数值分析教案

1.5分段线性插值从已知的某些离散数据点及其函数值，即函数的列表法表达，推求出未知点上的函数值的所谓插值办法，在科技工作中应用十分广泛，如核对数表、三解函数表中都会碰到这类插值问题。MATLAB中设有许多插值指令，这里仅介绍最惯用的一元函数插值指令，它能够使前面讲过的理论得以计算机实现。1.5.1一元函数插值（查表）的MATLAB实现该命令的调用格式为：①输入参数x和y为已知的两个同维向量和，满足函数关系，它们是进行“造表”的根据，把称为样本点即插值节点。②输出量是与对应的函数值。插值点能够是数值、向量或矩阵，与维数相似，其元素一一对应。③用单引号界定的method有4种参数可供选择：nearest近来插值——用直角折线连接各样本点。linear线性插值——用直线依次连接各样本点，形成折线。省略'method'时，即默认为此项。pchip(或cubic)分段三次插值——用分段三次多项式Hermite插值曲线，依次连接相邻样本点，整体上含有函数及其一阶导数持续性。spline三次样条插值——用分段三次多项式曲线光滑地连接相邻样本点，整体上含有函数、一阶和二阶导数持续性，插值点能够在区间[]外的附近取值，能够是数值、向量或矩阵，与同维。这个命令并不输出插值多项式函数，只输出插值点上的函数值。这就相称于根据数据对“造表”，然后查出对应用于的函数值，因此又称为查表指令。【例1-8】在区间[0，10]画出的曲线，取插值节点和节点处的函数值，作分段线性插值，并画出对应的折线图，将两图形绘在一张图上。解：编辑窗口输入下列命令：x=0:10;y=sin(x);xi=0:0.5:10;yi=interp1(x,y,xi,'linear')t=0:0.001:10；z=sin(t);plot(x,y,'ro',xi,yi,t,z,'linewidth',2);legend('插值节点','线性插值','sinx')执行命令后得如图1-5所示图形图1-5分段线性插值图形显示【例7-9】已知，用interp1函数'linear'办法求的近似值。解：在命令窗口输入：>>x=[14916];y=[1234];>>xi=11;>>yi=interp1(x,y,xi,'linear')回车得到：yi=3.28571.5.2龙格现象与分段插值仅从截断误差公式来看，用插值多项式近似替代函数时，似乎分点数越多，插值多项式的次数越高，产生的截断的误差就越小，事实上并非如此。龙格证明（称龙格现象），高次插值多项式并不一定都能收敛到被插值的函数上，并且还增加了许多工作量。例如，将函数用10次插值多项式函数替代时，高次插值多项式并不抱负，这可从图1-6看出。图中实线是函数的曲线，虚线是用拉格朗日插值多项式函数画的，即使多项式插值函数都过了样本点。点线是线性插值，实线是函数的曲线。能够证明，当节点无限加密时，Lagrange插值多项式也只能在很小范畴内收敛。这一现象称为龙格现象，它表明通过增加节点来提高逼近程度是不适宜的。因而普通不采用高次多项式插值。1-6Runge现象【例1-】在Runge给出的等距节点插值多项式不收敛的例子中，函数为在[-5,-5]区间以0.1为步长分别进行Lagrange插值和分段线性插值，比较两种插值成果。解clear;x=[-5:1:5];y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.1:5];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);y2=interp1(x,y,x0)plot(x,y,'ro','linewidth',2)holdon;plot(x0,y0,'--','linewidth',2);holdon;plot(x0,y1,'linewidth',2);holdonplot(x0,y2,'r:','linewidth',2);legend('插值节点','拉格朗日插值','1/(1+x^2)','线性插值')程序运行成果如图1-6所示。从图中能够看出，Lagrange插值的虚线已经严重偏离了原函数的实线，而分段线性插值出的点线是收敛的。直观上容易想像，如果不用多项式曲线，而是将曲线的两个相邻的点用线段连接（见1-7图），这样得到的折线必然能较好地近似曲线。并且只要持续，节点越密，近似程度越好。由此得到启发，为提高精度，在加密节点时，能够把节点分成若干段，分段用低次多项式近似函数，这就是分段插值的思想。用折线近似曲线，相称于分段用线性插值，称为分段线性插值。图1-7分段线性插值设在区间上给定个节点及节点上的函数值，作为一种插值函数，使其满足（1）；（2）在每个社区间上，是线性插值函数。称函数为上有关数据的分段线性插值函数。由Lagrange线性插值公式容易写出的分段体现式（1）也能够通过构造基函数的办法来求。首先构造一组基函数，每个满足。（1）；（2）在每个社区间上是线性函数。这组函数称为分段线性插值函数。可直接写出的体现式以下：类似于Lagrange插值多项式的构造，函数就是所求的分段插值函数。它与式（1）表达同一种函数。【例1-7】已知函数，在上取等距节点。求分段线性插值函数，并由此计算的近似值。解节点处函数值以下表0123451.000000.500000.00.100000.058820.03846由式1，在区间上分段线性插值函数为将代入，得与精确值比较，成果是比较令人满意的。分段线性插值的误差预计以下。定理1如果在上二阶持续可微，则分段线性插值函数的余项有下列预计其中。证明由于在每个社区间上，是的线性插值，由余项定理，对任意有又由于因而于是因此，对任意，都有分段线性插值简便易行，定理还表明，当节点加密时，分段线性插值误差变小，收敛性有确保。另首先，在分段线性插值中，每个社区间上的插值函数只依赖于本段的节点值，因而每个节点只影响到节点邻近的一、二个社区间，计算过程中数据误差基本上不扩大，从而确保了节点数据增加时插值过程的稳定性。但分段线性插值函数仅在上持续，普通地，在节点处插值函数不可微，这就不能满足有些工程