2022-2023学年上海奉贤区致远高级中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年上海奉贤区致远高一上学期期中数学试题

一、单选题

I.已知集合人={1,2,3,4,…,2014,2015},集合3={小=3%+1,/Z},则AcB中的最大元素是（）

A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对

A

【分析】由题意可知集合B表示整数的3倍且大1的数的集合，则找出集合A中符合条件的最大元

素即可.

【详解】因为集合3={Hx=3A+l,keZ},表示整数的3倍且大1的数的集合，

4={1,2,3,4,…,2014,2015},

所以AcB中的最大元素为2014,

故选：A

2.下列计算正确的是（）

A.（2a-l）~=4/-1B.a+2a2=3/

C.必±2D.（-a2）''=-a6

D

【分析】根据指数幕的运算逐一判断即可得到结果.

【详解】V（2a-l）2=4a2-4a+l,，A错误；

2a2不是同类项，•,.0+2a2。3a3,，B错误;

：〃=2，，C错误；

••,（-叫3=-&6,...D正确,

故选:D.

3.下列五个写法:①0e{l,2,3}：②0a{0}；③{0,1,2}三{1,2,0}；@Oe0；⑤

010=0其中错误写法的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

C

【分析】根据空集的定义，以及元素与集合，集合与集合的关系即可逐一判断.

【详解】对于①；0a{1,2,3},故错误，

对于②；空集是任意集合的子集，故0[{0},故正确，

对于③；任意集合是自身的子集，故{0,1,2}={1,2,0},故正确，

对于④，空集是不含任何元素的集合，故错误，

对于⑤，0是元素，空集是集合，两者不可以求交集，故错误，

故选：C

4.古希腊时期，人们把宽与长之比为与的矩形称为黄金矩形，把这个比值也二1

2I2)2

称为黄金分割比例.如图为希腊的一座古建筑，其中图中的矩形ABC。，EBCF,FGHC,FGJ1,LGJK,

MM/K均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5米，C与尸间的距离小于11米，则该古建筑中A

与B间的距离可能是()(参考数据:0.6182«0.382.0.6183»0.236,0.6184«0.146,0.6185«0.090.

0.6186«0.056,0.6187«0.034)

DC

H

B

A.30.3米B.30.1米C.29.2米D.27.4米

D

【分析】根据题意设设|A8|=x米，”=存！=0.618,从而表示出M与K间的距离、C与尸间的距

离，列出不等式求解后比较各选项即可.

【详解】设|明=》米，Q=^1，0.618,

因为矩形ABC。，EBCF,FGHC,FGJ1,LGJK,均为黄金矩形，

所以忸C]=or,|C@=a2x,\GF\=a3x,

|GJ|=a4x,\jK\=a5x,\KM\=a6x,

又因为M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米,

,ax>1.5

所以12,解得26.786<x<28.796,

a'x<\1

比较各选项可知该古建筑中A与B间的距离可能是27.4米.

故选：D

二、填空题

5.已知XG{1,2},则实数x为.

1或2

【分析】根据元素和集合的关系判断即可.

【详解】解：因为xe{l,2},所以x=l或x=2.

故1或2.

6.设（7={2,3,5},A={a-5,2},了={5},则实数。的值是.

8

【分析】根据全集，补集概念得。-5=3即可解决.

【详解】由题知：U={2,3,5},A={a—5,2},A={5},

所以a-5=3>得a=8,

故8.

7.“所有偶数都不是素数”是命题.（填“真”或“假”）

假

【分析】由2既是偶数又是素数即可解决.

【详解】所有偶数都不是素数，是错的，例如2既是偶数又是素数.

故假.

8.己知。>0,6>0,化简：（妫?.“7=一.（用分数指数募表示）

33,“33

aib2##b2a2

【分析】将根式化为分数指数幕，再进行相关计算.

2Y2333

（a?•（/）3=aa^b2=a-

故藤

9.若Q>/?>C>0,那么一__7.（用“〉或<或="填空）

ab

<

利用不等式的性质可得答案

【详解】解：因为。>人>。>0,所以他>0,

所以£>二，即

ababba

因为c>0,所以：>£，W-<7，

baab

故<

此题考查不等式性质的应用，属于基础题

10.已知A={x|-l<x<3},B={x|x<a},若AgB,则实数。的取值范围是.

[3,一）

【分析】根据子集概念，即可得到结果.

【详解】；A={x|-l<x<3},B=[x\x<a],若4勺8,

/.4Z>3,

故[3,+oo）

11.通过三角不等式可知卜+3|+卜-427,则等号成立的条件为.

xe[-3,4]

【分析】根据三角不等式的定义结合一元二次不等式的解法即可得出答案.

【详解】解：由三角不等式可知«+3|+k一4|=卜+3|+|4-可2,+3+4—耳=7,

当且仅当（X+3）（4-X）20,即-3Vx44时，取等号，

所以等号成立的条件为为xe[-3,4].

故答案为.xw[-3,4]

12.若方程以2+次+。=0（。<0）有唯一的实数根3,则不等式以2+bx+cZO的解集为一

{布=3}

【分析】由题设条件得到抛物线旷=以2+法+c（a<0）的图象特点，即可求得不等式的解集

【详解】由已知得抛物线卜=以2+加+。（。<0）的开口向下，与x轴交于点（3,0）,

故不等式加+Z?x+cNO的解集为{#=3}.

故{巾=3}

13.某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m2的矩形空地，并计划在该空地上设置

三块全等的矩形试验区(如图所示).要求试验区四周各空0.5m,各试验区之间也空0.5m.则每块试

验区的面积的最大值为

6

【分析】设矩形空地的长为xm,根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等

式即可求出结果.

【详解】设矩形空地的长为xm,则宽为3丝2m,

x

依题意可得，试验区的总面积S=(x-0.5x4)(卫-0.5x2)=34-x—史434—•%=18,

\xjxvx

当且仅当了=6组4即x=8时等号成立，

x

1Q

所以每块试验区的面积的最大值为q=60?.

故6

14.关于R的不等式组八的解集不是空集，则实数。的取值范围是________

[x-〃>0

(-co,-l)U(0,+co)

【分析】由题意，分类讨论。的范围，先判断。>0时满足条件，当a<0时，再根据求出。的

a

范围，综合即可得出结果.

[ax>1

【详解】解：•・・关于x的不等式组八的解集不是空集，.・・〃/(),

[X-6Z>0

\ax>\一

当。>0时，满足不等式组八的解集不是空集，满足条件；

[x-〃>0

1

\ax>\x<—

当〃<0时，不等式组八，即

x-«>0

•••它的解集不是空集,

1

：.a<-,即j>0,api-«2<0,

aa

综上可得，。的范围为(-8,-DU(O,+8),

故(-8,-1)U(O,+8).

本题考查根据不等式组的解集求参数范围，以及一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思

想，属于中档题.

15.如果不等式以2+法+。<0的解集是或x>〃}(加<"<0),则关于x的不等式

ex2-bx+a>0的解集是.

【分析】根据题意，由根与系数的关系式，即可求出不等式ar2+6x+c<0中机，〃与“，仇c的关系，由

此求出不等式c/一区+”>()的解集.

【详解】：关于X的不等式依2+法+0<0的解集是{x|x<，洞沃>〃}(机<〃<0)

bc

「•a<O,m+n=——,mn=—

aa

**-c<0

，关于X的不等式cW一区+Q>()可化为：

rb/%+〃、11

且：-=-(-----)=-------

cnmmn

*,•不等式er?-〉0的解集为.()

mn

本题考查了含参的一元二次不等式的解法以及根与系数关系，考查了学生综合分析，转化与划归，

数形结合的能力，属于中档题.

16.已矢lUcN",记集合4={xk=%x2"+%_1X2i+,♦・+4x2i+/x2°,%=1,%，4，・・、%一1=0或1},

例如A={小=24+出吗=1,劭=。或1}={2,3},….现有一款名称为“解数学题获取软件激活码”网

络游戏，它的激活码为集合4的各元素之和，则该游戏的激活码为.

22

【分析】由已知得4=卜|工二4电+24+4,出=1，4，佝=0或1},由此求得集合&={45,6,7},故而可

得答案.

【详解】解：由已知得4={乂*=4%+26+%吗=1吗,4=0或1},

所以当q=%=0时，x=4xl+0+0=4；

当4=1,4=0时，x=4xl+2xl+0=6；

当4=0,ao=l时，x=4xl+2x0+lxl=5,

当4=1,4=1时，x=4xl+2xl+lxl=7,

所以&={4,5,6,7},该游戏的激活码为4+5+6+7=22,

故22.

三、解答题

17.设4={乂丁+o¥-2=。},8={x*-3x+b=o},4c3={1},C={2,Y}.

⑴求a、6的值及4、B；

(2)求(AuB)ce.

(l)a=l,b=2,A={-2,1},8={1,2}；

(2)(AU«)nC={-2,l}.

【分析】(1)根据ACB={1}得到leA,lwB,将x=l代入方程，求出a=l,b=2,从而求出A、B；

(2)求出AuB={_2,1,2},从而得到(AUB)n6={—2,1}.

【详解】(1)因为AcB={l},故leAleB,

所以1+。-2=0,l-3+b=0,

解得：«=1,b=2,

2

故4={小2+》-2=0}={-2,1},B={X|X-3X+2=0}={1,2};

(2)AuB={-2,l,2},(AUB)nC={-2,l}.

18.已知幕函数y=x"7(〃zeN)的图像与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出

函数的图像.

机=0或m=2图像见解析

【分析】先由题得〃?42,再根据嘉函数的奇偶性得到%=0或，〃=2.再画出基函数的图象.

【详解】•基函数y=x"i的图像与x轴、y轴都无交点，.•.〃L240,即加£2.

又znwN,/.m-0,1,2.

■.・某函数y=W-2的图像关于y轴对称，

:.m=0^m=2.

当机=0时，幕函数为＞=工2,图像如图①所示；

当m=2时，基函数为y=x°=l(x*0),图像如图②所示.

本题主要考查幕函数的图象和性质，考查幕函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

19.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.对数运算与指数基

运算是两类重要的运算.

(1)根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果。＞0,且M＞0,那么

log"M"=nlog“M(neR)；

(2)请你运用(1)中的对数运算性质计算段(譬+器)的值;

1g411g9lg27)

⑴证明见解析

【分析】(1)设x=k)g,M,化为指数式取对数即可得出.

(2)利用(1)中的性质计算可得.

【详解】(1)证明：因为。＞0,且awl,M＞0,设x=k»g.M,所以M=",

所以M"=(a")"=d

1

所以log"M"=logna''-nx=nloguM,即log(JM"-«log„A/(neR).

(2)解妲(暨+里吟=里(叱+跤里(些+些工里.9』

J

lg4(Ig9lg27)lg2211g32lg3)21g2121g331g3J21g261g312

20.己知关于x的不等式曾<0的解集为P,不等式,-1<1的解集为Q.

⑴若"=；,求P

⑵若P=(-8,T)U[-；,+<»],求"的值；

(3)若“xeQ”是“xeP”的充分非必要条件，求实数〃的取值范围.

(1)P=(-1,2)

(2)a=-2

(3)(-8,g]

【分析】(1)将a=；代入不等式，将分式不等式化为一元二次不等式，解之即可；

(2)将分式不等式转化为一元二次不等式，根据不等式的解集，结合二次方程根与系数的关系可得

(3)分别确定集合P与。，根据命题的充分必要性可得集合P与Q的包含关系，进而可得实数。的取

值范围.

1-11

【详解】(1)因为所以不等式竺三<0可化为5'T-n，

2x+\-----<u

x+1

也即(x—2)(x+l)<0,解得：-1<X<2,故p=(-l,2).

(2)由不等式号<0可化为(依-D(x+l)<0,因为关于X的不等式警1<0的解集为

P=(_8,_l)u(_g,+8),

所以-1和是方程3T)(x+D=0的两根，

所以。=-2.

(3)因为不等式,一1卜1可化为：解得：0<x<2,所以。=(0,2),又因为“xeQ”是

“xeP”的充分非必要条件，所以。是尸的真子集，

当a=0时，尸=(-1,+8),满足题意；

当a>0时，P=(-1，-),要使。是尸的真子集，则有‘22,所以

当一1<"0时，P=(-®2)U(T,+s)，满足。是尸的真子集，

a

当a=—1时，P=(YO,-1)U(-L”)，满足。是尸的真子集，

当”-1时，P=(7,-l)U(',+8),满足。是尸的真子集，

a

综上所述：实数。的取值范围为(-8,5.

21.已知一元二次方程以2+fer+c=Om，A，ceR,axO)的两个实根为公，々；

⑴若4=6=1,0(),求|西|+同的值;

⑵若b+c=0,必<0,用反证法证明玉，巧中至少有一个大于等于2;

(3)若3a+2/?+c=(),设必=x,「2(i=l,2),若％,%是方程丁+冲+〃=0(见〃eR)的实根，求实数

，〃的取值范围.

(1)1

(2)证明见解析

(3)(—2]U[2,+°°)

【分析】(1)结合已知条件，利用韦达定理首先判断为与巧的符号，进而即可求出㈤+昆|的值；(2)

首先假设阳，巧都小于2,结合已知条件和韦达定理可得演和巧同号，且‘+'=1,再结合々和々

X]x2

的范围推出矛盾即可证明；(3)首先利用判别式求出王+々的范围，然后结合已知条件并利用韦达定

理求解即可.

【详解】(1)当。=6=1,c>0时，f+x+c