2022年数学(百色专用)一轮复习专题特训7圆的综合

专题特训七圆的综合题型1切线的判定与性质及计算1．(2021·扬州中考)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E.(1)试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；(2)若AB＝2eq\r(3)，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．解：(1)CD与⊙B相切．理由：过点B作BF⊥CD，垂足为F.∴∠BFD＝∠BAD＝90°.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB.∴∠ADB＝∠CDB.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△FBD(AAS).∴BF＝BA，即BF为⊙B的半径．∴CD与⊙B相切；(2)∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等边三角形．∴∠CBD＝60°.∵AD∥BC，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝90°.∴∠ABD＝30°.∴AD＝AB·tan30°＝2.∴S阴影部分＝S△ABD－S扇形ABE＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2－eq\f(30π×（2\r(3)）2,360)＝2eq\r(3)－π.题型2圆与相似三角形的综合2．(2021·枣庄中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P.(1)求证：DP∥BC；(2)求证：△ABD∽△DCP；(3)当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．(1)证明：连接OD.∵DP是⊙O的切线，∴DO⊥DP.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC.∵BC是圆的直径，∴∠BAC＝90°.∴∠BAD＝45°.∴∠BOD＝2∠BAD＝90°.∴∠BOD＝∠ODP.∴DP∥BC；(2)证明：∵DP∥BC，∴∠ACB＝∠P.∵eq\x\to(AB)＝eq\x\to(AB)，∴∠ACB＝∠ADB.∴∠P＝∠ADB.∵OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠ODC＝∠OCD＝45°.∴∠CDP＝45°＝∠BAD.∴△ABD∽△DCP；(3)解：∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，∴BC＝13cm.∴OC＝OD＝eq\f(13,2)cm.在Rt△COD中，CD＝eq\r(OC2＋OD2)＝eq\f(13\r(2),2)cm.∵∠BOD＝∠DOC＝90°，∴BD＝CD＝eq\f(13\r(2),2)cm.∵△ABD∽△DCP，∴eq\f(AB,DC)＝eq\f(BD,CP).∴PC＝eq\f(BD·DC,AB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13\r(2),2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,5)＝eq\f(169,10)cm.3．(2021·营口中考)如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．(1)求证：AF＝AE；(2)若AB＝8，BC＝2，求AF的长．(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°.∴∠F＋∠DAF＝90°.∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°.∴∠F＋∠ABF＝90°.∴∠DAF＝∠ABF.∵，∴∠ABF＝∠CAD.∴∠DAF＝∠CAD.∵AD⊥EF，∴AF＝AE；(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(82－22)＝2eq\r(15).∵AF＝AE，∴∠AEF＝∠F.∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF.∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(CE,AF)，即eq\f(2,8)＝eq\f(CE,AF).∴CE＝eq\f(1,4)AF.∵AF＝AE，∴CE＝eq\f(1,4)AE.∵AE＋CE＝AC＝2eq\r(15)，∴AE＝eq\f(4,5)AC＝eq\f(8\r(15),5).∴AF＝AE＝eq\f(8\r(15),5).题型3圆与锐角三角函数的综合4．如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于点E，连接CO，CB.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)若AB＝10，tanB＝eq\f(1,2)，求PA的长．(1)证明：连接OD.∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，即∠PCD＋∠OCD＝90°.∵CD⊥AB，∴CE＝DE.∴PC＝PD.∴∠PDC＝∠PCD.∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠PDC＋∠ODC＝∠PCD＋∠OCD＝90°，即PD⊥OD.∴PD是⊙O的切线；(2)解：连接AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，OA＝OC＝5.∴tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,2).设AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得m2＋(2m)2＝102.∴m＝2eq\r(5).∴AC＝2eq\r(5)，BC＝4eq\r(5).∵S△ABC＝eq\f(1,2)CE·AB＝eq\f(1,2)AC·BC，即10CE＝2eq\r(5)×4eq\r(5)，∴CE＝4，BE＝8，AE＝2.∴OE＝OA－AE＝3.∵eq\f(OE,OC)＝cos∠COP＝eq\f(OC,OP)，∴OE·OP＝OC2，即3OP＝52.∴OP＝eq\f(25,3).∴PA＝OP－OA＝eq\f(25,3)－5＝eq\f(10,3).5．(2021·黄石中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E.(1)求证：BC∥OP；(2)若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16eq\r(3)，求阴影部分的面积；(3)若sin∠BAC＝eq\f(1,3)，且AD＝2eq\r(3)，求切线PA的长．(1)证明：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB.∵OA＝OB，∴OP⊥AB.∵AC是直径，∴∠ABC＝90°.∴BC⊥AB.∴BC∥OP；(2)解：∵OE＝DE，AB⊥OD，∴AO＝AD.∵OA＝OD，∴AD＝OA＝OD.∴△AOD是等边三角形．∴∠AOD＝60°.设OE＝m，则AE＝BE＝eq\r(3)m，OA＝2m，OP＝4m.∵四边形OAPB的面积是16eq\r(3)，∴eq\f(1,2)OP·AB＝16eq\r(3).∴eq\f(1,2)×4m×2eq\r(3)m＝16eq\r(3).∴m＝2或－2(舍去).∴OE＝2，AB＝4eq\r(3)，OA＝4.∵OD⊥AB，∴eq\x\to(AD)＝eq\x\to(BD).∴∠AOD＝∠BOD＝60°.∴∠AOB＝2∠AOD＝120°.∴S阴影部分＝S扇形OAB－S△AOB＝eq\f(120π×42,360)－eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2＝eq\f(16π,3)－4eq\r(3)；(3)解：在Rt△AOE中，sin∠CAB＝eq\f(OE,AO)＝eq\f(1,3)，∴设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝eq\r(OA2－OE2)＝eq\r(（3x）2－x2)＝2eq\r(2)x.在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，∴(2eq\r(3))2＝(2eq\r(2)x)2＋(2x)2.解