2022年浙江省中考数学复习训练26-直线与圆的位置关系

训练26：直线与圆的位置关系1．在平面直角坐标系中，以点P(－2，3)为圆心，2为半径的⊙P与x轴的位置关系是(A)A．相离 B．相切C．相交 D．无法确定2．(2021·长春)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为(C)A．35°B．45°C．55°D．65°3．(2021·安顺)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是(A)A．144°B．130°C．129°D．108°4．(2021·娄底)如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l：y＝eq\f(5,12)x只有一个公共点时，点A的坐标为(D)A．(－12，0)B．(－13，0)C．(±12，0)D．(±13，0)5．(2021·北京)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝__130°__．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是__相切__．7．(2021·临沂)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为__125°__．8．如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P.若四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于__10__．9．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为__3__cm或5__cm__．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为__6.5或3eq\r(13)__．11．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝10cm，AB＝60cm，求这个外圆半径．【解析】如图，设点O为外圆的圆心，连结OA和OC，设外圆的半径为r，则OD＝r－10，AD＝30，根据题意，得r2＝(r－10)2＋302，解得r＝50cm.12．如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点(PB＜OB)，点E是线段OP的中点．(1)尺规作图：在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP，连结EC，PC(保留清晰作图痕迹，不要求写作法)；并证明PC是⊙O的切线；(2)在(1)的条件下，若BP＝4，EB＝1，求PC的长．【解析】(1)如图，点C即为所求；证明：∵点E是线段OP的中点，∴OE＝EP，∵EC＝EP，∴OE＝EC＝EP，∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，∵∠COE＋∠ECO＋∠ECP＋∠P＝180°，∴∠ECO＋∠ECP＝90°，∴OC⊥PC，且OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．(2)∵BP＝4，EB＝1，∴OE＝EP＝BP＋EB＝5，∴OP＝2OE＝10，∴OC＝OB＝OE＋EB＝6，在Rt△OCP中，根据勾股定理，得PC＝eq\r(OP2－OC2)＝8.则PC的长为8.13.(2021·通辽)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连结OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连结PD.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．【解析】(1)连结OD，∵PA为⊙O的切线，∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°，∵OP∥BD，∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO，∴∠DOP＝∠AOP，在△AOP和△DOP中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AO＝DO,∠AOP＝∠DOP,PO＝PO))，∴△AOP≌△DOP(SAS)，∴∠PDO＝∠PAO，∵∠PAO＝90°，∴∠PDO＝90°，即OD⊥PD，∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)由(1)知：△AOP≌△DOP，∴PA＝PD，∵四边形POBD是平行四边形，∴PD＝OB，∵OB＝OA，∴PA＝OA，∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°.14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求CE的长．【解析】连结OD，过点O作OF⊥BC于F，则BF＝EF，∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC，∵∠C＝90°，OF⊥BC，∴OD∥BC，四边形ODCF为矩形，∴△AOD∽△ABC，CF＝OD＝2，∴eq\f(OD,BC)＝eq\f(AO,AB)，即eq\f(2,BC)＝eq\f(5－2,5)，解得：BC＝eq\f(10,3)，∴BF＝BC－CF＝eq\f(10,3)－2＝eq\f(4,3)，∴BE＝2BF＝eq\f(8,3)，∴CE＝BC－BE＝eq\f(10,3)－eq\f(8,3)＝eq\f(2,3).15.(2021·荆州)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连结OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E.若AD＝4，DF＝eq\f(5,2)，则BE＝__eq\f(15,2)__．16．(2021·绥化)在边长为4的正方形ABCD中，连结对角线AC，BD，点P是正方形边上或对角线上的一点，若PB＝3PC，则PC＝__1或eq\r(2)或eq\f(－\r(2)＋\r(34),4)__．17.(2021·遂宁)如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°.(1)求证：直线AC是⊙O的切线；(2)求△ABC的面积；(3)点E在上运动(不与B，D重合)，过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F.①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．【解析】(1)连结OC，如图所示．∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝∠A＝30°.∴∠CDB＝60°.∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝60°.∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°＋60°＝90°.∴OC⊥AC.∴直线AC是⊙O的切线．(2)过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．∵OD＝OC，∠ODC＝60°，∴△ODC是等边三角形．∴CD＝OD＝AD＝1，DH＝OH＝eq\f(1,2).∴在Rt△DCH中，CH＝eq\r(CD2－DH2)＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).∵AB＝AD＋BD＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CH＝eq\f(1,2)×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),4).(3)①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，如图所示．此时，CE⊥AB，设垂足为K.由(2)可知，CK＝eq\f(\r(3),2).∵BD为圆的直径，CE⊥AB，∴CE＝2CK＝eq\r(3).∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°.∵＝，∴∠E＝∠CDB＝60°.在Rt△EFC中，∵tan∠E＝eq\f(CF,CE)，∴CF＝CE·tan60°＝eq\r(3)×eq\r(3)