2022高一数学尖子生同步培优题专题2 .2 直线、平面平行的判定及其性质

专题2.2直线、平面平行的判定及其性质

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注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自

己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（2020・朝阳吉林省实验高一期末）过三棱柱ABC—4为G的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB^

平行的直线共有（）

A.4条B.6条C.8条D.12条

【答案】B

【解析】如图所示，取，，G,凡/分别为AG，4C1，3C，AC的中点，由面面平行的判定定理，可得平面

”GF///平面ABBJA可得符合条件的直线只能出现在平面，GF/中，即尸/,FG,GH,HI,HF,G/符

合题意，共有6条直线.故选B.

2.（2020•安徽金安六安一中）如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,。为所在

棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面不平行的是（）

【答案】A

【解析】对于B项，如图所示，连接CO,因为AB〃CZ）,M,。分别是所在棱的中点，所以MQ〃C。，所

以A8〃MQ,又ABC平面MNQ,MQu平面MNQ,所以A8〃平面MNQ,同理可证，C,D项中均有45〃

平面故选：A.

3.三棱锥S—ABC中，G为AABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES,则EG与平面SBC的位置关

系为（）

A.EG在平面SBC内B.EG在平面SBC外

C.EG与平面SBC相交D.EG与平面SBC平行

【答案】D

【解析】如图,

AGAF

延长AG交BC于点尸，连接"，因为G为AABC的重心，所以一？=2,又笠=2,

GFES

EG//SF-：SFu平面SBC,EGU平面SBC,EG//平面SBC.

4.（2020•山东滕州市第一中学新校高一月考）如图，E是棱长为1正方体ABC。-的棱G。上

的一点，且8。"平面gCE,则线段CE的长度为（）

A.—B.—

23

【答案】A

【解析】

连接BG，交8c与。，连接E0,则。为BG的中点，因为平面4CE,平面，BC,平

面2BCc平面与CE=OE，所以。故七为"G的中点，所以EG=g，在放AEG。中，

CE="C；+EC；=6=冬

5.（2020•河北省隆化存瑞中学高一期末）如图，直三棱柱ABC-4B|G中，底面三角形4片£是正三角

形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）

A.CG与旦E是异面直线B.ACHEB、

C.AE,4G为异面直线，且AEJ.B|GD.4G〃平面

【答案】C

【解析】对于A项，CG与B|E在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A错；对于B项，由题意知AC与

EB1为异面直线，所以8错；对于C项，因为AE，4G为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它

们是异面直线，由底面1G是正三角形，E是BC中点，根据等腰三角形三线合一可知AE_LBC,结合

棱柱性质可知4CJ/BC,则耳G，所以C正确；对于。项，因为4a所在的平面与平面AgE相

交，且4G与交线有公共点，故AG//平面不正确，所以。项不正确.

6.（2020・湖南岳阳楼岳阳一中）下列四个正方体图形中，A，3为正方体的两个顶点，M，N,P分别

为其所在棱的中点，能得出A5//平面M7VP的图形的序号是（)

A.①③

【答案】C

【解析】对于①，连接AC如图所示，由于A/N//ACNP//BC,根据面面平行的性质定理可知平面

M/VP//平面ACB,所以A3〃平面

对于②，连接3C交MP于。，由于N是AC的中点，。不是BC的中点，所以在平面A8C内AB与DN

相交，所以直线A8与平面MNP相交.

对于③，连接CD,则AB//CD，而CDUPN相交，即CD与平面9V相交，所以AB与平面MNP相

交.

B

对于④，连接C£>,则AB//CD//NP,由线面平行的判定定理可知A5//平面跖VP.

综上所述，能得出A5//平面MNP的图形的序号是①④.故选：C

DEDF1

7.如图，四棱柱A28-A阳GG中,AB8为平行四边形,分别在线段。5,。功上，且商=可二万,

CG

G在CG上且平面AEF〃平面BDG,则记=()

【答案】B

DEDF1

【解析】：四棱柱ABC。-48C9中,488为平行四边形,E,尸分别在线段。8,0。上，且言■=-=-

EBFD12

：.EF//BD{,平面AOQAi〃平面8CGB1，：G在CG匕且平面AEF〃平面BAG,.,.AF//BG,

CGDE\

cq-DD^-3

8.(2020.山东芝呆烟台二中高一期末)我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍薨”(chumeng)是指

底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDER是一个刍薨，其中ABCE是正三角形，

AB=2BC=2EF,则以下两个结论：@AB//EF；②BFLED，()

A.①和②都不成立B.①成立，但②不成立

C.①不成立，但②成立D.①和②都成立

【答案】B

【解析】•:ABI/CD，CD在平面COE尸内，A8不在平面COE尸内，.•.他//平面CDE尸，又EF在平面

8"■内，由A3在平面ABFE内，且平面ABFEfl平面CDEF=£b,••.A3//EF,故①对；如图，取

CO中点G,连接8G,FG,由AB=C£>=2ER易知。E//GF,且OE=GF,不妨设EF=1,贝U

BG=6BC=4IEF=近,

假设BF1ED,则BF2+FG2=BG2，即1+FG2=2，即尸G=1,但尸G的长度不定，故假设不一定成立,

即②不一定成立.故选：B.

9.如图，在正方体ABCD—A4G。中，M,N、P分别是GA，BC,4。的中点，则下列命题正确的是

()

A.MN//APB.MN//BD[

C.MN//平面BBiRDD.MN//平面BDP

【答案】C

【解析】A：MN和AP是异面直线，故选项不正确；B：MN和BQ是异面直线，故选项不正确;

C：记ACDBD=O.*.•正方体ABCD-AIBICIDI中，M,N分别CiD”BC是的中点，.•.ON〃D|M〃CD,

ON=D,M=-CD,，MNODi为平行四边形，.•.MN〃OD”：MNC平面BDQ,OD|U平面BDQ,

2

；.MN〃平面BDQ.D：由C知MN//平面而面84。。和面8£>P相交，故选项不正确;

10.（2020.山东薛城枣庄八中高一）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如

图，在正方体A8CD-A山Ci。中，点E、尸分别是棱8由、BC中点，点G是棱CG的中点，则过线段AG

且平行于平面A|E/7的截面图形为（）

A.矩形B.三角形C.正方形D.等腰梯形

【答案】D

【解析】取BC的中点H,如图连接A”、GH、RG、AD,,由题意得：GH//EF,AH//A.F,

•.•6”不在平面4石/内，EFq平面AEb内，，G”||平面不在平面AEP内，人尸三平

面4"内，平面，6〃,4"1平面人"64，，平面4”6〃//平面46/，

过线段AG且平行于平面AEF的截面图形为等腰梯形AHGR.

11.（2020.天水市第一中学）在长方体45。。—4462中，DA=DC=1,=2,分别在对角线为。,

CQ上取点”，M使得直线肱V//平面AACG，则线段"N长的最小值为（）

A.-B.-C.—D.2

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【答案】B

【解析】作于点作NN|_LCO于点M，

,・,线段MN平行于对角面ACG4，陷乂//AC.设。M[=DV]=x,则MM】=2x,AW,=2-2x,

在直角梯形MNNM中，MN2=（0x）2+（2-4x）2=18（x-^）2当x=[时,MN的最小值为1.

12.（2020•黑龙江爱民牡丹江一中高一月考）点M,N分别是棱长为2的正方体ABCO-AgGQ中棱3C,

CG的中点，动点P在正方形BCG片（包括边界）内运动.若PAJ/面AMN,则PA的长度范围是（）

A.[2,小]D.[2,3]

【答案】B

【解析】取4G，8石中点£,F，连接4E、A/.则AE〃4W.E/〃MN.又因为=

所以平面4EF〃平面AMN.又因为动点P在正方形BCGg（包括边界）内运动，所以点尸的轨迹为线段

EF.又因为正方体ABC。—44G3的棱长为2,所以4石=4尸=右，EF=&.所以A4EF为等腰

三角形.故当点尸在点E或者尸在点尸处时，此时PA最大，最大值为当点尸为EF中点时，PAt最小,

最小值为J（6）2一（,）2=呼

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13.如图，在正方体ABCO-ABCI。中，E，F，G,“分别是棱CG，CR,D,D,CO的中点，

N是BC的中点，点M在四边形EEG”上及其内部运动，则M满足条件时，有MN〃平面

B]BDD.

【答案】MwFH

【解析】

连接HN、FH、BD,因为CH=HD,BN=CN,所以HN//BD.正方形CDD£中,因为

D\FHDH,D\F=DH,故四边形RFHO为平行四边形，所以FH//QD,又

NHcFH=H,DBcD、D=D,HN,FHu平面FHN,DB,RDu平面B^BDR,；.平面FHN〃平面

用BO。」.•点M在四边形EEGH上及其内部运动且MN〃平面旦8。。,：.M^FH.

14.已知直线/与平面a,夕，/依次交于点A，B,C,直线机与平面a,夕，/依次交于点。，E,

F，若a//〃〃/,AB=EF=3,BC=4,则OE=.

9

【答案】-

4

【解析】

连接CD交平面〃于G，连接EG,BG,AD,Cr，设/与CD确定平面外,因为a=A。，月0%=BG,

且。//4，所以AO〃BG,所以丝=型，同理可得，GE//CF,DGDF,ABDE

——=——，所rri以——=——

BCGCGCEFBCEF

所以。七=迫变=少9=2,故答案为2.

BC444

15.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面a平行，且四边形A8C0在平面a内的平行投影

A是一个平行四边形，则四边形A3CO的形状一定是

【答案】平行四边形

【解析】

•平面ABCD〃a,平面A4iS8na=48i,平面A4|B|8C平面A8CO=AB,：.AB//A\B\,

同理CD〃CQi,又48i〃G£>”J.AB//CD,同理可证4£）〃8C,，四边形A8CD是平行四边形.

16.（2020•进贤县第一中学）如图在四面体4腼中，若截面必砌V是正方形，则在下列命题中正确的有

.（填上所有正确命题的序号）

@ACLBD,©AC=BD,③AC//截面制加％④异面直线用/与勿所成的角为45°.

［答案］①③©

【解析】在四面体ABCO中，•.•截面PQMN是正方形，.•.PQ//MN,PQz平面AC。，MNu平面

AC。，...PQ〃平面AQD.•.•平面ACBc平面AC0=AC，，PQ//AC,可得AC//平面PQMN.

同理可得B。//平面PQMN,BD//PN.-：PNLPQ,.-.AC1BD.由BD//PN,/MPN是异

PNANMNDN

面直线PM与5。所成的角，且为45。.由上面可知：BD//PN,PQ//AC.——=——，——=——，

BDADACAD

而AN彳DN，PN=M/V，.•.BDHAC.综上可知：①③④都正确.故答案为①③④.

三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤）

17.（2020.武汉外国语学校高一月考）如图，在三棱柱ABC-AgG中，M，N分别是线段4B,4G的

中点.

（1）求证：MN〃平面ABC；

（2）是否在线段BG上存在一点P使得平面MNP〃平面ABC,若存在指出。具体位置；若不存在请说明

理由.

【答案】（1）证明见解析（2）存在，尸为BG的中点.

【解析】（1）连接A。，则N也为4。的中点,

因为M为48的中点，所以MN为△ABC的中位线，所以MN//BC，又M/Vz平面ABC,BCu平

面ABC,所以MN〃平面ABC.

（2）存在，P为BG的中点时，平面仞VP〃平面ABC,证明：连PM，PN,

因为N为AG的中点，尸为BG的中点，所以PN//AB,又尸N（Z平面ABC,ABI平面ABC,

所以PN//平面ABC，又由（1）知MN〃平面A8C，且MNcPN=N,所以平面MNP〃平面ABC.

18.（2020•江苏省如东高级中学高一期中）如图在长方体ABC。—44G2中，E,尸分别为BC,CC,

的中点，AB=AD=2,A4,=3.

（1）证明：EF〃平面AA£>n；

（2）求直线AG与平面4ADD1所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）竺7.

17

【解析】（1）连接BG，由E，F分别为BC,CG的中点，可得EF//BC],在长方体ABC。—A4G。

中，ABgD、,AB=G2，因此四边形ABGA为平行四边形，所以8CJ/AA，所以EF//AD1,

EE2平面AA。。，ARu平面AAO〃，所以砂〃平面AADD1；

（2）在长方体ABC。-A4G〃，连接A。，因为G。，平面AADD1,所以A£在平面AA。。中的

射影为A9,所以NGAA为直线AG与平面4AOA所成角，由题意知：AC,=722+22+32=717.

在中，sin/GA"=0a=2=2叵，即直线A4与平面4皿＞1所成角的正弦值为2叵

AC,V171717

19.（2020•安徽金安六安一中高一）已知正方体A5C。一的棱长为1，如图所示.

（1）求证：平面A8Q〃平面£8。；

（2）试找出体对角线AC与平面Ag"和平面G8。的交点E，F，求E尸.

【答案】（1）证明见解析；（2）EF=—.

3

【解析】（1）在正方体ABCD-ABGAH」，ADHB\G，AO=B|G，所以四边形AgG。是平行四边形

所以ABJ/C\D,又C\Du平面C&D,AB1口平面G8。，所以ABJ/平面QBD，同理B.D,//平面CXBD

又ABJBQ]=Bi，AB|U平面耳。u平面AaR,所以平面ABQ〃平面；

（2）如图，连接AG，交耳A于点。I，连接A«,与4c交于点E,

因为AQu平面ABR,所以点E也在平面AB,D,内，所以点E就是A。与平面ABR的交点,

同理，连接AC,交BD于点0,连接G。，与AC交于点尸，则点F就是A。与平面GBO的交点,

下面证明4七=EF=FC,

因为平