上海市奉贤区四校联考2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版）

2023学年第一学期期中考试高二数学试卷（时间：120分钟，分值：150分）一、填空题（24+30=54分）1.不等式的解集是__．【答案】【解析】【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解.【详解】原不等式与不等式同解，故有；故答案为：.2.已知集合，，则___________.【答案】【解析】【分析】由题意可得和的交集为方程组的解.【详解】由得解为，根据题意可得：，故答案为：3.已知向量，则_________.【答案】【解析】【分析】根据平面向量得夹角的坐标表示计算即可.【详解】由，更多优质支援请嘉威鑫MXSJ663得，所以.故答案为：.4.若方程的两个实数根为，则=______.【答案】3【解析】【分析】由题意可得一元二次方程根与系数的关系式，利用该关系式代入求解即可．【详解】方程两个实数根为，由韦达定理可得，，∴，故答案为：3．5.如果都是实数，关于的方程有一个根，则_______【答案】【解析】【分析】根据实系数方程根的特征可知为方程另一根，利用韦达定理可构造方程组求得，进而求解.【详解】因为为关于的方程的一个根，所以为关于的方程的一个根，所以，解得，，所以.故答案为：.6.设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则两点间的距离为_________．【答案】【解析】【分析】根据复数对应的点，应用两点间距离公式求解即可.【详解】复数对应点,复数对应点，则.故答案：.7.已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，圆锥底面周长为，则这个圆锥的表面积为___________.【答案】【解析】【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，求解即可.【详解】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，则，解得，又圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，则2π3⋅l=2π，解得所以圆锥的表面积为S=πrl+πr故答案为：.8.在空间直角坐标系中给定点，则该点关于坐标平面的对称点的坐标为_________．【答案】【解析】【分析】根据空间点关于平面对称点的特点即可得到答案.【详解】因为点是点关于坐标平面的对称点，所以.故答案为：.9.有一个空心钢球，质量为，测得外直径为5，则它的内直径是________（钢的密度为7.9，精确到0.1）【答案】4.5【解析】【分析】直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果．【详解】解：设钢球的内半径为，所以，解得．故内直径为．故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.一张A4纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为_________．（结果精确到）【答案】或【解析】【分析】分以的边为高，和以的边为高，两种情况讨论，分别求出对应底面圆的半径，代入圆柱的体积公式即可得解.【详解】①如果以的边为高，，，此时圆柱体的体积为.②如果以的边为高，，，此时圆柱体的体积为.故答案为：或.11.如图，用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，得到一个小圆锥．如果这两个圆锥的高分别是，求这两个圆锥的底面面积之比为_________．【答案】【解析】【分析】根据三角形相似比与面积比之间的关系即可得到答案.【详解】由题意知，所以，所以，故答案为：.12.如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，显然不是平角，则为钝角时有，解得不等式即可．【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则；，，因为，所以，，设，则，即，解得，所以，则，，，与是异面直线，显然不是平角，则为钝角，有，解得．所以的取值范围为．故答案为：.二、选择题（4+4+5+5=18分）13.下列命题中，是真命题的选项为（）A.平行于同一条直线的两个平面平行B.若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行C.分别在两个平行平面上的两条直线平行D.与两条异面直线都平行的两个平面平行．【答案】D【解析】【分析】举例说明判断ABC；利用面面平行的判定推理判断D.【详解】如图，正方体，对于A，平面与平面都与直线平行，而平面与平面相交，A是假命题；对于B，相交平面与平面分别经过直线，且，B是假命题；对于C，直线平面，直线平面，且平面平面，而直线与直线是异面直线，C是假命题；对于D，直线是两条异面直线，是两个不同平面，，过直线上的点作直线，则直线确定平面，由，得点，而，于是，因此，所以，D真命题.故选：D14.下列命题正确的是（）A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径【答案】A【解析】【分析】根据圆锥、圆柱、圆台特点判断各选项即可.【详解】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确；对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误；对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误；对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误.故选：A.15.如图，设正方体的棱长为．则顶点到面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等体积法求解即可.【详解】根据正方体的性质知，平面，所以为三棱锥的高，因为，，所以，设到面的距离为,由，得，即，解得，所以到面的距离为.故选：A.16.若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解.【详解】空间取一点，经过点分别作，设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角，因为直线，所成的角为，得所成锐角等于，所以当射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是.这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是，当的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是.这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是，综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条.故选：D.三、解答题（14+14+14+18+18=78分）17.求实数的值或取值范围，使得复数分别是：（1）纯虚数；（2）0【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用纯虚数的定义，列式计算即得.（2）利用复数为0的充要条件，列式计算即得.【小问1详解】由复数是纯虚数，且，得，解得，所以实数的值为.【小问2详解】由复数是0，且，得，解得，所以实数的值为.18.（1）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集．（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得1和2为方程的两根，进而结合韦达定理求出，进而根据一元二次不等式的解法求解即可；（2）结合二次函数的性质及判别式求解即可.【详解】（1）由题意，1和2为方程的两根，则，即，，所以不等式，即为，即，即或，所以不等式的解集为.（2）由题意，，即，所以实数的取值范围为．19.已知向量与的夹角为，且．（1）求；（2）求在方向上的投影与数量投影．【答案】（1）（2）投影为，数量投影为【解析】【分析】（1）根据数量积的定义及运算律公式求解即可；（2）根据投影的定义求解即可.【小问1详解】.【小问2详解】由题意，在方向上的投影为，在方向上的数量投影为.20.如图，在正方体中，（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）求证：；（3）设分别是给定正方体的棱和上的任意点．求证：三棱锥的体积是定值．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）连接，，根据正方体的性质可得四边形为平行四边形，进而得到，进而可得为异面直线与所成的角，进而求解即可；（2）连接，根据正方体的性质可得平面，，进而得到，从而求证；（3）设正方体的棱长为，根据正方体的性质可得平面，平面，进而得到到平面的距离即为，进而结合棱锥的体积公式求证即可.【小问1详解】连接，，正方体中，有，且，所以四边形为平行四边形，所以，则为异面直线与所成的角，又，即为等边三角形，所以，即异面直线与所成的角为.【小问2详解】证明：连接，在正方体中，有平面，，因为平面，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以.【小问3详解】证明：设正方体的棱长为，在正方体中，有平面，平面，所以到平面的距离即为，又，所以，所以三棱锥的体积是定值．21.如图，用一块钢锭浇筑一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器，设容器的高为h米，盖子的