《高等应用数学》课程标准

《高等应用数学》课程标准【课程名称】高等应用数学 【课程编码】【课程类别】公共课 【适用专业】各类专业【授课单位】 【总学时】52【教材】曾慧平、熊文耀、喻璟，《高等应用数学》，上海交大出版社，2022年11月【编写执笔人】 【编写日期】一、课程定位和课程设计1.1课程性质与作用1．课程性质本课程是高职院校各类专业的基础课程，通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。2．课程作用通过本课程的学习，学生基本了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。掌握微积分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地应用微积分学的思想方法解决应用问题。1.2课程设计思路本课程的特点是理论性强，思想性强，与相关基础课及专业课联系较多，教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想，理解重要概念的思想本质，避免学生死记硬背。要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念结合起来，使学生体会到学习微积分的必要性。注重各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导）的有机联系,特别是强化作业与辅导环节，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力。教学中有计划有目的地向学生介绍学习数学与学习专业课之间的关系，学习高等数学是获取进一步学习机会的关键学科。由于学科特点，本课程教学应突出教师的中心地位，通过教师的努力，充分调动学生的学习兴趣。二、课程目标1．专业能力目标（1）理解函数的概念，掌握函数的性质；理解反函数、复合函数、分段函数的概念；掌握基本初等函数的性质和图像．（2）了解数列极限、函数极限的概念与性质．（3）了解无穷小和无穷大的概念、性质及其关系．（4）掌握极限的运算法则和求解方法．（5）掌握两个重要极限的应用和无穷小的比较方法．（6）理解函数连续的概念、几何意义；了解函数间断点的概念和类型；掌握连续函数的四则运算；了解常见函数的连续性；掌握闭区间上连续函数的性质．（7）理解导数的定义、几何意义；理解函数可导性与连续性的关系．（8）掌握函数的和、差、积、商的求导法则；掌握反函数的求导法则；掌握复合函数的求导法则；掌握基本初等函数的导数公式．（9）理解高阶导数的概念；会求二阶导数和n阶导数．（10）理解隐函数的概念，掌握隐函数的一般求导法与对数求导法；会求由参数方程所确定的函数的导数．（11）理解微分的概念、几何意义；掌握微分的求解方法；掌握微分在近似计算中的应用．（12）理解微分中值定理；掌握使用洛必达法则求极限的方法．（13）理解函数单调性和极值的概念；掌握求函数单调区间和极值的方法；掌握利用导数求解最大值、最小值的应用问题．（14）理解曲线凹凸性和拐点的概念，掌握凹凸区间和拐点的判定方法；理解三类曲线渐近线的概念，会描绘函数图形．（15）理解曲率的概念，熟练掌握曲率的计算公式．（16）理解原函数和不定积分的概念，了解不定积分的几何意义，熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积分的性质．（17）熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法，能求基本类型函数的不定积分．（18）理解定积分的概念、几何意义，了解定积分的性质．（19）理解积分上限函数的概念，会求其导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．（20）掌握定积分的换元积分法和分部积分法．（21）理解微元法的概念，掌握定积分在几何上的应用．（22）理解微分方程的概念，理解微分方程的阶和解的概念，掌握解微分方程的步骤．（23）掌握可分离变量的微分方程及其解法，掌握齐次型微分方程及其解法，掌握一阶线性微分方程及其解法．（24）掌握可降阶的二阶微分方程的解法，理解二阶线性微分方程的概念，理解二阶常系数齐次线性微分方程的通解结构定理及其解法，理解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构定理及其解法．（25）理解多元函数的定义和图形，理解二元函数的极限并掌握其运算法则，理解二元函数的连续性．（26）理解偏导数的概念，掌握一元函数及二元函数偏导数的求法，理解高阶偏导数的定义并掌握其求法．（27）理解全微分的概念并掌握其求法，掌握全微分在近似计算中的应用，掌握多元复合函数的求导法则，掌握隐函数的求导公式，会求多元函数的极值和最值．（28）理解二重积分的概念，了解二重积分的性质，掌握在直角坐标系和极坐标系中二重积分的计算方法，能够利用二重积分计算立体体积和曲面面积．2．方法能力目标（1）学生可独立进行工作计划实施，在一定时间范围内可以自行组织、安排自己的学习行为；（2）学生自己处理在项目中出现的问题；（3）能够灵活的将理论知识和实践技能结合在一起；（4）对已有知识与技能的应用，而且要求学生运用已有知识,在-定范围内学习新的知识技能，解决过去从未遇到过的实际问题；（5）具有一定的资料收集整理、制定、实施工作计划和自我学习的能力；（6）培养学生提出问题、独立分析问题、解决问题和技术创新的能力，使学生养成良好的思维习惯，掌握基本的思考与分析方法，以便在未来的工作中敢于创新、善于创新。3．素质（思政）目标教师在教学过程中要积极、善于挖掘课堂教学内容中所蕴含的课程思政元素，加强课程思政内容的学习，正确引导学生在学习高等数学课程内容的基础上树立正确的人生观、价值观，具有强烈的爱国主义热情，通过三年的学习把学生培养成既具有远大理想又具有高度社会责任感的新时代大学生，真正成为对社会对祖国有用的人才，为祖国的繁荣昌盛做出自己应有的贡献。课程思政教育内容：（1）深入社会实践、关注现实问题，弘扬主动探索、勇于发现的科学精神．（2）弘扬服务集体、团结协作的团队精神．（3）养成踏实细致、科学严谨、执着专注的学习态度．（4）提高逻辑思维、辩证思维和创新思维能力．（5）学会运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的．（6）弘扬实事求是、一丝不苟的科学精神．（7）培养数学素质，提高运算能力和数学建模能力．（8）培养观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力、数学思维能力．（9）养成良好的学习习惯、实事求是的科学态度．（10）弘扬主动探索、勇于发现的科学精神．（11）弘扬服务集体、团结协作的团队精神．（12）养成踏实细致、科学严谨、执着专注的学习态度．（13）提高观察能力和归纳能力，加强数形结合意识．（14）培养自主学习的良好习惯，加强数学知识运用于生活的意识．（15）弘扬科学严谨、执着专注、精益求精、追求卓越的工匠精神．（16）培养与他人合作交流的学习习惯．（17）培养数学建模思维，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去．（18）培养大局观，提升社会责任感和使命感．（19）培养科学精神和理性思维，提升科学素养．（20）养成踏实细致、科学严谨、执着专注的学习态度．课程思政融入方法：认真学习和领会课程思政工作的长期性、重要性，认真备课，在备好每一节课的过程中，认真挖掘每一节课内容中所包含的课程思政元素，加强同头课教师和思政课教师的联系与教研，认真学习党的各项路线、方针、政策，把党的各项政策恰到好处的融入到每节课的教学内容中。设计好每节课的教学环节，对涉及课程思政的教学内容要响锤重敲，使学生在获取专业知识的同时树立正确的人生观、价值观，主要以老师的讲解引导为主，必要时可组织学生讨论。课程课时分配表与教学要求课时分配表章序课程内容课时备注第一章函数与极限12第二章导数与微分8第三章导数的应用6第四章不定积分4第五章定积分6第六章微分方程5第七章多元函数微积分11合计52第一章函数与极限一、教学要求：1．掌握函数的概念及其几种特性（奇偶性、单调性、有界性、周期性）。2．理解复合函数的概念，了解反函数的概念。3．掌握基本初等函数的性质及其图象，了解初等函数的概念。4．理解数列、函数极限的概念。5．了解数列极限的性质及四则运算法则。6．掌握单调有界数列必有极限的准则。7．掌握函数极限的性质及四则运算法则，掌握利用两个重要的极限求有关的极限。8．理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较法，会用等价无穷小量代换求极限。9．理解函数连续性的概念，会判断函数的间断性及对间断点分类。10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，掌握这些性质的简单应用。二、重点：重点：初等函数的概念，数列极限与函数极限的概念，无穷小量的概念和性质，0/0、∞/∞、∞-∞型几种未定式极限的求法，利用两个重要极限求函数极限的方法，利用等价无穷小代换法求函数的极限，函数连续性的概念，求函数间断点的方法．第二章导数和微分一、教学要求:1．理解微分和导数的概念、关系和几何意义。会用导数描述一些物理量，理解函数的可微性和连续性的关系。2．熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数求导的链式法则，熟练掌握基本初等函数的求导公式、掌握反函数求导方法，隐函数求导方法和参数方程确定的函数的求导法，掌握对数求导法。3．理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。4．了解微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算和误差估计中的应用。5．掌握带皮亚诺余项和拉格朗日余项的泰勒公式，掌握麦克劳林公式。二、重点、难点：重点：导数的概念，可导与连续的关系，导数公式和求导法则，复合函数和隐函数的导数，复合函数的二阶导数，函数的导数与微分的关系，泰勒公式。难点：导数几何意义的应用，微分的几何意义，高阶导数与高阶微分，泰勒公式的应用。第三章导数的应用一、教学要求：1．理解并能应用罗尔定理，拉格朗日微分学中值定理，了解并会用柯西中值定理。2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。3．理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。4．掌握用导数判断函数的凸性和拐点的方法。5．了解根据函数的微分性质描绘函数图象的方法。二、重点、难点：重点：三个微分中值定理，特别是拉格朗日中值定理及推论1、2，函数单调性与凹凸性的判定，利用导数证明不等式与恒等式，不定式极限求法、函数的极值与最值的求法及应用。难点：未定式极限的计算，利用导数证明不等式与恒等式。第四章不定积分一、教学要求：1.理解原函数和不定积分的概念，了解不定积分的几何意义，熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积分的性质．2.熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法，能求基本类型函数的不定积分．二、重点、难点：重点：不定积分的概念，原函数与微积分基本原理，利用換元积分法与分部积分法求不定积分，常用的简单的有理函数、三角函数与无理根式的不定积分，定积分的计算。难点：有理函数的部分分式分解，无理根式的积分。第五章定积分一、教学要求：1.理解定积分的概念、几何意义，了解定积分的性质．2.理解积分上限函数的概念，会求其导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．3.掌握定积分的换元积分法和分部积分法．4.理解微元法的概念，掌握定积分在几何上的应用．二、重点、难点：重点：用定积分计算各种形式平面图形面积，已知截面面积函数求立体体积和旋转体的体积。难点：已知截面面积函数求立体体积和旋转体的体积，定积分在物理学、经济学中的应用。第六章微分方程一、教学要求：1.理解微分方程的概念，理解微分方程的阶和解的概念，掌握解微分方程的步骤．2.掌握可分离变量的微分方程及其解法，掌握齐次型微分方程及其解法，掌握一阶线性微分方程及其解法．3.掌握可降阶的二阶微分方程的解法，理解二阶线性微分方程的概念，理解二阶常系数齐次线性微分方程的通解结构定理及其解法，理解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构定理及其解法．二、重点、难点：重点：可降阶的二阶微分方程的解法，二阶线性微分方程的解，阶常系数齐次线性微分方程的通解结构定理及其解法。难点：二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构定理及其解法。第七章多元函数微分学一、教学要求：1.理解多元函数的定义和图形，理解二元函数的极限并掌握其运算法则，理解二元函数的连续性．2.理解偏导数的概念，掌握一元函数及二元函数偏导数的求法，理解高阶偏导数的定义并掌握其求法．3.理解全微分的概念并掌握其求法，掌握全微分在近似计算中的应用，掌握多元复合函数的求导法则，掌握隐函数的求导公式，会求多元函数的极值和最值．4.理解二重积分的概念，了解二重积分的性质，掌握在直角坐标系和极坐标系中二重积分的计算方法，能够利用二重积分计算立体体积和曲面面积．二、重点、难点：重点：邻域与区域的概念，二元函数的定义域，二元函数的偏导数及高阶偏导数的概念及求法（特别是利用链式法则求复合函数的偏导数），求隐函数的导数。难点：用拉格朗日乘数法解条件极值问题。四、课程实施4.1教学条件我校十分注重建设和完善本课程的教学设施，如多媒体教室、实验室、网络教学平台、网络数据库等。同时，我校有一支强大的师资队伍，可以为本课程的教学出谋划策。4.2教学方法建议本课程遵循“教师引导，学生为主”的原则，采用讲练结合法、多媒体演示、讨论、翻转课堂等多种方法，努力为学生创设更多知识应用的机会。（1）讲练结合法：主要用于讲授本课程的基础知识知识。（2）多媒体演示法：在讲解过程中，借助音频、视频、图片等直观手段来呈现教学内容，在激发其学习兴趣和积极性的同时，不断提高其知识储备能力和综合文化素质。（3）讨论法：根据知识点，鼓励学生运用所学知识进行主题讨论，使其在讨论中逐步提升交际能力、思辨能力、解决实际问题的能力等。（4）翻转课堂法：坚持学生的主体地位，鼓励学生在课上对自己学到的知识点进行分享和讲解，并对其讲解进行补充和评价，不断完善学生的知识结构，加深其对所学知识的理解。教师在教学过程中，可根据学生的实际情况灵活选用教学方法，因材施教，尽量照顾到每一个学生的学习需求。4.3教学评价与考核要求课程的教学评价由形成性测评（40%）和终结性测评（60%）组成，其考核要求如下：1．形成性测评形成性测评考核学生在学习本课程过程中的学习情况和实际应用能力的发展情况，包括出勤考核（10%）、课堂参与程度考核（10%）、作业完成质量考核（20%）等。（1）出勤考核：本项考核通过课前点名考核学生的课堂出勤率。迟到15分钟以内每次扣1分，迟到15分钟以上或无故缺勤一节课每次扣2分，该项考核累计最多扣10