2022高考（课标全国卷）数学押题模拟卷02

2022高考（课标全国卷）押题模拟卷02

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自

己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（2021•福建莆田第九中学高三模考）已知复数，则复数z=-2i+'的共匏复数三在复

I

平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

3-z（3-iyi

【解析】因为复数z=-2i+——=—2i+1,'=—1-5"所以一=一1+535在复平面

i产

内对应的点坐标为（-1,5）,5在复平面内对应的点在第二象限，故选B.

2.（2021•浙江舟山高三调考）已知集合2={%|1<元<3},。={引2勺<4},则PDQ=

（）

A.1x|l<X<2|B.{x[2<x<3}C.1x|l<X<4|D.0

【答案】C

【解析】p={x[1<X<3},。={引2<y<4},PuQ={x[l<x<4}.

故选C.

2

3.（2020•山西省长治市第二中学高三期末）双曲线Y—2L=1的焦点到渐近线的距离是

4

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】由方程知。=1,。=2,°=77寿=石，双曲线的焦点为耳（右,0），6（-石,0），

2R

渐进线为2x-y=0,2x+y=0,£（石,0）到直线2x—y=0的距离为：d=-=2,

V1+22

由对称性知双曲线f—匕=1的焦点到渐近线的距离为2.故选A.

4

x+y-4>0

4.（2021•宁夏银川高三第二次调考）已知实数X,y满足约束条件2x-y-44o,则

x-y>0

z=工一的最小值为（）

x-1

44

A.-B.-C.2D.3

35

【答案】B

【解析】如下图所示，阴影部分为可行域，

8

-Y=

x+y—4=03/84、

结合图像，当取可行域内B点时，z取最小值，,八，-

2x—y—4=043J

y~3

--04

此时为点（1,0）与点3连线的斜率为•!一.故选B.

--15

3

5.（2021•江西南昌高考联合体高三质检）设a=In2,5=（百严,c=（&严，则下列

关系中正确的是（）

A.b>a>cB,c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【解析】Qa=ln2<lne=l,8=（行严>（正产=c>（血）°=1,

:,h>c>a.故选D.

6.（2021・广西百色高三第一次联考）执行如图所示的程序框图，则输出的，=（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【解析】第一次执行程序a=l+10=U,i=5；

第二次执行程序a=5+22=27,，=10：

第三次执行程序a=21+54=75,i=15；

第四次执行程序a=69+150>100,i=20,跳出循环输出i，

故输出的i=20.故选C.

7.(2021•东海县第二中学高三模考)已知函数〃x)=lnx+2f-4x,则函数的图

象在x=l处的切线方程为()

A.x-y+3=0B.x+y-3=0c.%—y-3=0D.x+y+3=0

【答案】c

【解析】•••/(x)=lnx+2x2—4x,/'(x)=，+4x—4,=又

X

/(1)=-2,.♦.所求切线方程为y-(-2)=%-1,即x-y-3=0.故选C.

8.(2020•黑龙江松北哈九中高三三模)《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书

是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在

左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一

数分别记为a,伍则满足|。一422的概率为()

0—0—0—0—0—0—0

【答案】C

【解析】若从阳数和阴数中各取一数分别记为a,b,由事件(。,切共有5x5=25个，

满足,一目<2的有.(1,2),(3,2),(3,4),(5,4),(5,6),(7,6),(7,8),(9,8),(9,10)共9个，记事

件6为满足|。一4<2的事件，则P(B)=2，.•.满足,一耳22的事件的概率为

-916

尸(8)=1-尸(8)=1——=—.故选C.

2525

9.(2021•河北邢台高三质检)人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变

化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到

2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯(T.R.MHMU5,

r,

1766—1834)提出的模型：y=y0-e,其中t表示经过的时间，均表示♦=()时的人口数，

r表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)

的全国总人口12.43亿人(不包括香港.澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上

报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增

长模型估计我国2020年末(不包括香港、澳门和台湾地区)的全国总人口数约为()

(13.332=177.6889，12.432=154.5049)

A.14.30亿B.15.20亿C.14.62亿D.15.72亿

【答案】A

1333

【解析】由马尔萨斯模型，得13.33=12.43/"，即/°'=亍浜，所以我国2020年末的全

12.43

国总人口数y=13.33/°'=旦旦=174688914.30(亿).故选A.

12.4312.43

10.(2021•应城市第一高级中学高三开学考试)将函数/(x)=2sin[cyx+?j(0>o)的图

TT

象向右平移后个单位长度,得到函数y=g(x)的图象.若尸g(x)在~~~上为增

函数，则。的最大值为()

c35

A.3B.2C.-D.-

一24

【答案】C

【解析】函数/(x)=2sin(s+?)®>0)的图象向右平移含个单位长度,

/、

7171

可得g(x)=2sin0)X--------+——=2sin的的图象.

IAcoJ4

W「乃乃]」式8J,71(0

当无£—时，----K---，

63J6<cox3

71(071CD

由于正弦函数y=sinx在％=0附近单调递增，且0wV5V

因为，函数y=g(x)在一7，5上为增函数，所以，一--

兀①71

-----7——

6-2

7777)7T33

所以，^―<-,解得OvgW—,因此,①的最大值为:•故选C.

3222

69>0

11.(2021•宁夏贺兰县景博中学高三一模)已知根€尺，若定义上可表示不超过用的最大整

数，如[一1.7]=-2,[-1]=一1,[0.6]=0,[1.6]=1.若/(x)=gsin2x+有cos2%一日,

xe0,y,则函数y=[/(x)]值域为()

A.[-1,2]B.[-1,1]C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1}

【答案】D

【解析】f(x)=3sin2x+Gcos2x—电=—sin2xd■—-cos2x=Gsin[2x+工],

v72222I6J

71717174w，丛，

当XE0,—时，2xd——G,「・sinI2x+^IG--1・•・/(x)e

26662'，2

二当-4,。]时，[/(%)]=-1；当〃x)«O,l)时，[/(x)]=0；

当时，[/(%)]=1；

；・丁=[/(x)]的值域为{-1,0,1}.故选D.

12.(2021•山东德州高三开学考试)如图，棱长为2的正方体ABC。-AA中，点E、

尸分别为A3、的中点，则三棱锥E-EC£>的外接球体积为()

41441a41741ij

A.---TVB.-7TC.---------71D.---------%【答案】D

436448

【解析】如图所示：在正方体ABCO—AgG〃中，连接尸G，F。，

三棱锥F-ECD的外接球即为三棱柱FC.D,-ECD的外接球，

在△£CD中，取。中点H,连接由，则即为边C。的垂直平分线，

所以△£1€!)的外心在即上，设为点M,同理可得△FG。的外心N,

连接MN,则三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点0,

由图可得，EM2=CM2=CH2+MH2>又MH=2-EM,CH=1,

可得所以OC?=MC>2+CM2=1+(9],解得oc=叵，

4⑷4

4(V41Y41标

所以V=—乃——=------.故选D

314J48

第II卷（非选择题）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

13.（2021•山东高三联考）设向量a=（2,〃?），否=（1,2,篦+1）,c=（2/〃,l）,若

则实数加=__________

【答案】1.

【解析】因为a-B=（1,-1）,伍-万）-L守，所以（a-B）?c2m-m-1=0＞得加=1.

14.（2021・湖南长郡中学高三质检）为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居

民某年的月均用水量（单位：吨），将该数据按照[0,0.5）,[0.5,1）,…[4.4.5]分成9

组，绘制了如图所示的频率分布直方图，政府要试行居民用水定额管理，制定了一个用水

量标准。，使85%的居民用水量不超过。（假设“为整数），按平价收水费，超出。的部分

按议价收费，则。的最小值为.

【答案】3吨

【解析】[0,05）的频数为0.08x0.5x100=4,[0.5,1）的频数为0.16x0.5x100=8,

[1.5,2）的频数为0.44x0.5x100=22,[2,2.5）的频数为0.5x0.5x100=25,

[2.5,3）的频数为0.28x0.5x100=4.[3,3.5）的频数为0.08x0.5x100=4,

[4,4.5）的频数为0.04x0.5x100=2,4+8+15+22+15+14=86,...前6组占86%,。为

3吨.

15.（2021•江西南昌八一中学高三一模）在三角形ABC中，|蝴=2,且角A、B、C满

Q71

足2sii?--------=—cos2（4+8）,三角形ABC的面积的最大值为M，则加=______.

242'7

【答案】旦

3

rC

【解析】8sin2y=2cos2（A+B）+7,BP8sin2-1-2cos2（A+B）-7=0,

H^/8sin2——2cos2（A+B）=8---------------2cos2（乃—C）

=4-4cosC-2cos2C=4-4cosC-2（2cos2C-l）=-4cos2C-4cosC+6,

124

即4cos2C+4cosc+1=0，解得cosC=-二，・.・0＜。＜"，所以C=〈，

23

设。、b、。分别为角A、B、。的对边，

由余弦定理得/=/+6_2abcosC，即4=/+〃+.

4

又因为4="+）2+4匕22〃7+/7=3。），即当且仅当〃=6时等号成立.

所以三角形ABC的面积S=LabsinC=X3ab4走=M.

243

三、解答题（共70分）

17.（2021•天津高三期末）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足

asinA=4/?sinB,ac-＞/3（a2-Z?2-c2）.

（1）求cosA的值；

（2）求sin（2B+A）的值.

【解析】（1）由asinA=4）sin3以及正弦定理可得/=4/，得a=2b,

,,,,,222ac2bc

由ac=Gr（&--/r一小）得。+c-a=一耳=一"五,

所以三巨=一堂’所以c°sA=一走

（2）由cosA=-3■得sinA

3

由6/sinA=4/?sinB得sinB

4b26

又A为钝角，所以3为锐角，所以cos3=Jl—sin2B=

所以sin2B-2sinBcosB=2xx2^2._2^,cos28=2cos2B-l=2x

663

2

3

亚（下2底276-715

所以sin（28+A）----x------4■—x=---------------

313J339

18.(2021•天津高三第三次调研)已知三棱柱A3C-A4G，A4,，平面ABC,

ZBAC=90°,AA,=AB=AC=1.

(1)求异面直线AG与aB所成的角；

(2)求二面角A-5G-A的正弦值；

(3)设M为AB的中点，在△ABC的内部或边上是否存在一点N,使得MN，平面ABG?

若存在，确定点N的位置，若不存在，说明理由.

【解析】因为A4,，平面ABC,/BAC=90°

如图，以4g为x轴，AG为丁轴，4A为z轴建立空间直角坐标系：

因为A4,=A8=AC=1,所以A(0,0,0),B,(1,0,0),q(0,1,0),

A(0,0,D，5(1,0,1),C(0,1,1),

（1）同=（0,1,-1）,“=（1,0,1）

M而，乖>=磊篝^一：

所以异面直线AC与所成的角为60。.

（2）设平面ABG的法向量为和=（%,y,Z1）

-n=0乂-4=0

2=>

・4=0-xI+y1-z,=0

玉=0,不妨令4=l,y=l,则平面ABC；的一个法向量为工=（0,1,1）

设平面5GA的法向量为32=（%,为，Z2），

%=0x2+z2=0

n

n2=0-x2+y2-z2=0

>2=0，不妨令X2=l,z2=-1,

则平面5GA的一个法向量为和=（1,0,-1）.

—--n.•%—1

cos<ny>=—1上=—

1«,11«212

从而sin<］，Z>=3，所以二面角A-bG-A的正弦值为且.

22

（3）假设在平面A8C的边上或内部存在一点N（x,y,l）,

—.11

因为〃为48的中点，43=（1,0,1）,所以"（5,03），

所以丽=（*一3，只），又阳=（o,i,-i）,西=（-i,i,-i）

•丽=0一11

2,所以N（5，E，D

•丽=0

且丽e所以N是的中点.

2

故存在点N,N为BC的中点，满足条件.

19.（2021•陕西西北工业大学附属中学高三质检）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速

流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企

业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们

的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方

图如图所示.

帆m

0(M

00.1

()015

46X101214161820少数/「少

（1）求这300名员工日行步数x（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中

点值为代表，结果保留整数）；

（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数J（单位：千步）服从正态分布N（〃,b2）,

其中〃为样本平均数，标准差b的近似值为2,求该企业被抽取的300名员工中日行步数

Jw（14,18］的人数;

（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万

步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给

予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励

金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人

200元.求工会慰问奖励金额X（单位：元）的分布列和数学期望.

附：若随机变量J服从正态分布N（〃,b2）,则P（〃-b<0«〃+b）a（）.6827,

P（N-2cr<^<//+2cr）«0.9545,P（〃一3b<&V〃+3cr）»0.9973.

【解析】（1）由题意有嚏=0.005x2x5+0.005x2x7+0.04x2x9+0.29x2x11+

0.11x2x13+0.03x2x15+0.015x2x17+0.005x2x19=11.68«12（千步）

（2）由』〜N（〃,b2）,由（1）得J~N（12,22）,所以

P（14<”18）=P（12+2<J412+3x2）=][P（6<W8）-P（10<W4）]

a<(0.9973—0.6827)=0.1573,

所以300名员工中日行步数Je(14』8]的人数：300x0.1573=47.

(3)由频率分布直方图可知：

每人获得奖金额为0元的概率为：0.005x2x2=0.02.

每人获得奖金额为100元的概率为：(0.04+0.29X).11)x2=0.88

每人获得奖金额为200元的概率为：().1

X的取值为0，100,200,300,400.

p(x=0)=0.022=0.0004；

P(X=10())=^x0.02x0.88=0.0352；

P(X=200)=C；x0.02xO.1+O.882=0.7784；

P(X=3OO)=CjxO.lxO.88=O.176;

2

P(X=4(X))=0.1=0.01;

所以X的分布列为：

X0100200300400

P0.00040.03520.77840.1760.01

E（X）=0xO.（XXM+1（X）x0.0352+2（X）x（）.7784+300x0.176+400x0.01=216（元）

22

20.（2021.山东枣庄高考联合体模考）已知长轴长为4的椭圆二+\=1（0>8>0）过

a2b2

点P:一,1,点尸是椭圆的右焦点.

(1)求椭圆方程；

(2)是否存在x轴上的定点O,使得过。的直线/交椭圆于A,B两点.设点E为点B关

于x轴的对称点，且A,F,E三点共线？若存在，求出。点坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)由题意知2a=4,所以a=2.

2201

把点P的坐标代入二+与=1,得一+言=1,

4b23b2

解得攵=3.

22

所以椭圆方程为工+二=1.

43

(2)存在定点。满足条件.设。(/,0),A(xi,%),B(及,”).则E(及，一”),

x=my+t

设直线/的方程为X=S)，+f,联立(炉,2

143

消去x,得(3/n2+4)y+6，wy+3产-12=0,

-6mt

y+%

3m2+4

所以，且/>0.

3产-12

3m2+4

所以厚=(必一1，—72),FA=(M—1，yi)，

则由A,F,E三点共线，得(及—1))"+(X|—1)丁2=0,

即(a1)yi+{my\+t-\)玖=0,即2m)”2+(f—1)(》+》)=0,

c3?-12,八-6mt八

所以2次-------+(zr-1)----、---=0,

3m2+43疗+4

解得才=4,所以存在定点。(4,0)满足条件.

21.(2020•安徽蒙城高三一模)已知函数〃x)=普,g(x)=a(x-l).

(1)若函数y=〃x)与y=g(x)的图象恰好相切与点P(l,0),求实数。的值;

(2)当xe[l,+8)时，/(x)Wg(x)恒成立，求实数。的取值范围；

“4/

(3)求证：ln(2"+l)4ZTT_7(〃eN+).

£4/一1

【解析】(1)/⑺/(1)=；.所以a=；.

(x+1)22

(2)方法一：(分参)

xlnx

即XN1时，—<«(x-l),X=1时，显然成立；

X+1\)

口r、xlnx

X>1时,即4之二——

厂一1

令g)=罟，则〃'⑴=(山+，：:广山-一22

令放(x)=_f1nx+12―山―],

“(x)=-2x\wc+x-士0”(九)=-21RX—1+J=-2\nx+

7-1<0,

=即“(X)<O,.•.〃(%)在(l,+8)上单调递减,

x\wclnr+1

/.a>lim=lim故

Ix2-Ix->12x22

方法二：(先找必要条件)

注意到x=l时，恰有/(x)-g(x)=0,

令F(x)=〃x)_g(x)=^^_a(x_l),

✓V।1

(lnx+l)(x4-l)-xlnxx+1+lnx

则F(x)=-U-------z---d

(“+1)2(x+l)一

F(x)W0在［1,+8)恒成立的必要条件为F(l)<o)

21

即---a<0,.二a之一，

42

一kin、,，、1L□/\xlnx/八/xlnx1n，/

下面证明：当a2—时，F(x)=-----tz(x-l)<-------(zx-1)=〃(.

2x+1x+12

,zx_x+1+lnx1_2x+2+21rix-(x+l)2

z3=(x+l)2-2=2(x+iy，

令。(%)=2工+2+2向一(％+1)~,

</>'(x)=2+--2(x+1)=--2x=2^X^<0>即0(x)W0⑴=0,

XXX

.,/(x)在［1,4W)递减，

.•.〃(6<刈1)=0恒成立，即a也是充分条件，故有/g.

(3)不妨设S“=ln(2〃+1)为｛4｝前〃项和，则a,=In件二，

2n—1

9n+14)7

要证原不等式，只需证In^一,

2〃-14〃2—1

而由⑵知：当a时恒有/(x)Wg(x),

即xlnx<g(x2—1)当且仅当％=1时取等号，

2n+l2n+l,2n+l

取》=>1,则-----In------<—

2n-l2n-\2/1-12

2n+l.2n+l18n.2n+l4n2n-l

gn-----In------<----------7gnIn-----<-------y------

即2〃-12/7-12（2〃-1）2n-l（2/7-1）2”+1'

2nd-14〃

即In-----■成立，从而原不等式获证.

2n-14〃~一1

选做题

22.1选修4-4极坐标与参数方程】

（2021届湘赣十四校高三第一次联考）在平面直角坐标系xOy中，直线£:x+y-l=0,曲

X—acos（o.

线”（。为参数，a>0）,以坐标原点0为极点，以x轴正半轴为极轴，