高数点积叉积

1.向量的两种表示方式（直观，坐标）2.向量的两个要素（长度、方向）的表示3.向量的线性运算（直观，坐标）复习向量的表示及线性运算

-------模与方向余弦4.向量的平行的充要条件（直观，坐标）5.向量在坐标轴上的投影及投影向量2021/5/91解

因1.

设求向量在x

轴上的投影、在y轴上的分向量在y

轴上的分向量为故在x

轴上的投影为及与平行的单位向量.与平行的单位向量为2021/5/92解2021/5/932021/5/94*三、向量的混合积第三节一、两向量的数量积二、两向量的向量积数量积向量积*混合积

第八章2021/5/95一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为

,称

记作数量积(点积).引例.

设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为2021/5/96记作故2.性质为两个非零向量,则有

2021/5/973.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;2021/5/98例1.

证明三角形余弦定理证:如图.则设2021/5/994.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于[两向量的夹角公式]

,得2021/5/910例2.

已知三点

AMB.解:则求故2021/5/911为

).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.

设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积:的夹角为且为单位向量2021/5/912二、两向量的向量积引例.

设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量

M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F

作用在杠杆上的力2021/5/9131.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,

称引例中的力矩思考:

右图三角形面积S＝2021/5/9142.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:2021/5/9154.向量积的坐标表示式设则2021/5/916向量积的行列式计算法2021/5/917例4.已知三点角形

ABC

的面积.解:

如图所示,求三2021/5/918*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积

.记作几何意义

为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其2021/5/9192.混合积的坐标表示设2021/5/9203.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)2021/5/921例5.

已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四点共面,求点M的坐标x、y、z

所满足的方程.解:

A、B、C、M

四点共面展开行列式即得点M的坐标所满足的方程AM、AB、AC

三向量共面即2021/5/922内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:2021/5/923混合积:2.向量关系:2021/5/924思考与练习1.设计算并求夹角

的正弦与余弦.答案:2.用向量方法证明正弦定理:2021/5/925证:由三角形面积公式所以因2021/5/926P2891,2,3,4,5,6,7，8，9第三节作业2021/5/927备用题1.已知向量的夹角且解：2021/5/928备用题1.已知向量的夹角且解：2021/5/929备用题1.已知向量的夹角且解：2021/5/930备用题1.已知向量的夹角且解：2021/5/931在顶点为三角形中,求AC

边上的高BD.解：三角形ABC的面积为2.而故有2021/5/932在顶点为三角形中,求AC

边上的高BD.解：三角形ABC的面积为2.而故有2021/5/933在顶点为三角形中,求AC

边上的高BD.解：三角形ABC的面积为2.而故有2021/5/934在顶点为三角形中,求AC

边上的高BD.解：三角形ABC的面积为2.而故有2021/5/935在顶点为三角形中,求AC

边上的高BD.解：三角形ABC的面积为2.而故有2021/5/936备用题1.已知