考点08函数与方程

考点08函数与方程1.【2023全国乙卷】函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是．(

)A.(−∞,−2) B.(−∞,−3) C.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的零点，涉及单调性与极值，属于中档题．根据函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点，得出函数f(x)的极大值必大于0，极小值小于0，令f【解答】解：由已知，f’∵函数f(x)=x3+ax+2∴令f’(x)=3x2+a=0，则必有x

−∞,−−

f+

0

−

0

+

f(x)↑

极大值↓

极小值↑

∴f(x)f(x)解得：a<−故选：B．2.【2020天津】已知函数f(x)=x3,x≥0,−x,x<0.若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有A.(−∞,−12)∪(22,+∞) B.(−∞,−【答案】D

【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于拔高题．

问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根，⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k<0时，当【解答】

解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，

则f(x)=|kx2−2x|有四个根，

即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，

当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：

两图象有2个交点，不符合题意，

当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2<x1)

图象如图所示，

两图象有4个交点，符合题意，

当k>0时，

y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2>x1)

在[0,2k)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，

只需y=x3与y=kx2−2x3.【2023天津】若函数fx=ax2−2x−x2【答案】−∞,0∪【解析】【分析】本题是含参数的函数零点问题，主要是分类讨论思想的考查，属综合题．

根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围．

本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根(或零点)的个数，从而解出．【解答】

解：(1)当x2−ax+1≥0时，即a−1x−1若a=1时，x=−1，此时x2若a≠1时，x=1a−1或若方程有一根为x=−1，则1+a+1≥0，即a≥−2且a≠1；若方程有一根为x=1a−1，则1a−12−a×若x=1a−1=−1时，a=0(2)当x2−ax+1<0时，即a+1x−1若a=−1时，x=1，显然x2若a≠−1时，x=1或x=1若方程有一根为x=1，则1−a+1<0，即a>2；若方程有一根为x=1a+1，则1a+1若x=1a+1=1时，a=0综上，当a<−2时，零点为1a+1，1当−2≤a<0时，零点为1a−1，−1当a=0时，只有一个零点−1；当0<a<1时，零点为1a−1，−1当a=1时，只有一个零点−1；当1<a≤2时，零点为1a−1，−1当a>2时，零点为1,−1．所以，当函数有两个零点时，a≠0且a≠1．故答案为：−∞,0∪4.【2022天津】设a∈R，对任意实数x，记f(x)=min{|x|−2,x2−ax+3a−5}.若f(x)至少有3个零点，则实数a的取值范围为

【答案】[10,+∞)

【解析】【分析】本题考查了函数的零点、方程的根的个数，属于较难题．

设g(x)=x2−ax+3a−5，ℎ(x)=|x|−2，分析可知函数g(x)至少有一个零点，可得出Δ≥0，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a【解答】

解：设g(x)=x2−ax+3a−5，ℎ(x)=|x|−2，

∵当|x|−2=0时，x=±2，

又∵函数f(x)至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，

∴Δ=a2−4(3a−5)≥0，

解得a≤2或a≥10，

①当a=2时，g(x)=x2−2x+1，作出函数g(x)、ℎ(x)的图象如下图所示：

此时函数f(x)只有两个零点，不符合题意，故舍，

②当a<2时，设函数g(x)的两个零点分别为x1、x2(x1<x2)，

要使得函数f(x)至少有3个零点，则x2≤−2，

所以a2<−2g(−2)=5a−1≥0，无解，故舍去，

③当a=10时，g(x)=x2−10x+25，作出函数g(x)、ℎ(x)的图象如下图所示：

由图可知，函数f(x)的零点个数为3，符合题意，

④当a>10时，设函数g(x)的两个零点分别为x3、x4(5.【2021北京】已知f(x)=|lgx|−kx−2，给出下列四个结论：

(1)若k=0，则f(x)有两个零点；

(2)∃k<0，使得f(x)有一个零点；

(3)∃k<0，使得f(x)有三个零点；

(4)∃k>0，使得f(x)有三个零点；

以上正确结论的序号是

．【答案】(1)(2)(4)

【分析】本题考查了已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题,属于中档题.

由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【解答】解:对于①，当时，由，可得或，①正确；

对于②，考查直线与曲线相切于点，

对函数求导得，由题意可得，解得，

所以，存在，使得只有一个零点，②正确；

对于③，当直线过点时，，解得，

所以，当时，直线与曲线有两个交点，

若函数有三个零点