2022年中考数学总复习考点知识梳理4.6解直角三角形及其应用

4.6解直角三角形及其应用◎利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道30°,45°,60°角的三角函数值.◎会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它的对应锐角.◎能用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决一些简单的实际问题.◎在平面上,能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.近几年的安徽中考每年都考查解直角三角形的应用,但难度起伏不大,正确地理解锐角三角函数的定义,构造直角三角形和利用直角三角形的边角关系是解题的前提.命题点1解直角三角形[仅2012年考查]1.(2012·安徽第19题)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23.求AB的长.解:过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=23,∴CD=AC·sinA=23×AD=AC·cosA=23×3在Rt△BCD中,∠B=45°,∴BD=CD=3,∴AB=AD+BD=3+3.命题点2解直角三角形的实际应用[必考]2.(2021·安徽第17题)学生到工厂劳动实践,学习制作机械零件.零件的截面如图阴影部分所示,已知四边形AEFD为矩形,点B,C分别在EF,DF上,∠ABC=90°,∠BAD=53°,AB=10cm,BC=6cm.求零件的截面面积.(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60)解:由题意知AD∥EF,故∠ABE=∠BAD=53°.又∠ABC=90°,所以∠BCF=∠ABE=53°.在Rt△ABE中,AE=AB·sin∠ABE=10sin53°≈8,BE=AB·cos∠ABE=10cos53°≈6.在Rt△BCF中,BF=BC·sin∠BCF=6sin53°≈4.8,CF=BC·cos∠BCF=6cos53°≈3.6.又EF=BE+BF=6+4.8=10.8,所以四边形ABCD的面积=AE·EF－12AE·BE-12BF·CF=8×10答:零件的截面面积约为53.76cm2.3.(2020·安徽第18题)如图,山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=15米,在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD=36.9°,塔顶A的仰角∠ABD=42.0°.求山高CD.(点A,C,D在同一条竖直线上,参考数据:tan36.9°≈0.75,sin36.9°≈0.60,tan42.0°≈0.90)解:在Rt△ABD与Rt△CBD中,AD=BD·tan∠ABD≈0.9BD,CD=BD·tan∠CBD≈0.75BD,于是AC=AD－CD=0.15BD.因为AC=15米,所以BD=100米,所以山高CD=0.75BD=75米.改编题汇英中学数学兴趣小组去测量一座小山的高度,在小山的山顶上有一个高度为10米的5G信号发射塔AB,如图所示.在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°,向小山前进40米到达点E处,测得塔顶A的仰角为60°,求小山BC的高度.(结果精确到0.1米,3≈1.73)解:设BC=x,则AC=10+x.由题可知∠AEC=60°,∠D=30°,DE=40.在Rt△DBC中,DC=BCtanD∴CE=DC－DE=3x－40.在Rt△ACE中,tan∠AEC=ACCE解得x=5+203≈39.6.经检验,x=5+203是原分式方程的解.答:小山BC的高度约为39.6米.4.(2017·安徽第17题)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A—B—D的路线可至山顶D处.假设AB和BD都是直线段,且AB=BD=600m,α=75°,β=45°,求DE的长.(参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,2≈1.41)解:在Rt△ABC中,∵AB=600m,∠ABC=75°,∴BC=AB·cos75°≈600×0.26=156(m).在Rt△BDF中,∵∠DBF=45°,∴DF=BD·sin45°=600×22≈300×1.41=423(m)∵四边形BCEF是矩形,∴EF=BC=156m,∴DE=DF+EF=423+156=579(m).答:DE的长约为579m.5.(2015·安徽第18题)如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度.(3≈1.7)解:过点B作BE⊥CD于点E,∴CE=AB=12.在Rt△BCE中,BE=CEtan在Rt△BDE中,DE=BE·tan∠DBE=123·∴CD=CE+DE=12+123≈32.4(m).答:楼房CD的高度约为32.4m.6.(2014·安徽第18题)如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成30°角,长为20km;BC段与AB,CD段都垂直,长为10km;CD段长为30km,求两高速公路间的距离.(结果保留根号)解:如图,过点A作AB的垂线交DC的延长线于点E,过点E作l1的垂线与l1,l2分别交于点H,F,则HF⊥l2.由题意知AB⊥BC,BC⊥CD,又AE⊥AB,∴四边形ABCE为矩形,∴AE=BC,AB=EC,∴DE=DC+CE=DC+AB=50.∵AB与l1成30°角,∠EDF=30°,∴∠EAH=60°.在Rt△DEF中,EF=DE·sin30°=50×12在Rt△AEH中,EH=AE·sin60°=10×32∴HF=EF+EH=(25+53)km.答:两高速公路间的距离为(25+53)km.解

直

角

三

角

形

及

其

应

用锐角

三角

函数锐角三角函数的定义正弦:sinA=∠余弦:cosA=∠A的邻边斜边=AC正切:tanA=∠A的对边∠A的邻边=BC特殊角的三角函数值α三角函数值三角函数30°45°60°sinα12③

32cosα④

3221tanα3⑤1

3三角函数值的变化规律(1)互余两角的三角函数关系:(1)sinα=cos⑥(90°-α);(2)cosα=sin⑦(90°-α)

拓展知识sin2α+cos2α=1.解

直

角

三

角

形

及

其

应

用解直角

三角形直角三角形的边角关系三边的关系:⑧a2+b2=c2

三角的关系:∠A+∠B=∠C=90°边角关系:sinA=cosB=ac,cosA=sinB=bc,tanA解直角三角形

的类型及解法已知条件图形解法已知一条直角边和一个锐角(a,∠A)∠B=90°-∠A,c=asinA,b=atanA(或已知斜边和一个锐角(c,∠A)∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=⑨c·cosA(或b=c2-已知两条直角边(a,b)c=a2+b2,由tanA=ab求∠A,∠B已知斜边和一条直角边(c,a)b=c2-a2,由sinA=ac求∠A,∠B应用概念定义图形仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,视线在水平线⑩下方的角叫做俯角

坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h与水平宽度l的比,叫做坡度(或坡比),用字母i表示;坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,所以有i=tanα=

hl方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度;方向角的角度值的范围是0°~90°;如图,点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30°,南偏东60°,北偏西45°

考点1三角函数的定义典例1在Rt△ABC中,∠C=90°,若tanA=12,则sinB=.

【解析】∵∠C=90°,tanA=12【答案】2提分1如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么sin∠ACB的值为(D)A.355 B.175 C.3【解析】过点A作AD⊥BC于点D.由图可得AD=4,CD=3.在Rt△ACD中,AC=AD考点2解直角三角形典例2(2021·上海)如图,在△ABD中,AC⊥BD,BC=8,CD=4,cos∠ABC=45,BF为AD边上的中线.(1)求AC的长;(2)求tan∠FBD的值.【答案】(1)∵cos∠ABC=BCAB=4∴AB=10.∵AC⊥BD,∴∠ACB=90°.在Rt△ACB中,由勾股定理,得AC=AB2(2)连接CF,过点F作FE⊥BD,垂足为E.∵BF为AD边上的中线,即F为AD的中点,∴EF是△ACD的中位线,∴EF=12AC∴tan∠FBD=FEBE求锐角三角函数值的前提是构造直角三角形,欲求一个锐角的正切值,一种办法是以这个锐角为内角直接构造直角三角形,把所求的三角函数值转化成直角三角形边的比;另一种办法是利用“等角的三角函数值相等”,求它的等角的三角函数值.提分2如图,在△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=34(1)求边AC的长;(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求ADDB的值解:(1)过点A作AE⊥BC,交BC于点E.在Rt△ABE中,tan∠ABC=AEBE=3∴AE=3,BE=4,∴CE=BC－BE=5－4=1.在Rt△AEC中,根据勾股定理,得AC=32(2)设边BC的垂直平分线与边BC交于点F,连接CD.∵DF垂直平分BC,∴BD=CD,BF=CF=52∵tan∠DBF=DFBF在Rt△BFD中,根据勾股定理,得BD=52∴AD=5－258考点3解直角三角形的实际应用典例3(2021·四川自贡)在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°,从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°,综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.(结果精确到0.1,参考数据:tan37°≈0.75,tan53°≈1.33,3≈1.73)【答案】由题意可知AB=24,∠BDA=53°,∴tan∠BDA=ABAD=24AD≈1.33,∴AD≈∵tan30°=CDAD∴CD=18.05×33≈10.4(米)答:办公楼的高度约为10.4米.典例4(2021·辽宁营口)小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑,他在A处时,D处学校和E处图书馆都在他的东北方向,当小张沿正东方向跑了600m到达B处时,E处图书馆在他的北偏东15°方向,然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处,此时D处学校在他的北偏西63.4°方向,求D处学校和E处图书馆之间的距离.(结果保留整数,参考数据:sin63.4°≈0.9,cos63.4°≈0.4,tan63.4°≈2.0,2≈1.4,3≈1.7,6≈2.4)【答案】过点D作DM⊥AC于点M,过点B作BN⊥AE于点N.设MD=x,在Rt△ADM中,∠MAD=45°,∴△ADM是等腰直角三角形,∴AM=MD=x,∴AD=2x.在Rt△CDM中,∠MDC=63.4°,∴MC=DM·tan∠MDC≈2x.∵AC=600+600=1200,∴x+2x=1200,解得x=400,∴MD=400,∴AD=2MD∵∠EAB=45°,∠EBC=75°,∴∠E=30°.在Rt△ABN中,∠NAB=45°,AB=600,∴BN=AN=22∴DN=AD－AN=4002-300在Rt△NBE中,∠E=30°,∴NE=3BN∴DE=NE－DN=3006-1002≈答:D处学校和E处图书馆之间的距离约为580m.1.明确仰角、俯角、坡度(坡比)、坡角、方向角的意义.2.根据题意作出辅助线,构造直角三角形是解题的关键.在作辅助线时,应注意:(1)不过特殊角(包括给了三角函数值的角)的顶点向其他边作高,即不破坏特殊角原则;(2)常见的辅助线有下面几种情况,如图所示;(3)对于不易直接利用三角函数计算的问题,要有建立方程解决问题的意识.提分3(2021·湖北黄冈)如图,建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB,从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°,观测旗杆底部B的仰角为45°,则建筑物BC的高约为24.2m.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)

【解析】在Rt△BCD中,∠BDC=45°,∴BC=CD.设BC=CD=x,∴AC=x+8,在Rt△ACD中,tan∠ADC=ACCD=x+8x,∴x+8=x·tan53°,解得x≈24.2.故建筑物BC提分4(2020·重庆B卷改编)如图,垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边点B处,某测量员从山脚点C出发沿水平方向前行78米到点D(点A,B,C在同一条直线上),再沿斜坡DE方向前行78米到点E(点A,B,C,D,E在同一平面内),在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°,悬崖BC的高为144.5米,斜坡DE的坡度(或坡比)i=1∶2.4,求信号塔AB的高度.(参考数据:sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°≈0