关于11mnger概率线性赋范空间的注记

关于11mnger概率线性赋范空间的注记

1z-p-s空间的定义和相关定理r是所有实物的集合，r+表示所有不规则实物的集合，映象f：rr+称为分布函数，当它们为非减小和左连续时，它们满足以下条件：。映象Δ:×→称为三角范数(简称t-范数,或t-模),如果它满足下列条件∀a,b,c,d∈,定义1.1Menger概率线性赋范空间(简称为M-PN空间)是一三元组(E,F,Δ),其中E是一个实线性空间,F是E到D的映象(记分布函数F(x)为fx,fx(t)表示fx在t∈R的值),满足下列条件(PN-2)fx(t)=H(t),∀t∈R当且仅当x=θ(其中θ表E中零元);(PN-4)对任意的x,y∈E,t1,t2∈R,如果fx(t1)=1,fy(t2)=1,则fx+y(t1+t2)=1;(PN-5)对任意的x,y∈E以及一切t1,t2∈R+,有fx+y(t1+t2)≥Δ(fx(t1),fy(t2))).定义1.2如果M-PN空间(E,F,Δ)满足下列条件(H1)E是实数集R上的代数,即对任意的x,y∈E,存在x·y使得1)E对乘法封闭,即∀x,y∈E,有x·y∈E;2)Vα∈R,∀x,y∈E,(αx)·y=x·(αy)=α(x·y);(H2)E中没有幂零元,即Vx∈E,∀n∈N∈N,xn=θ⇔x=θ,则称E为Z-P-S空间.在Z-P-S空间E中,记,其中x∈E,n为自然数.n个定义1.3设E为线性空间,称集合M⊂E为平衡集,如果对于任何α∈K(其中K为实数域或复数域),|α|≤1,均有αM⊂M.引理1.4设X为线性空间,若集合M⊂X为平衡集,a,b∈K(其中K为实数域或复数域)且|α|≤b|,则aM⊂bM.特别地,M=-M.因此,如果x0∈M,则-x0∈M.(*)定理2.1设W是Z-P-S空间(E,F,Δ)中的一个非空平衡开子集,Δ(t,t)≥t,∀t∈.又设A:为紧连续算子,同时满足下列条件则A在W中有不动点.证由(1)式可知,A在∂W上没有不动点,即Ax≠x,∀x∈∂w(事实上,假若∃x1∈∂W,使得Ax1=x1,代入(1)式得,矛盾).令hs(x)=x+x0-s(Ax+x0),Vs∈,.下面证明Vs∈,θghs(∂w).事实上,假若θ∈hs(∂W),即∃s0∈,∃x2∈∂W使得θ=x2+x0-s0(Ax2+x0),则s0≠0(否则由s0=0可得θ=x2+x0,即-x0=x2∈∂W,这与-x0∈W矛盾),又s0#1(否则由s0=1可得θ=x2+x0-(Ax2+x0),从而可得Ax2=x2,这与Ax≠x,∀x∈∂W矛盾),故s0∈(0,1).由θ=x2+x0-s0(Ax2+x0)得到把(2)式代入(1)式可得即由于x2≠θ且(E,F,Δ)是一个Z-P-S空间,于是,同时x2+x0≠θ(因为x2∈∂W,而-x0∈W),且(否则由,结合(PN-2)有,这与(3)式矛盾),又由于,则由分布函数的非减性可知s0t>t,即s0>1,这与s0∈(0,1)矛盾,故∀s∈,θ∉hs(∂W).由文中拓扑度的同伦不变性知再由文中拓扑度的可解性知(I-A)x=θ在W中有解,故A在W中有不动点.定理2.2设W是Z-P-S空间(E,F，Δ)的一个非空平衡开子集,Δ(t,t)≥t,∀t∈.又设A:为紧连续算子,同时满足下列条件则A在W中有不动点.证由(4)式可知,A在∂W上没有不动点,即Ax≠x,∀x∈∂W(事实上,假若∃x1∈∂W,使得Ax1=x1,代入(4)式得,由(PN-2)知这与矛盾).令hs(x)=x+x0-s(Ax+x0),Vs∈,.下面证明∀s∈,θ∉hs(∂W).把(5)式代入(4)式可得即由于X2≠θ且(E,F,Δ)是一个Z-P-S空间,于是,同时x2+x0≠θ(因为x2∈∂W,而-x0∈W),且(否则由结合(PN-2),有,这与(6)式矛盾),又由于,则由分布函数的非减性可知又因为t>0,s0∈(0,1),由(7)式可得s0<0,这与s0∈(0,1)矛盾,故Vs∈,θ∉hs(∂W).由文中拓扑度的同伦不变性知再由文中拓扑度的可解性知(T-A)x=θ在W中有解,故A在W中有不动点.定理2.3设W是Z-P-S空间(E,F,Δ)中的一个非空平衡开子集,Δ(t,t)≥t,∀t∈又设A:为紧连续算子,同时满足下列条件则A在W中有不动点.证证明方法类似于定理2.1,从略.定理2.4设W是Z-P-S空间(E,F,Δ)的一个非空平衡开子集,Δ(t,t)≥t,∀t∈又设A:→E为紧连续算子,同时满足下列条件则A在W中有不动点.证证明方法类似于定理2.2,从略.定理2.5设W是Z-P-S空间(E,F,Δ)中的一个开子集,θ∈W,Δ(t,t)≥t,∀t∈又设A:为紧连续算子,同时满足下列条件则A在W中有不动点.证由(8)式可知,A在∂W上没有不动点,即Ax≠x,∀x∈∂W(事实上,假若∈x1∈∂W,使得Ax1=x1,代入(8)式得,矛盾).令hs(x)=x-x0-s(Ax-x0),Vs∈,x∈W.下面证明∀s∈,θ∉hs(∂W).事实上,假若θ∈hs(∂W),即∃s0∈,∃x2∈∂W,使得θ=x2-x0-s0(Ax2-x0),则s0≠0(否则由s0=0可得θ=x2-x0,即x0=;x2∈∂W,这与x0∈W矛盾),又s0≠1(否则由s0=1可得θ=x2-x0-(Ax2-x0),从而可得Ax2=x2,这与Ax≠x,∀x∈∂W矛盾),故s0∈(0,1).由θ=x2-x0-s0(Ax2-x0)可得把(9)式代入(8)式可得即由于x2≠θ且(E,F,Δ)是一个Z-P-S空间,于是,同时x2-x0≠θ(因为x2∈∂W,而x0∈W),且(x2-x0)(否则由,结合(PN-2)有,这与(10)式矛盾),又由于,则由分布函数的非减性可知s0t>t,即s0>1,这与s0∈(0,1)矛盾,故θ∉hs(∂W).由文中拓扑度的同伦不变性知再由中拓扑度的可解性知(I-A)x=θ在W中有解,故A在W中有不动点.定理2.6设W是Z-P-S空间(E,F,Δ)中的一个开子集,θ∈W,Δ(t,t)≥t,∀t∈.又设A:为紧连续算子,同时满足下列条件则A在W中有不动点.证由(11)式可知,A在∂W上没有不动点,即Ax≠x,∀∈∂W(事实上,假若x1∈∂W,使得Ax1=x1,代入(11)式结合(PN-2)得这与矛盾).令hs(x)=x-x0-s(Ax-x0),Vs∈,.下面证明∀s∈,θ∉hs(∂W).事实上,假若θ∈hs(∂W),即∃s0∈,∃x2∈∂W,使得θ=x2-x0-s0(Ax2-x0),则s0≠0(否则由s0=0可得θ=x2-x0,即x0=x2∈∂W,这与x0∈W矛盾),又s0≠1(否则由s0=1可得θ=x2-x0-(Ax2-x0),从而可得Ax2=x2,这与Ax≠x,∀x∈∂W矛盾),故s0∈(0,1).由θ=x2-x0-s0(Ax2-x0)可得把(12)式代入(11)式可得即由于x2≠θ且(E,F,Δ)是一个Z-P-S空间,于是,同时x2-x0≠θ(因为x2∈∂W,而x0∈W),且(x2-x0)x2n≠θ否则由结合(PN-2),有,这与(13)式矛盾),又由于,则由分布函数的非减性和(13)式可知又因为t>0,s0∈(0,1),由(14)式可得1-s0>1,即s0<0,这与s0∈(0,1)矛盾,故Vs∈,θ∉hs(∂W).由文中拓扑度的同伦不变性知再由文中拓扑度的可解性知(I-A)x=θ在W中有解,即A在W中有不动点.用类似于定理2.5和定理2.6的方法可以证明下面两个定理成立.定理2.7设W是Z-P-S空间(E,F,Δ)中的一个开子集,θ∈W,Δ(t,t)>t,∀t∈又设A:为紧连续算子,同时满足下列条件则A在W中有不动点.定理2.8设W是Z-P-S空间(E,F,Δ)中的一个开子集,θ∈W,Δ(t,t)≥t,∀t∈.又设A:为紧连续算子,同时满足下列条件则A在W中有不动点.注定理2.5至定理2.8这4个定理是文中主要结论的推广和改进.用D表示一切分布函数的集合,H(t)表示一特殊分布函数,其定义如下(PN-3)对任意实数α≠0,;本文假设t-范数Δ是连续的.2为2+x0-s0ax0不宜导致s00,1令hs(x)=x+x0-s(Ax+x0),Vs∈,.下面证明∀s∈,θ∉hs(∂W).事实上,假若θ∈hs(∂