2022-2023学年上海市宝山区九年级上学期数学期中考试卷含详解

2022学年第一学期混合式教学适应性练习九年级数学卷

考生注意：

1.本试卷共25题.

2.试卷满分150分.考试时间100分钟.

3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一

律无效.

4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或

计算的主要步骤.

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有只

有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.下列各组图形中，一定相似的是（）

A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个等腰梯形

2.在平面直角坐标系工作中，已知点3）与原点。的连线与x轴的正半轴的夹角为

二（0。<0<900）,那么cosa的值是（）

A.3B.-C.D.也

31010

3.在RtAABC中，NC=90；如果NA=a,AB=m,那么线段AC的长可表示为（）.

A.m-sina；B.mcosa；C.m-tancr；D.mcotcr.

4.已知a、B、乙都是非零向量，下列条件中，不能判断的是（）

A.同=卜|B.a^3bc.a//c,bileD.a=2c,b=-2c

5.已知三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,无尸的一边长为5cm,如果这两个三角形相

似，那么尸的另两边长可能是（）

A.2cm,3cmB.4cm,6cmC.6cm,7cmD.6cm,8cm

6.如图，在YA5CD中，点E是边AO的中点，EC交对角线3。于点尸，如果SVQ^=3,那么

YABCD的面积为（）

B

A.6B.12C.24D.36

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.如果x:y=5:2,那么（x+y）:y的值为

8.已知线段a=2厘米，c=6厘米，那么线段。和。的比例中项b是______厘米.

9.已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是___厘米.

10.已知与无产相似，且点A与点。是对应点，点3与点E是对应点，如果NA=50°,

/B=60。，那么NF=.

11.在Rt4ABC中，如果NC=90°,NA=60°,BC=6,那么AB=.

12.已知△ABC:顶点A、B、C分别与A、B］、G对应，AB:44=3:5,E、鸟分别

是边AC、AG的中点，如果5£=1，那么用片的长为.

13.在梯形A8CO中，AD//BC,AD=2，BC=5,点、E、尸分别在边AB、C。上，且

EF//BC,如果AE:EB=2:1,那么所的长为.

14.如图，矩形。EFG的边OE在AASC的边8C上，顶点G、尸分别在边AB、AC上.已知

BC=6cm,DE=3cm,EF-2cm,那么AABC的面积是cm2.

=（用M、h表不）.

16.A4BC中，点。、E分别在直线A3、AC上，如果。石〃BC,AB=1,AC=2,AT>=3,

那么CE=.

17.如图，图中提供了一种求cotl5°方法，作RSABC,使NC=90°,ZABC=30°,再延长CB

到点力，使9=84,联结A。，即可得"=15°,如果设AC=f,则可得C0=（2+@f,那么

的15。=3。=坐=2+6,运用以上方法，可求得cot22.5。的值是______.

AC

18.如图，矩形ABC。中，M、N分别是边A6、BC上的点，将矩

£

Z)B

形A8CD沿直线MN翻折后，点8落在边上的点E处，如果AB=4，AD=6,AE=2&M，

那么CN的长为

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19.计算:痂"-2(—)

20.如图，已知两个不平行的向量公和石，先化简，再求作：（7M-25）--（不要求写作法，但

要指出图中表示结论的向量）

21.如图，在四边形ABC。中，平分/ABC,/BDC=NA=90°,

4

cosZABD=-.

5

（2）如果BC=25,求四边形ABC。面积.22.如图，在A4BC中，AB=AC=®BC=2,过点

B作30,AC,垂足为点。

A

（2）点E是延长线上一点，联结CE，当NE=NA时，求线段CE的长.

23.已知：如图，在直角梯形ABC。中，AB//CD,AB1BC,AD=CD,E为AC的中点，连结

班并延长，交线段A。于点

（1）求证：/\AEF~^BAF；

(2)若CD=3,AB=5,求。尸的长.

24.学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制直角三角形纸板测量校园内一颗古树的高度.已知

三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米.

整自己的位置至点尸，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边A3平行于地

面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点。在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边

A8距离地面的高度EP为1.5米，小丽与古树的距离"为16米，求古树的高度

（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q,将直角三角形纸板的三个顶点的新位置

记为A'、B'、C'（如图②），使直角边8'。’（较短直角边）平行于地面MV（点M、Q、E、N在一

直线上），点O在斜边30的延长线上，且测得此时边8'。’距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前

移动了多少米?

25.如图，正方形A8C0中，AB=6,£是边上一点（点、E不与点B、C重合），点F在C。的延

长线上，且/，联结石尸，分别交A。、AC于点M、N.

求应:的长:

（备用图）

(2)求证：EF?=2EM-FN;

（3）当AAMN是等腰三角形时，求S.MMN的值.

2022学年第一学期混合式教学适应性练习九年级数学卷

考生注意：

1.本试卷共25题.

2.试卷满分150分.考试时间100分钟.

3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一

律无效.

4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或

计算的主要步骤.

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有只

有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.下列各组图形中，一定相似的是（）

A两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个等腰梯形

【答案】C

【解析】

【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解

答.

【详解】A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；

B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似定义，故不符合题意；

C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；

D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了相似形的定义，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键.

2.在平面直角坐标系xQy中，已知点3）与原点。的连线与x轴的正半轴的夹角为

仪0。<£<90°）,那么cosa的值是（）

A.3B.-C.D.

31010

【答案】D

【解析】

【分析】如图，过P点作轴于A,则NPQ4=c,利用尸点坐标得到Q4=l,PA=3,可求出

OP的长，然后根据余弦的定义求出cosa的值即可.

【详解】解：如图，过尸点作尸A_Lx轴于A,

:点P的坐标为(1,3),

Q4=l,PA=3,

•••CP=JF+32=M,

nA1Vio

/.cos/PQ4=乙=

OPio

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由己知元素求未知元素的过程就是解直角三角

形.灵活应用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键.

3.在RtAABC中，ZC=90.如果NA=a,AB=m,那么线段AC的长可表示为（）.

A.m•sincr；B.m-cosa；C.m-tana；D.mcota.

【答案】B

【解析】

【分析】根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案.

【详解】解：由题意，得

c°sA=空

AB

AC=ABcosA=m?a,

故选：B.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦函数的定义是解题关键.

4.已知G、B、2都是非零向量，下列条件中，不能判断M//5的是（）

A.同=M

B.a=3bC.万//E,b!!cD.a-2c,b=-2c

【答案】A

【解析】

【分析】根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案.

【详解】解：A、|初=出|只能说明3与5的模相等，不能判定£〃B，故本选项符合题意；

B、1=3分说明2与B的方向相同，能判定2〃石，故本选项不符合题意；

c、%"3b//c，能判定故本选项不符合题意；

D、a^2c,5=-21说明£与B的方向相反，能判定故本选项不符合题意.

故选A.

【点睛】此题考查了平面向量的知识.此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关

键.

5.已知的三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,4死尸的一边长为5cm,如果这两个三角形相

似，那么ADE尸的另两边长可能是（）

A.2cm,3cmB.4cm,6cmC.6cm,7cmD.6cm,8cm

【答案】B

【解析】

【分析】根据三边对应成比例三角形相似，即可求得.注意产中为5cm边长的对应边可能是6cm

或7.5cm或9cm,所以有三种情况.

【详解】解：设"）£尸的另两边为xcm,ycm,

若江）EF中为5cm边长的对应边为6cm,

5xy

则：—=—=—,

67.59

2515

解得：x=—,y=—;

若JJEF中为5cm边长对应边为7.5cm,

5xy

贝ij：—,

7.569

解得：x=4,y=6；若中为5cm边长的对应边为9cm,

结合选项可得B选项可选.

故选:B.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定：三边对应成比例的三角形相似.解此题的关键要注意乩>石尸中为

5cm边长的对应边不确定，答案不唯一，要仔细分析，小心别漏解.

6.如图，在YABCD中，点E是边AO的中点，EC交对角线8。于点尸，如果与。杼=3,那么

YABCD的面积为()

B.12C.24D.36

【答案】D

【解析】

【分析】先证明△EFDSACEB,依据相似三角形的性质得到48尸C的面积为12,设△£>%的面积为

X,然后依据△EDC的面积等于△BCD的面积的一半列方程求得的面积，从而得到△BCD的面

积，最后依据SaABCD=25.口求解即可.

【详解】解：；四边形ABCO为平行四边形，

/.AD//BC.

；.NEDB=NDBC,/DEC=/BCE

:・AEFDS^CFB.

又・・・E是AD的中点，

DE=-CB.

2

**•SABCF=4S的F=12.

设SA〃C=X,则3+x=g(12+x),

解得：x=6.AS&BCD=12+6=18.

**,^aABCD~2SWD=36.

故选：D.

【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和

判定定理是解题的关键.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.如果x:y=5:2,那么（x+y）:y的值为

7

【答案】一##7：2

2

【解析】

【分析】设453尸2死代入计算即可.

【详解】,：x:y=5:2,

・••设x=5k,y=2k,

，（x+y）:y=（5>2左）：2仁7：2,

7

故答案为：一.

2

【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质，并灵活解题是解题的关键.

8.已知线段〃=2厘米，c=6厘米，那么线段。和。的比例中项〃是_____厘米.

【答案】26

【解析】

【分析】根据线段比例中项的概念，可得a:b=》：c,即得〃=ac=i2,从而可求b的值.

【详解】•••线段匕是线段。和线段。的比例中项，

b~=ac>即/=2x6=12,

；.。=26厘米（负值舍去）.

故答案为：2G.

【点睛】本题考查比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应求平方根.求两条线段的比例

中项的时候，应求算数平方根.

9.已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是___厘米.【答案】6-2后

【解析】

【分析】根据黄金比是避二!■计算.

2

【详解】•••点P是线段AB的黄金分割点,

...较长线段BP=^11x4=2布-2（厘米），

2

，较短线段AP=4-（275-2）=6-2下（厘米），

故答案为6-2逐.

【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金分割的概念，熟练记忆黄金比是在二1（约等于0.618）是解题

2

的关键.

10.已知&4BC与ADE尸相似，且点A与点。是对应点，点5与点E是对应点，如果NA=50°,

/8=6（）°,那么NF=.

【答案】700##70度

【解析】

【分析】根据相似三角形的性质可知ND=NA=50°,NE=NB=60°,再结合三角形内角和定理即可求

出答案.

【详解】如图，ZiABCS^DEF,

NO=ZA=50°,

ZE=ZB=60°，

NF=180。一NO—NE=70°.

故答案为：70。.

【点睛】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理.掌握相似三角形的对应角相等是解题关键.11.

在中，如果/C=90。，ZA=60°.BC=6,那么.

【答案】4G

【解析】

【分析】根据直角三角形的性质：30°所对的直角边的长度等于斜边的一半求解即可.

【详解】解：在中，ZC=90°,NA=60°,BC=6,

•••ZC=30°,

设AB=x,则AC='x,

2

由勾股定理可得：+62,

解得：%,=4>/§，x,=—4-\/3（舍去）

/.AB=4

故答案为：4^/3-

【点睛】本题考查直角三角形的性质和勾股定理，关键是根据直角三角形的性质：30°所对的直角边的长

度等于斜边的一半解答.

12.己知△ABC:△ABC,顶点A、B、C分别与g、C;对应，43：Ag=3:5,E、片分别

是边AC、AG的中点，如果5E=1，那么用g的长为.

52

【答案】—##1—

33

【解析】

【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可.

【详解】解答：解：•••△A3CSA44G，A3:A4=3：5,

.•.对应中线BE、Bg的比值为3:5,

/.1：B,E.=3:5,：,B,E,=-.

113

故答案为：一.

3

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比.

13.在梯形A8CD中，AD//BC，AD=2,BC=5,点、E、尸分别在边AB、CD且

EF//BC,如果A£:E3=2:1,那么所的长为.

【答案】4

【解析】

【分析】连接AC交E厂于点P,先利用平行线分线段成比例定理求出一、一，再利用相似三角形的

ABCD

性质求出石尸、FP，最后利用线段的和差求出EE.

【详解】解：如图，连接AC交所于点尸，

「''、、\„：，

EA,AD//BCEF//BC,

B------------------------C

：.AD//EF//BC.

.AEDF_2

•AE--2CF-1

••丽―CD-3'

•：AD//EF//BC，

；.AAEPS^ABC,CFPS^CDA.

.EPAE2PFCF1

"BC-AB-3'AD-CD-3-

VAD=2-BC=5,

：.EP=—,PF=-.

33

•；EF=EP+PF=-+-=4.

33

故答案为:4.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握“平行线分线段成比例定理”、相似三角形的判

定和性质是解决本题的关键.

14.如图，矩形QEFG的边OE在AABC的边BC上，顶点G、尸分别在边AB、AC上.已知

BC=6cm,DE=3cm,EF=2cm,那么AABC的面积是cm2.

【解析】

【分析】过A作AH_LBC于H,交GF于M,由矩形的性质得GE〃3C,DG=EF=2cm,

GF=DE=3cm,再证△AG/SAABC,求出AM=2cm,则AH=AM+MW=4cm,即可求解.

【详解】解：过A作A〃_LBC于，，交GF于M,如图，

则M〃=Eb=2cm,

•••四边形。EFG是矩形，

GF//BC,DG=EF—2cm,GF=DE=3cm,

•：GF//BC,

AAGF^^ABC,

.AMGF

AM_3

即

AM+2~6

解得：AM=2cm,

：.AH=AM-\-MH4cm,

：.MBC的面积=gBC.A〃=；x6x4=12（cm2）,

故答案为：12.

【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟

练掌握矩形的性质，证明AAGRSAABC是解题的关键.15.AABC中，AD是中线，G是重心,

AB=5,AD=h,那么BG~（用］、b表不）.

【答案】一MH—b.

3

【解析】

___2_

【详解】试题分析：•・•在△ABC中，点G是重心，AD=bAG=-b,又,:BG=AG-AB^AB=a^

__22?

：.BG=-h-a=-a+-b；故答案为一1+—〃二

333

A

1.平面向量；2.三角形的重心.

16.在AABC中，点。、E分别在直线AB、AC上，如果。石〃BC,AB=1，AC=2,AO=3,

那么CE=

【答案】4

【解析】

【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可.

【详解】解：作如下图：

A

:DE//BC,

.ABAC

'AD-AE

VAB=1,AC=2,AD=3,

I2

,.——------

3AE

AE=6,CE=A£—AC=6-2=4,

故答案为:4.

【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理.

17.如图，图中提供了一种求cotl5。的方法，作RSABC,使NC=90。，NA3C=30°,再延长CB

到点O,使比＞=84,联结A。，即可得"=15。，如果设AC=f,则可得CD=（2+6）f,那么

cotl5°=cotD=—=2+^,运用以上方法，可求得cot22.5°的值是______.

AC

【答案】、历+1

DB

【解析】

【分析】作R^ABC,使NC=90。，/A3C=45°,再延长BC到点。，使比＞=84,联结A。，即可

得/。=22.5°,设AC=f,然后用t表示出CD,最后根据余切的定义作答即可.

【详解】解：如图：作R3ABC,使NC=90°,NABC=45°,再延长CB至I」点。，使团＞=84,联结

AD，即可得ND=22.5°

设AC=f,则BC=t,AB=BD=&t

所以DC=BC+AB=t+&t=(1+72)t

所以322.5。嗤=厘=1+"

故答案为1+6.

【点睛】本题主要考查的是解直角三角形和三角函数，构造出含45。的

直角三角形，再作辅助线得到22.5。角的直角三角形成为解答本题的关键.

18.如图，矩形A8CD中，M.N分别是边AB、8C上的点，将矩形ABCO沿直线MN翻折后，点B

落在边AO上的点E处，如果AB=4，AD=6,AE=2也AM，那么CN的长为

【答案】6-3夜##-36+6

【解析】

【分析】由翻折的性质可知5A/=设AM=x,则AE=2&x，BM=EM=4—x,结合勾股

定理可列出关于x的等式，解出x,即得出AM和AE的长.过点N作NF_LA£＞于点F,即得出

ZM4E=NEKV=90°,NF=AB=4,BN=AF,又易证NAEM=NFNE,即可证

Al\4j\p

△MAEs^EFN,得出——=——，代入数据，即可求出£尸的长，从而求出8N的长，进而可求出

EFNF

CN的长.

【详解】由翻折的性质可知BM=EM.

设则AE=2&x，BM=EM=AB-AM^A-x,

,在RtAAEM中，AM2+AE2=EM2^

d+(2缶)2=(4—X)2,

解得：%=1,x2=-2(舍)，

AM=l，AE=2垃.

如图，过点N作NR，40于点F.

:.ZMAE=/EFN=90°,NF=AB4,BN=AF,

ZFEN+ZFNE=90°.

NFEN+ZAEM=90。,

:.ZAEM=NFNE,：.AMAES^EFN,

.AM_AE120

EFNFEF4

•••EF=C，

BN=AF=AE+EF=2及+叵=36，

CN=BC—BN=6—3y[i-

故答案为：6—3\/2-

【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识.正确的作辅助线构造相似三

角形是解题关键.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

cot45°

19.计算:-2(l+sin60°)

3tan30°-2cos45°

【答案】V2-2

【解析】

【分析】把特殊角的三角函数值代入，根据实数的混合运算法则计算即可得答案.

【详解】原式=6夜〔TJ

3x-2x'7

32

=百+近一2-百=0-2【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及实数的混合运算，熟记特殊角的三

角函数值及运算法则是解题关键.

20.如图，已知两个不平行的向量£和坂，先化简，再求作：(7«-2^)-51«-1^1(不要求写作法，但

要指出图中表示结论的向量)

1-

【答案】2G+—b

2

【解析】

【分析】先根据向量的加减法法则化简，再根据三角形法则作图即可.

【详解】(la-2b')-5[a--^b}=la-2b-5a+^b

2aH—b,

2

本题考查平面向量的知识,正确化简并熟练掌握三角形法则是解题关键.

4

21.如图，在四边形ABC。中，8。平分/ABC,NBZX?=NA=90°,cosZABD--.

(2)如果BC=25,求四边形ABC。的面积.

…AD4

【答案】(1)=—

CD5

（2）246

【解析】

【分析】（1）先利用两角对应相等判断△ABOsaDBC,再利用直角三角形的边角间关系和相似三角形

的性质得结论；

（2）利用直角三角形的边角间关系先求出3。、AB，再利用勾股定理求出A。、CD,最后利用三角形

的面积公式得结论.【小问1详解】

解：•••8。平分NA5C，

，ZABD=ZCBD,

•••ABDC=ZA=9Q°,

/./XABD^/\DBC.

.ADAB

"co-BD-

在Rf△ABO中,

AB4

,/cosZABD

BD5

,AD_4

"~CD~~5

【小问2详解】

解：♦；ZABD=NCBD,

.cosNC6O=殷=3

BC5

-BC=25,

.BD=2().

■CD=^BC1-BEr=15-

AB4

,cosZ.ABD

BD5

.AB=16,

•ADTBD?—AB?=12•

'•S四边形ABCZ>=S、ABD+S7BCD

=—/4BA£)+—B£)CZ)=—x16x12+—x20x15=96+15()=246.

2222

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质、直角三角形的边角间关系及勾股

定理是解决本题的关键.

22.如图，在AABC中，AB=AC=y/5,BC=2,过点8作3O_LAC，垂足为点。

（1）求cotNACB的值；

（2）点E是3。延长线上一点，联结CE，当N£=NA时，求线段CE的长.

【答案】（1）；；（2）或

22

【解析】

【分析】（1）作AG_LBC于点G,根据等腰三角形三线合一性质得到AAGC为直角三角形，然后根据勾

股定理计算AG的长，然后计算cot/ACB的值；

（2）先利用等面积法计算BD的长度，然后利用cotNAC8的值计算出CD的长的，然后证明

MDB〜AEDC,利用比例关系计算CE即可.

【详解】解析：（1）如图，作AG_LBC于点G

：.CG=-BC=l,AGXBC,

2

在RtAAGC中由勾股定理可得AG=JN一CG?=4^1=2，

cotZACB=—

AG2

(2)•/S△AAAbBeC=2-AG-BC=2-BD-AC,

皿警,

CD

cotZACB--

2~BD2

.\CD=—,

5

,;NBAC=NE,

■^ADB~AEDC,

Ec£1

-

0=«=-

A02

EC=-AB=—.

22

【点睛】本题主要考查余切的计算以及利用相似计算线段长度，构造辅助线，转化角是解题的关键.

23.已知：如图，在直角梯形ABCQ中，AB//CD,ABJ.BC,AD=CD,E为AC的中点，连结

3E并延长，交线段AO于点F.

^AEF-ABAF^

(2)若C£>=3,AB=5,求。尸的长.

【答案】（1）见解析;

(2)DF=-

7

【解析】

【分析】（1）根据平行线的性质可得NC4O=NH4£,由直角三角形的性质可得

BE=-AC=AE=CE,从而得NE4F=NA5E，再根据相似三角形的判定可得结论；

2

（2）延长即交C。的延长线于点G,由全等三角形的判定与性质可得。G=CG—CE>=2,再证明

△DFGSA^FB,根据相似三角形的性质可得答案.

【小问1详解】

证明：♦.•A8〃C。,

ZACD=ZBAE,

AD=CD,

：.ZACD^ZCAD,

AZCAD=ZBAE,VABIBC,

ZABC=90°,

为AC的中点，

BE^-AC=AE^CE,

2

ZABF=/BAE，

：.ZCAD=ZABF,

：.AEAF=ZABF，

•/ZAFE=/BFA，

AAEFS^BAF；

【小问2详解】

解：♦••CDuB,AB=5,

AD=CD=3,

延长交。。的延长线于点G,如图:

ZECG=ZEAB

在AECG和AEW中，＜CE=AE

NCEG=NAEB

CG=AB=5,

/.DG=CG-CD=2,

,/AB//CD,

:.ADFGS4AFB,

.DFDG

*'AF-AB'

ABDF=DGAF,

...5DF=2x(3—DF),

•••。/=9.【点睛】此题考查的是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的

7

性质，等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键.

24.学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一颗古树的高度.已知

三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米.

图①

整自己的位置至点尸，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地

面（点M、P、E、N在一直线上），且点。在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边

A8距离地面的高度EP为L5米，小丽与古树的距离■为16米，求古树的高度OE；

（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点。，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置

记为A'、B'、C'（如图②），使直角边B'C’（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一

直线上），点O在斜边B'A的延长线上，且测得此时边8,C'距离地面的高度依然是L5米，那么小丽向前

移动了多少米？

【答案】（1）13.5m

（2）7m

【解析】

【分析】（1）先在直角三角形ABC中，由勾股定理求得AC,再利用直角三角形ABC和/相似求得

。尸的长，加上。尸，即可求得树高DE.

（2）利用直角三角形AB'C和05'f相似求得B'F的长，即可求得小丽向前移动了多少米.

小问1详解】

,/ZDE4=NACB=90J，且ZDAF=ZCAB，

^DFA^/\BCA，

DFAF

---=---，在RtZ^ABC中，AB=0.5m,BC=0.3z?z»

BCAC

AC=yjAB2-BC2=0.4/T?-

,/AF=16m,

•DF-16

"03-04'

DF=12.

DE=DF+EF=13.5（m）.

答：古树的高度。E是13.5/〃.

【小问2详解】

ZD'FB'=ZA'C'B'=90，

ZDrB,F=ZA'B'C,

：.小,

.B'FD'F

"AV'

.B'F12

*'713"（14,

B'F=9,

：.16-9=7,

答：小丽向前移动了7nz.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理，解题的关键是证明三角形的相似.

25.如图，正方形ABCO中，AB=6,E是边8c上一点（点E不与点8、C重合），点/在CZ）的延

长线上，且BE=DF，联结石尸，分别交A。、AC于点〃、N.

p

（1）已知MD=1,求B