高中数学必修4复习

必修四复习2021/5/91三角函数部分2021/5/92一、任意角的三角函数1、角的概念的推广正角负角o的终边的终边零角一条射线逆时针旋转为正，顺时针方向旋转为负。零角（1）射线逆时针顺时针2021/5/93（2）象限角和轴线角.使角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边在坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.（3）若角的终边在坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.2021/5/94(2)象限角、象限界角(轴线角)①象限角第一象限角:k

360º<

<k

360º+90º,k

Z;

(2k

<

<2k

+

,k

Z)2

第二象限角:k

360º+90º<

<k

360º+180º,k

Z;(2k

+

<

<2k

+

,k

Z)2

第三象限角:k

360º+180º<

<k

360º+270º,k

Z;

(2k

+

<

<2k

+

,k

Z)23

第四象限角:k

360º+270º<

<k

360º+360º,k

Z.2

(2k

+<

<2k

+2

,k

Z

或2k

-<

<2k

,k

Z

)23

或k

360º-90º<

<k

360º,k

Z.2021/5/95x

轴的非负半轴:

=k

360º或

=2k

(k

Z);x

轴的非正半轴:

=k

360º+180º或

=2k

+

(k

Z);

y

轴的非负半轴:

=k

360º+90º(2k

+

)(k

Z);2

y

轴的非正半轴:

=k

360º+270º(2k

+)

或

=k

360º-90º(2k

-

)(k

Z);23

2

x

轴:

=k

180º或

=

k

(k

Z);

y

轴:

=k

180º+90º(k

+

)(k

Z);2

坐标轴:

=k

90º()(k

Z).2k

（3）若角的终边在坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.2021/5/96（1）、终边落在x轴上的角度集合：（2）、终边落在y轴上的角度集合：2021/5/97三、所有与角终边相同的角，连同角在内，构成集合：（角度制）（弧度制）2021/5/982.弧度制：(1)1弧度的角：长度等于半径的弧所对的圆心角.(3)弧长公式：扇形面积公式：(2)角度与弧度的互化1

=rad≈0.01745rad.180

2021/5/993.任意角的三角函数(1)定义：(2)三角函数值的符号：OyxOyxOyxxyo●P(x,y)rr=︱op︱cot

=;sec

=;csc

=;xyrxry2021/5/910全为+一全正二正弦三正切四余弦一、三角函数值的符号:规律:2021/5/911当角的终边不在坐标轴上时，我们把，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．三角函数线：用有向线段的数量来表示。yOxPMAT2021/5/912yOxyOxyOxyOxPα终边MATPMAT正弦线余弦线正切线PPMATPMAT2021/5/913特殊角的三角函数:不存在不存在2021/5/914正弦线：余弦线：正切线：（2）当角α的终边在x轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。2.正弦线、余弦线、正切线xyOPTMA有向线段MP有向线段OM有向线段AT注意：（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线

2021/5/915三角函数三角函数线正弦函数余弦函数正切函数正弦线MP

正弦、余弦函数的图象

yxxO-1

PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：三角函数线是有向线段！余弦线OM正切线AT2021/5/916

POM

POM

POM

POMMP为角的正弦线,OM为角的余弦线为第二象限角时

为第一象限角时

为第三象限角时

为第四象限角时

2021/5/917度弧度0特殊角的角度数与弧度数的对应表2021/5/9186.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：(2)商的关系：2021/5/919公式二：公式三：公式四：公式一(k∈Z)诱导公式记忆方法：奇变偶不变，符号看象限2021/5/920公式五：公式六：公式七：公式八：诱导公式记忆方法：奇变偶不变，符号看象限2021/5/921利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般按下面步骤进行:任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π的角的三角函数锐角的三角函数用公式一或公式三用公式一用公式二或四或五或六可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”

2021/5/922---11--1最高点：最低点：与x轴的交点：作图时的五个关键点2021/5/923所有的点向左(

>0)或向右(

<0)平行移动|

|

个单位长度y=sinxy=sin(x+

)y=sinxy=sin

x横坐标缩短(

>1)或伸长(0<

<1)1/

倍纵坐标不变y=sinxy=Asinx纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)A倍横坐标不变y=Asin（

x+

）y=sinx三角函数图象变换2021/5/924y=sinxy=sin(x+

)横坐标缩短

>1(伸长0<<1)到原来的1/

倍y=sin(

x+

)纵坐标伸长A>1(缩短0<A<1)到原来的A倍y=Asin(

x+

)y=sinxy=Asin(

x+

)总结:向左

>0(向右

<0)方法1:按先平移后变周期的顺序变换平移|

|个单位纵坐标不变横坐标不变2021/5/925y=sinx横坐标缩短

>1(伸长0<<1)到原来的1/

倍y=sin

x纵坐标伸长A>1(缩短0<A<1)到原来的A倍y=Asin(

x+

)y=sinxy=Asin(

x+

)总结:纵坐标不变横坐标不变方法2:按先变周期后平移顺序变换向左

>0(向右

<0)平移|

|/

个单位2021/5/926总结:利用，求得2021/5/927图像定义域值域最值递增区间递减区间奇偶性周期对称轴对称中心1-11-1xyO时，时，时，时，奇函数偶函数T=2π奇函数T=2πT=π2021/5/928求函数的单调递增区间:增增增减2021/5/929变形：cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ2021/5/930化为一个角的三角函数形式令2021/5/931一、倍角公式降幂扩角公式2021/5/932公式变形：升幂缩角公式降幂扩角公式2021/5/933三角函数常规求值域问题2021/5/934二、象限角：注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。三、所有与角终边相同的角，连同角在内，构成集合：（角度制）（弧度制）例1、求在到（）范围内，与下列各角终边相同的角原点x轴的非负半轴一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与重合，角的始边与重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。2021/5/9351、终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。2、象限角、象间角与区间角的区别3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式三、终边相同的角2021/5/936(1)与

角终边相同的角的集合:1.几类特殊角的表示方法

{

|

=2k+

,k∈Z}.(2)象限角、象限界角(轴线角)①象限角第一象限角:

(2k

<

<2k

+

,k

Z)2

第二象限角:(2k

+

<

<2k

+

,k

Z)2

第三象限角:

(2k

+

<

<2k

+

,k

Z)23

第四象限角:2

(2k

+<

<2k

+2

,k

Z

或2k

-<

<2k

,k

Z

)23

一、角的基本概念2021/5/937平面向量部分2021/5/938平行向量的定义：

长度（模）为1个单位长度的向量长度（模）为0的向量，记作

方向相同或相反的非零向量规定：零向量与任一向量平行单位向量概念：

零向量的概念：

2021/5/939相等向量的定义：

共线向量与平行向量的关系：

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量任一组平行向量都可移到同一条直线上所以平行向量也叫共线向量2021/5/9401.向量加法三角形法则:特点:首尾相接特点:共起点BA2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:O特点：共起点，连终点，方向指向被减数2021/5/9412021/5/942共线向量基本定理：向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得(2)证明三点共线的问题:定理的应用:(1)有关向量共线问题:(3)证明两直线平行的问题:2021/5/943平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数,使2021/5/944向量的夹角:两个非零向量

和,作，

,则叫做向量

和

的夹角．夹角的范围：

与

反向OAB

与

同向OAB记作与

垂直，OAB注意:两向量必须是同起点的OAB2021/5/945坐标(x,y)一一对应向量

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.OABP重要结论2021/5/946OABab，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则|b|cosθ|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．平面向量的数量积的几何意