2022-2023学年天津求真高级中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年天津求真高级中学高三数学理测试题含

解析

一、选择题：本大题共1（）小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.

W+—।

经过椭圆了十7二的右焦点任作弦4尻过4作椭圆右准线的垂线垂足为

M,则直线必经过

A.（2.0）B.朋C.（刈D.

朋

参考答案：

答案：B

2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知

C08C）=0,斫2,c=&,则C=

XXXX

A.12B.6c.4D.3

参考答案：

B

【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可

详解：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

VsinB+sinA(sinC-cosC)=0,

sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,

/.cosAsinC+sinAsinC=0,

VsinC#),

AcosA=一sinA,

・・tanA二-1,

x

・.・2<A<71,

3万

/.A=4,

c_a

由正弦定理可得嫉1|。一二4,

Va=2,c=72,

..@X立.

canA21

/.sinC=o=22,

Va>c,

x

/.C=6,

故选B.

点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，

正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦

定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说，当条件中同时出现n及尿、a2

时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理

将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

3.执行如图所示的程序框图，则输出的s值为（［x］表示不超过x的最大整数）（）

(A)4(B)5(C)7①)9

参考答案:

C

4.在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若

B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A,B两样本的下列数字特征对应相同

的是()

A.众数B.平均数C.中位数D.标准差

参考答案：

D

【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数.

【专题】概率与统计.

【分析】利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案.

【解答】解:A样本数据:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.

B样本数据84,86,86,88,88,88,90,90,90,90

众数分别为88,90,不相等，A错.

平均数86,88不相等，B错.

中位数分别为86,88,不相等，C错

1

A样本方差S'10[(82-86)2+2X(84-86)2+3X(86-86)2+4X(88-86)1=4,标

准差S=2,

1

B样本方差+=而［(84-88)*12+*B2X(86-88)2+3X(88-88)2+4X(90-88)1=4,标

准差S=2,D正确

故选D.

【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题.

2/=2

5.已知：°久均为正数，a厂”,则使a+bNc恒成立的c的取值范围是()

()

”(002.B.(°，“C.卜8,91D.卜叫司

参考答案：

A

6.定义在R的奇函数f(x)单调递增，且对任意实数a,b满足f(a)+f(b—l)=0,则a+b

参考答案：

1

略

7.抛物线町的准线与y轴交于点/,焦点为尸，点尸是抛物线C上的任意一

的

点，令1叩，当上取得最大值时，直线的斜率是()

A.1B.±1C.±2D.4

参考答案：

B

如图，抛物线上一点到焦点的距离等于抛物线上一点到准线的距离，根据抛物线的对称

.|肉_曰一1

性，所以设点P在第一象限网W立々^，当N2最小时，*最大，所以

当直线〃与抛物线相切时，4MB最小，设直线"：＞-2与抛物线方程联立，

1-出+16=0,A-64^-64=0,解得上=±1,故选B.

考点：抛物线的几何性质

【一题多解】本题主要考察了抛物线的几何性质，属于中档题型，抛物线有一条重要的性

质：抛物线上任意一点到焦点的距离和其到准线的距离相等，这样就将到焦点的距离转化

为到准线的距离，根据数形结合，可得本题就是求过点d的抛物线的切线的斜率，法一，

可以设直线，与抛物线联立方程，令A=0,求斜率，或者设切点同4•/•),根据

上程=/'■),求切点，再求切线的斜率.

8.下列关于由最小二乘法求出的回归直线方程丁=2-x的说法中，不正确的是

A.变量x与y正相关

B.该回归直线必过样本点中心

C.当x=l时，y的预报值为1

**

~yi)3

D.当残差平方和1"‘”越小时模型拟合的效果越好

参考答案：

A

略

9.若命题P：函数工的单调递增区间是口,+8),命题0函数7的单调递

增区间是［1,+00),则()

是真命题B.pv，是假命题

C.一*是真命题D.夕是真命题

参考答案：

D

【分析】

由二次函数的单调性可判断命题p为真，利用增+增为增结合函数的定义域可得增区间进

而知命题q为假命题，从而可得解.

【详解】命题P：函数，='-21的对称轴为工=1,且开口向上，所以在CU+«）上单调

递增，命题P为真；

IJ

命题公函数’一”"7的定义域为｛H*工崎，且，=工和‘一一7为增函数，所以函数

1

y'一，的增区间为和（°・+6）,所以命题“为假命题.

所以它是真命题.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了函数的单调性及复合命题的真假判断，注意区别在区间上单调递

增和增区间的区间，属于基础题.

10.设复数2=1+加小€"）且22=一3+4］，则宕的虚部为（）

A.-2B,-4C.2

D.4

参考答案：

A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.设命题P：若I工＞2,则工＜一2或x＞2.那么了的逆否命题为.

参考答案：

若-24则Ix区2

试题分析：原命题：若P,则不逆否命题为若rg♦口2-故原命题的逆否命题为若

243则1*2

考点：1、命题.

12.设mCR,过定点A的动直线x+my-1=0和过定点B的动直线mx-y-2m+3=0交于点P

(x,y),则|PA?|PB的最大值是.

参考答案：

5

【考点】点到直线的距离公式.

【专题】直线与圆.

【分析】由直线系方程求得两动直线所过定点坐标，且知道两直线垂直，则结合

|PA|2+|PB|2=|AB|2=10>2|PAIIPB|求得|PA|?PB|的最大值.

【解答】解：由题意可得：A(1,0),B(2,3),且两直线斜率之积等于-1,

直线x+my-1=0和直线mx-y-2m+3=0垂直，

则|PA1+|PB2=AB|2=10>2|PA||PB.

|PA|?|PB|W5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了直线系方程，考查了基本不等式的应用，是基础题.

13.已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积

d

・4

正视图侧视图

N

为_______cm：'.俯视图

参考答案：

20

【考点】L!：由三视图求面积、体积.

【分析】根据几何体的三视图知该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥,

结合图中数据求出它的体积.

【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是直三棱柱，

切去一个三棱锥，如图所示；

该几何体的体积为v=2X3X4X4-3X2X2X3X4=20cm:,.

故答案为：20.

14.设等比数列（%）满足公比ge旷，a”e#,且数列｛%＞中任意两项之积也是该数列的

一项.若/=2\则q的所有可能取值之和为.

参考答案：

22

15.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2,-I）,则它的离心率

为—.

参考答案：

逅

2

【考点】双曲线的简单性质.

【分析】利用已知条件列出关系式求解即可.

【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2,-1）,

可得2b-a=O,即4c2-4a2=a2,

可得4c2=5a2

V5

e=2.

逅

故答案为：2.

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.

16.函数y11tm0x(。>°)与直野相交于A,B两点，且内1最小值为方，则函数

/(x)=若sinox-cosox的单调增区间是.

参考答案：

(2*—.2E一孕)(&eZ)

17.(如图)一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点力为

端点的三条棱长都等于1,且它们彼此的夹角都是60',那么以这

个顶点为端点的晶体的对角线的长为▲。

参考答案：

瓜

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知函数/(4=*/+£*H+«:(其中0为自然对数的底，4〃ceR)的导函数

为广/U)

(1)当a=c=o时，讨论函数兀0在区间(0,+8)上零点的个数；

(2)设点的，/(0》，股砌是函数段)图象上两点，若对任意的JW>0,割线A8

的斜率都大于2,求实数。的取值范围.

参考答案:

解：（l）a=c=O时，由/（月二。="x,记x,

八0=/牛。

7,当0<x<l时，V8<0,当x>i时，g*W>0,所以当x=l时

g（©取得极小值c,

①当一6<。即b>Y时，函数/（X）在区间（Q2）上无零点；

②当一8=。即b=-«时，函数/（*）在区间（Q2）上有一个零点；

③当一&>e即8<-e时，函数/（*）在区间3刊9上有两个零点；

（2）/（巾二—.2Ar,

/O=e2*—c2*-owIftm±.=----------------------------=L.g"6m

224m

■)■m•3

依题意：对任意的.6(02),都有e・.~+”>e，.Qe，.彳

e"-e5_T®5♦-<®"7>0

，即24,

ty、g・—e，——/，(Bfi=c————JRE^♦—<mv

记*)=24,42

-、_・3；1；1

记贝产电57一L亍记心田通

贝产r■一产『51一标一

2162

所以・«0桢）时，「（"0递增，所以"可>.=彳'£”

①当彳2a~即“一G时，40>0,即#（司>0,所以在区间（。…）上单调

递增，所以*"）>*3=°,得到Y（"«）>°,从而入（"0在区间32）上单调递增，

所以ME）>M8=O恒成立；

lie】G11C

—f-a<0a<-_、vrflh=-♦-a<0

②当42即2时，因为.七Z（&A/町时，MzP递增，所以42

所以存在%>°,使得°<"»<。时，，（同<°即"1"）*：。，所以内❸在区间上

单调递减，所以°<w<q时，叙"0（我0）=°即、*（"•）<0,

所以0<"»<5时，*（»"）在区间（O.R上单调递减，所以o<w<xb时，

⑦=°,从而MM）>。不恒成立。综上：实数。的取值范围是."或

2

19.如图，设抛物线4：尸=4板册>°）的准线与X轴交于玛，焦点为玛；以玛、玛为

2

焦点，离心率5的椭圆三与抛物线G在x轴上方的交点为尸.

（1）当掰=1时，求椭圆G的方程；

（II）延长尸鸟交抛物线于点。，M是抛物线C1上一动点，且超在F与。之间运动，当

△F区玛的边长恰好是三个连续的自然数时，求&MFQ面积的最大值.

解：⑴当时，/'=4*,则用（T叽片①0）.

—X-+^-r-1(41>6>0)j

设椭圆方程为J*，则c/，又42,所以a=2,V=3.

所以G方程为丁二,+7乙“7

C1上+£.1

(II)因邢=用，*~a~2,则-3«?设椭圆方程为京"'京'

，kkL

1

由z=4mxF得37・。，

…生.2#p(2m2^m]

即0+6雨&-2初叫得'，=7代入抛物线方程得“"一rn,即【3,3人

|P^|«xf+m*—|尸“|=M-|F吊k城-也=里,|“耳卜2»1*%

3,333,

因为4对巴的边长恰好是三个连续的自然数，所以m・3.

此时抛物线方程为了'T2>,R2，W$,直线也方程为了=-2/3-3).

(7--2蕊(x-》

联立1/T2X,得2X'-13X+18・0,即(K-2X2X-9)=0.

即鸣叫

所以代入抛物线方程得加“城

.设到直线2的距离为打斗班,2阖

^LL__.^^.12

则7P54+130[/+2J2

.而，«7554

当2时，―3024,

...海2面积的最大值为渭畔,誓.

略

W—4-^-r=*(dt>b>0)

20.已知A、B、C是椭圆a2b2上的三点，其中点A的坐标为

C.0),BC过椭圆力的中心，且•为=0JBC121AC|

（1）求椭圆R的方程；

（2）过点力/①，）的直线/（斜率存在时）与椭圆加交于两

点P,Q,设D为椭圆加与y轴负半轴的交点,

且|~DF'\=\DQ\_求实数t的取值范围.

参考答案:

解（1）而|=2|而|且BC过（0,0）

则15?可而|又•.•而而=0

二NOCA=90・，BPC(V3,73)............2分

又二a=2力,设,〃：—+——~~r=1

1212-c2

将C点坐标代入得

1212-C2

解得c2=8,b2=4

2、2

二椭圆m：^-+^-=1...........5分

(2)由条件D(0,-2)-ZM(0,t)

1°当k=0时，显然一2<t<26分

2°当kwo时，设'y=^+i

卜=kX+l消y得

(1+Sk2)x3+6fax+3eJ-12=0.......8分

由△>()可得〃<4+1廿2①............9分

设依小乃).尸Q中点HgJ。)

再+勺如./

则021+3/0弋1+头2

——•………”分

pTDH±PQ\DP\=\DQ\：.OH±PQ即和责=-1

由I____________Ik

—^+21

上第一=-1化简得，=1+犷

-----0

.-.1+3/②

At>l将①代入②得l〈t<4

，t的范围是(1,4),综上te(-2,4)...........13分

21.已知函数f(x)=2asin3xcos3x+2j20sLi3x-(a>0,w>0)的最大值为2,

且最小正周期为n.

(I)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程;

4

(II)若f(a)=5,求sin(4a+6)的值.

参考答案：

考点：两角和与差的正弦函数；由丫=人5简(3X+。)的部分图象确定其解析式.

专题：三角函数的图像与性质.

分析：(I)根据条件函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和3的

值，即可求出函数的解析式和对称轴方程；

4K

(H)根据f(a)=3,利用余弦函数的倍角公式进行化简即可求sin(4a+6)的值.

解答：解：(I)f(x)=2asinuxcos«x+2V3cos2wx-

V3=asin2wx+V3cos2wx=Va2+3sin(2«x+<l))

Vf(x)的最小正周期为T=n

2打

，产〒2-

Vf(x)的最大值为2,

A7a2+3=2,

即a二土1,

Va>0,・・・a=L

71

即f(x)=2sin(2x+3).

nJr

由2x+3=2+kn,

KkJT

即x=12+2,(k£Z).

44

(II)由f(a)=3,得2sin(2a+3)=3,

n2

即sin(2a+3)=3,

nK_nnn

则sin(4a+6)=sin[2(2a+3)2]=-cos2(2a+3)=-l+2sin2(2a+3)=

2J.

-1+2X(3)2=-9.

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式是解决本题的

关键.同时也考查三角函数倍角公式的应用.

22.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作