人，从成绩在[56,60)抽取5人，利用对立事件的概率求解即可.【小问1详解】根据题意，成绩最高的一组的人数为10，则，解得；【小问2详解】该校学生平均分数为：（分）；【小问3详解】根据题意，按照分层抽样从成绩在，两个组内共抽取8人，因为两组人数之比为，则从成绩在中抽取3人，从成绩在中抽取5人，在这个小组中任选2人发言，至少有1人的成绩在内的概率为：.18.已知数列是公差不为零的等差数列，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和为，证明：．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式，方程思想即可求解;（2）根据裂项相消求和法，数列的单调性，即可证明.【小问1详解】因为数列是公差不为零的等差数列，，且，所以，解得，所以；【小问2详解】由（1）可知，，又单调递增，，.19.如图，三棱柱中，侧棱底面，，，是的中点，是的中点，是与的交点．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）根据题意，证明平面即可证明结论；（2）由题知是和的中点，进而，再结合（1）求解即可得答案.【小问1详解】证明：因为侧棱底面，底面所以，，因为，是的中点，所以，，因为，所以平面，因为平面，所以，平面平面.【小问2详解】解：因为在三棱柱中，是与的交点，所以是和的中点，所以，因，，所以，，所以，由（1）得为三棱锥的高，所以，所以20.已知椭圆：的离心率为，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）若、是椭圆上的两点，满足，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用待定系数法求出椭圆的标准方程；（2）先求出斜率不存在时的面积，再讨论斜率存在时，用“设而不求法”和基本不等式求出面积的最大值.【小问1详解】由题意可得：，解得：，所以椭圆的标准方程为：.【小问2详解】当直线AB的斜率不存在时，有.因为，所以，解得，所以,所以面积为.当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB的方程为，与椭圆联立，有：，消去y得：.所以，，.因为，所以，即，整理化简得：,所以或.所以弦长而O到AB的距离为.所以.当时，（当且仅当，即时等号成立）.当时，.综上所述：面积的最大值为.21.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对于任意正实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）研究函数的定义域，导数的符号，确定函数的单调性；（2）分离参数，然后构造函数，利用导数研究该函数的最大值即可．【小问1详解】定义域为，，令，①当时，恒成立，，是增函数；②时，，当，即时，由得，，由或，，故的单调递减区间为，单调递增区间为，，当，即时，恒成立，是增函数，综上可知：时，是增函数，时，的单调递减区间为，单调递增区间为，【小问2详解】不等式恒成立，即恒成立，整理得恒成立，令，则，易知，当时，，单调递增，时，，单调递减，故，故即为所求，故的取值范围是.【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立，研究参数的取值范围，能分离参数的一定要分离参数，分离参数是本题的关键，分离参数后转化为求函数最大值问题，一般需要利用导数求最大值得解.（二）选做题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）若直线平行于直线l，且与曲线C只有一个公共点，求直线的方程；（2）若直线l与曲线C交于两点P，Q，求线段的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）消去参数可得直线l的直角坐标方程，再根据直线平行斜率相等可设直线的方程为，化简曲线C的极坐标可得，根据直线与曲线C只有一个公共点可联立方程根据判别式为0求解即可；（2）联立直线l的标准参数方程与曲线C的直角坐标方程，再根据直线参数的几何意义求解即可.【小问1详解】直线l的参数方程为，则，即，又直线平行于直线l，故直线的斜率为2，设方程为又曲线C的极坐标方程为，即，，故，即，化简可得.因为直线与曲线C只有一个公共点，则联立，则.故，故，解得.故直线的方程为，即.【小问2详解】由（1）可得曲线C的直角坐标方程为，直线l的标准参数方程为（t为参数），联立可得，即.设对应的参数分别为，则，所以[选修4—5：不等