2022年中考数学总复习考点知识梳理4.3全等三角形

4.3全等三角形◎理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角.◎掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.◎掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.◎掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等.◎证明定理:两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等.◎探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.三角形全等的判定和性质基本每年都会考查,仅仅从这部分知识点看,难度不是很大,但是与其他知识综合命题,难度加大,解题的关键是把判定全等的条件从综合题中分离出来,熟练利用全等三角形的判定、性质等相关知识进行解题.命题点全等三角形的判定与性质[必考,多与其1.(2019·安徽第20(1)题)如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.求证:△BCE≌△ADF.证明:延长FA与CB的延长线交于点M.∵AD∥BC,∴∠FAD=∠M.又∵AF∥BE,∴∠M=∠EBC,∴∠FAD=∠EBC,同理得∠FDA=∠ECB.又∵BC=AD,∴△BCE≌△ADF(ASA).2.(2014·安徽第23题)如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过点P作PM∥AB交AF于点M,作PN∥CD交DE于点N.(1)①∠MPN=60°;

②求证:PM+PN=3a;(2)如图2,O是AD的中点,连接OM,ON.求证:OM=ON;(3)如图3,O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形,并说明理由.解:(1)②如图1,连接BE交MP于点H.在正六边形ABCDEF中,PN∥CD,又BE∥CD∥AF,所以BE∥PN∥AF.又PM∥AB,所以四边形AMHB、四边形HENP为平行四边形,△BPH为等边三角形.所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.(2)如图2,连接BE.由(1)知AM=EN,且AO=EO,∠MAO=∠NEO=60°,所以△MAO≌△NEO(SAS),所以OM=ON.(3)四边形OMGN是菱形.理由:如图3,连接OE,OF.由(2)知∠MOA=∠NOE,又因为∠AOE=120°,所以∠MON=∠AOE－∠MOA+∠NOE=120°.由已知OG平分∠MON,所以∠MOG=60°.又∠FOA=60°,所以∠MOA=∠GOF.又AO=FO,∠MAO=∠GFO=60°,所以△MAO≌△GFO(ASA),所以MO=GO.又∠MOG=60°,所以△MGO为等边三角形.同理可证△NGO为等边三角形,所以四边形OMGN为菱形.典例已知△ABD≌△ACE,点D,E在BC上.(1)如图1.①若∠B=35°,∠DAE=70°,求∠BAD的度数;②若BC=12,DE=6,求BD的长.(2)若点G,F分别在AB,AC上,且AF=AG,如图2.①求证:△BEG≌△CDF;②求证:△ADF≌△AEG;③连接AO,如图3,求证:AO平分∠FOG.【答案】(1)①∵△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C=35°,∠BAD=∠CAE,∴∠BAC=180°－∠B－∠C=110°.∵∠DAE=70°,∴∠BAD=∠CAE=12×(∠BAC－∠DAE)=20°②∵△ABD≌△ACE,∴BD=CE.∵BC=12,DE=6,∴BD+CE=BC－DE=6,∴BD=3.(2)①∵△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C,AB=AC,BD=CE,∴BD+DE=CE+DE,即BE=CD.∵AF=AG,∴AB－AG=AC－AF,即BG=CF,∴△BEG≌△CDF(SAS).②∵△ABD≌△ACE,∴AD=AE.∵△BEG≌△CDF,∴EG=DF.∵AF=AG,∴△ADF≌△AEG(SSS).③过点A作AH⊥EG于点H,AK⊥DF于点K.由(2)②可知△ADF≌△AEG,∴AE=AD,∠AEG=∠ADF.∵AH⊥EG,AK⊥DF,∴∠AHE=∠AKD=90°,∴△AHE≌△AKD(AAS),∴AH=AK.∴AO平分∠FOG.【选题意图】本题通过一个题组将安徽中考常考的有关全等三角形的判定和性质串联起来.(1)考查全等三角形的性质;(2)①②考查全等三角形的判定,③综合考查全等三角形的判定和角平分线的判定.提分1(2021·江苏盐城)工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OC=OD,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点C,D重合,这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是(D)A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS【解析】在△COM和△DOM中,OC=OD,OM=OM,MC=MD,∴△COM≌△DOM(SSS),∴∠COM提分2(2021·辽宁大连)如图,点A,D,B,E在一条直线上,AD=BE,AC=DF,AC∥DF,求证:BC=EF.解:∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.∵AC∥DF,∴∠A=∠EDF.在△ABC与△DEF中,AB∴△ABC≌△DEF(SAS),∴BC=EF.三角形的费马点教材原题呈现[HK版教材八上P150A组复习题第12题]已知:如图,在△ABC中,以它的边AB,AC为边,分别在形外作等边三角形ABD,ACE,连接BE,CD.求证:BE=DC.【参考答案】由已知可得AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE.在△BAE和△DAC中,AB∴△BAE≌△DAC,∴BE=DC.【教材知识拓展】费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.如图,若P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则P叫做△ABC的费马点.理由:如图所示,以点A为旋转中心,将△ACP逆时针旋转60°,得△ADE,连接PD,CE,易得△APD和△ACE为等边三角形,且B,P,D,E四点共线,PC=DE,∴AP=DP,AP+BP+CP=BP+PD+DE=BE,∴此时AP+BP+CP的值最小,P为△ABC的费马点.教材文化延伸命题方向1考查定义1.若P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则P叫做△ABC的费马点.若P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为23.

【解析】如图所示,∵∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,∴∠PAB+∠PBA=60°.∵∠ABC=60°,即∠PBA+∠PBC=60°,∴∠PAB=∠PBC,∴△PAB∽△PBC,∴PAPB命题方向2求到不共线三点距离之和的最小值2.(2021·山东淄博改编)两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD,如图所示.若∠α=30°,求对角线BD上的动点P到A,B,C三点距离之和的最小值.解:如图,作DE⊥BC于点E,把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP'.∵∠α=30°,DE=3cm,∴CD=2DE=6cm,同理得BC=AD=6cm.由旋转的性质,得A'B=AB=CD=6cm,BP'=BP,A'P'=AP,∠P'BP=60°,∠A'BA=60°,∴△P'BP是等边三角形,∴BP=PP',∴PA+PB+PC=A'P'+PP'+PC.根据两点间线段最短,可知当PA+PB+PC=A'C时最短.连接A'C,与BD的交点即为点P,即点P到A,B,C三点距离之和的最小值是A'C.∵∠ABC=∠DCE=∠α=30°,∠A'BA=60°,∴∠A'BC=90°,∴A'C=A'B∴点P到A,B,C三点距离之和的最小值是62cm.命题方向3求角度3.如图,P为正方形ABCD内一点,PB=1,PC=2,