2022年中考数学几何变形题归类辅导专题08相似三角形性质和判定的应用(解析版)

【中考数学几何变形题归类辅导】专题8：相似三角形性质和判定的应用【典例引领】例：如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．①求SΔED②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．【答案】（1）AE=3310；（2）BG=526；（3）①54【分析】（1）先求出BD，进而求出OD=OB=OA，再判断出△ODE∽△ADO，即可得出结论；（2）先判断出△AEF≌△DCE，进而求出BF=1，再判断出△CHG∽△CBF，进而求出BK=GK=56（3）①先求出EC=5，再求出D'C=1，根据勾股定理求出DH=43，CH=53，再判断出△EMN∽△EHD，得出MNHD＝EMEH，△ED'M∽△②先判断出∠MD'H=∠NED'，进而判断出∠MD'H=∠ECB，即可得出D'MCB【解答】（1）如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90°在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD=34，∵O是BD中点，∴OD=OB=OA=342∴∠OAD=∠ODA，∵OE=DE，∴∠EOD=∠ODE，∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，∴△ODE∽△ADO，∴DOAD∴DO2=DE•DA，∴设AE=x，∴DE=5﹣x，∴（342）2=5（5﹣x∴x=3310即：AE=3310（2）如图2，在矩形ABCD中，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=45°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3，∴AE=CD=3，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠CED=90°，∵∠A=90°，∴∠AEF+∠AFE=90°，∴∠CED=∠AFE，∵∠D=∠A=90°，∴△AEF≌△DCE，∴AF=DE=2，∴BF=AB﹣AF=1，过点G作GK⊥BC于K，∴∠EBC=∠BGK=45°，∴BK=GK，∠ABC=∠GKC=90°，∵∠KCG=∠BCF，∴△CHG∽△CBF，∴GKFB设BK=GK=y，∴CK=5﹣y，∴y=56∴BK=GK=56在Rt△GKB中，BG=52（3）①在矩形ABCD中，∠D=90°，∵AE=1，AD=5，∴DE=4，∵DC=3，∴EC=5，由折叠知，ED'=ED=4，D'H=DH，∠ED'H=∠D=90°，∴D'C=1，设D'H=DH=z，∴HC=3﹣z，根据勾股定理得，（3﹣z）2=1+z2，∴z=43∴DH=43，CH=5∵D'N⊥AD，∴∠AND'=∠D=90°，∴D'N∥DC，∴△EMN∽△EHD，∴MNHD∵D'N∥DC，∴∠ED'M=∠ECH，∵∠MED'=∠HEC，∴△ED'M∽△ECH，∴D'MCH∴MNHD∴D'MMN∴S△ED'M②相似，理由：由折叠知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，∴∠MD'H+∠ED'N=90°，∵∠END'=90°，∴∠ED'N+∠NED'=90°，∴∠MD'H=∠NED'，∵D'N∥DC，∴∠EHD=∠D'MH，∴∠EHD'=∠D'MH，∴D'M=D'H，∵AD∥BC，∴∠NED'=∠ECB，∴∠MD'H=∠ECB，∵CE=CB=5，∴D'M∴△D'MH∽△CBE．【强化训练】1．如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，①如图2，若∠ADC=60°，求DGBH②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出DGBH的值.（用含α【答案】（1）BG=EG，理由见解析；（2）12；（3）cos【分析】（1）BG=EG，根据已知条件易证△BAG≌△EFG，根据全等三角形的对应边相等即可得结论；（2）①方法一：过点G作GM∥BH，交DH于点M，证明ΔGME∽ΔBHE，即可得GMBH=GEBE=12，再证明ΔMGD是等边三角形，可得DG=MG，由此可得DGBH=MGBH=12；方法二：延长ED，BC交于点M，证明ΔHBM为等边三角形，再证明ΔEDG∽ΔEMB，即可得结论；②如图3，连接EC交DF【解答】（1）BG=EG，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.∵四边形CDEF是菱形，∴CD∥EF，CD=EF.∴AB∥EF，AB=EF.∴∠ABG=∠FEG.又∵∠AGB=∠FGE，∴ΔABG≌ΔFEG(AAS∴BG=EG.（2）方法1：过点G作GM∥BH，交DH于点M，∴∠EMG=∠EHA.∵∠GEM=∠BEH，∴ΔGME∽ΔBHE.∴GMBH由（1）结论知BG=EG.∴EG=1∴GMBH∵四边形CDEF为菱形，∴∠ADC=∠EDF=60°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠CDF=∠HAD=60°.∵GM∥AH，∴∠MGD=∠HAD=60°.∴∠GMD=180°-即∠GMD=∠MGD=∠MGD=60°.∴ΔMGD是等边三角形。∴DG=MG.∴DGBH方法2：延长ED，BC交于点M，∵四边形CDEF为菱形，∴∠EDF=∠CDF=60°.∵四边形ABCD为平形四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，AD∥BC.∴∠EDF=∠M=60°.∠H=180°-即∠HBM=∠M=∠H=60°.∴ΔHBM为等边三角形.∴HB=MB.∵AD∥BC，∴∠EGD=∠EBM,∠EDG=∠M.∴ΔEDG∽ΔEMB，∴DGMB由（1）结论知BG=EG∴EG=1∴DGMB∵HB=MB,∴DGBH（3）cosα.如图3，连接EC交DF于O∵四边形CFED是菱形，∴EC⊥AD，FD=2FO，设FG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，Rt△EFO中，cosα=OEEF∴OF=bcosα，∴DG=a+2bcosα，过H作HM⊥AD于M，∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，∴AH=HD，∴AM=12AD=12（2a+2bcosα）Rt△AHM中，cosα=AMAH∴AH=a+bcos∴DGBH=a+2bcos2．已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；（2）当∠ACB=α，其它多件不变时，∠BDE的度数是（用含α的代数式表示）（3）若△ABC是等边三角形，AB=33，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．【答案】（1）①证明见解析；②∠BDE=90°；（2）α或180°﹣α；（3）CF的长为32或43【分析】（1）①根据SAS证明即可；②想办法证明∠ADE+∠ADB=90°即可；（2）分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E在AN的延长线上时，②如图3中，当点E在NA的延长线上时，（3）分两种情形求解即可，①如图4中，当BN=13BC=3时，作AK⊥BC于K，解直角三角形即可．②如图5中，当CN=13BC=3时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H【解答】（1）①如图1中，∵CA=CB，BN=AM，∴CB﹣BN=CA﹣AM，即CN=CM，∵∠ACN=∠BCM，∴△BCM≌△CAN；②如图1中，∵△BCM≌△ACN，∴∠MBC=∠NAC，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∵AG∥BC，∴∠GAC=∠ACB=90°，∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠NAC，∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD，∵∠ADB+∠EDA=180°﹣90°=90°，∴∠BDE=90°；（2）如图2中，当点E在AN的延长线上时，易证：∠CBM=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠CAN+∠CAD=∠BDE+∠ADB，∴∠BDE=∠ACB=α；如图3中，当点E在NA的延长线上时，易证：∠1+∠2=∠CAN+∠DAC，∵∠2=∠ADM=∠CBD=∠CAN，∴∠1=∠CAD=∠ACB=α，∴∠BDE=180°﹣α，综上所述，∠BDE=α或180°﹣α，故答案为：α或180°﹣α；（3）如图4中，当BN=13BC=3时，作AK⊥BC于K∵AD∥BC，∴ADBC∴AD=332，AC=33，易证△ADC是直角三角形，则四边形ADCK是矩形，△AKN≌△∴CF=NK=BK﹣BN=332﹣3=如图5中，当CN=13BC=3时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H∵AD∥BC，∴ADBC∴AD=63，易证△ACD是直角三角形，由△ACK∽△CDH，可得CH=3AK=93由△AKN≌△DHF，可得KN=FH=32∴CF=CH﹣FH=43．综上所述，CF的长为32或433．如图，△ABC中，∠BAC为钝角，∠B=45°，点P是边BC延长线上一点，以点C为顶点，CP为边，在射线BP下方作∠PCF=∠B．（1）在射线CF上取点E，连接AE交线段BC于点D．①如图1，若AD=DE，请直接写出线段AB与CE的数量关系和位置关系；②如图2，若AD=DE，判断线段AB与CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图3，反向延长射线CF，交射线BA于点C′，将∠PCF沿CC′方向平移，使顶点C落在点C′处，记平移后的∠PCF为∠P′C′F′，将∠P′C′F′绕点C′顺时针旋转角α（0°＜α＜45°），C′F′交线段BC于点M，C′P′交射线BP于点N，请直接写出线段BM，MN与CN之间的数量关系．【答案】（1）①AB=CE，AB⊥CE；②AB=CE；（2）MN2=BM2+CN2．【分析】试题分析：（1）①结论：AB=CE．如图1中，作EH∥BA交BP于H．只要证明△BDA≌△HDE，EC=EH即可解决问题；②结论：AB=CE．如图2中，作EH∥BA交BP于H．由△ABD∽△EHD，可得=，推出AB=EH，再证明EC=EH，即可解决问题；（2）结论：MN2=BM2+CN2．首先说明△BCC′是等腰直角三角形，将△C′BM绕点C′顺时针旋转90°得到△C′CG，连接GN．只要证明△C′MN≌△C′GN，推出MN=GN，在Rt△GCN中，根据GN2=CG2+CN2，即可证明.【解答】（1）①结论：AB=CE，AB⊥CE，理由：如图1中，作EH∥BA交BP于H，∵AB∥EH，∴∠B=∠DHE，∵AD=DE，∠BDA=∠EDH，∴△BDA≌△HDE，∴AB=EH，∵∠PCF=∠B=∠CHE，∴EC=EH，∴AB=EH，∠ECH=∠EHC=45°，∴∠CEH=90°，∴CE⊥EH，∵AB∥EH，∴AB⊥CE；②结论：AB=CE．理由：如图2中，作EH∥BA交BP于H，∵BA∥EH，∴△ABD∽△EHD，∴=，∴AB=EH，∵∠PCF=∠B=∠CHE，∴EC=EH，∴AB=EH；（2）结论：MN2=BM2+CN2，理由：如图3中，∵∠B=∠PCF=∠BCC′=45°，∴△BCC′是等腰直角三角形，将△C′BM绕点C′顺时针旋转90°得到△C′CG，连接GN，∵∠C′CG=∠B=45°，∴∠GCB=∠C′CG+∠C′CB=90°，∴∠GCN=90°，∵∠MC′G=90°，∠MC′N=45°，∴∠NC′M=∠NC′G，∵C′M=C′G，C′N=C′N，∴△C′MN≌△C′GN，∴MN=GN，在Rt△GCN中，∵GN2=CG2+CN2，CG=BM，MN=GN，∴MN2=BM2+CN2．4．（2016辽宁省大连市）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；（3）如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜33），∠AED=∠BCD，求AEEC的值（用含【答案】（1）AAS；（2）4；（3）AEEC=3【分析】试题分析：（1）作AF⊥BC，根据已知条件易得∠AFB=∠BEA，∠DAB=∠ABD，AB=AB，根据AAS可判断出△ABF≌△BAE；（2）连接AD，作CG⊥AF，易得tan∠DAE=，再由tan∠F=tan∠DAE，求出CG，再证△DCG∽△ACE，根据相似三角形的性质即可求出AC；（3）过点D作DG⊥BC，设DG=a，在Rt△ABH，Rt△ADN，Rt△ABH中分别用a，k表示出AB=2a（k+1），BH=a（k+1），BC=2BH=2a（k+1），CG=a（2k+1），DN=ka，最后用△NDE∽△GDC，求出AE，EC即可．【解答】证明：（1）如图2，作AF⊥BC，∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，在△ABF和△BAE中，，∴△ABF≌△BAE（AAS），∴BF=AE∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=BC，∴BC=2AE，故答案为AAS（2）如图3，连接AD，作CG⊥AF，在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，∴AD=CD，∵点E是DC中点，∴DE=CD=AD，∴tan∠DAE==，∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC中点，∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，∵∠CDF=∠EAC，∴∠F+∠EAC=45°，∵∠DAE+∠EAC=45°，∴∠F=∠DAE，∴tan∠F=tan∠DAE=，∴，∴CG=×2=1，∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，∴∠DCG=45°，∵∠CDF=∠EAC，∴△DCG∽△ACE，∴，∵CD=AC，CE=CD=AC，∴，∴AC=4；∴AB=4；（3）如图4，过点D作DG⊥BC，设DG=a，在Rt△BGD中，∠B=30°，∴BD=2a，BG=a，∵AD=kDB，∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），过点A作AH⊥BC，在Rt△ABH中，∠B=30°．∴BH=a（k+1），∵AB=AC，AH⊥BC，∴BC=2BH=2a（k+1），∴CG=BC﹣BG=a（2k+1），过D作DN⊥AC交CA延长线与N，∵∠BAC=120°，∴∠DAN=60°，∴∠ADN=30°，∴AN=ka，DN=ka，∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，∴△NDE∽△GDC．∴，∴，∴NE=3ak（2k+1），∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a（k+1）﹣2ak（3k+1）=2a（1﹣3k2），∴．5．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．特例探索（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝22时，a＝，b＝如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝，b＝；归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；拓展应用（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝25，AB＝3．求AF【答案】（1）25，25；213，27；（2）a2+b2=5c2；（3【分析】（1）运用三角形中位线的性质和相似