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文档简介
2022-2023学年上海奉贤区致远高一上学期期中数学试题
一、单选题
I.已知集合人={1,2,3,4,…,2014,2015},集合3={小=3%+1,/Z},则AcB中的最大元素是()
A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对
A
【分析】由题意可知集合B表示整数的3倍且大1的数的集合,则找出集合A中符合条件的最大元
素即可.
【详解】因为集合3={Hx=3A+l,keZ},表示整数的3倍且大1的数的集合,
4={1,2,3,4,…,2014,2015},
所以AcB中的最大元素为2014,
故选:A
2.下列计算正确的是()
A.(2a-l)~=4/-1B.a+2a2=3/
C.必±2D.(-a2)''=-a6
D
【分析】根据指数幕的运算逐一判断即可得到结果.
【详解】V(2a-l)2=4a2-4a+l,,A错误;
2a2不是同类项,•,.0+2a2。3a3,,B错误;
:〃=2,,C错误;
••,(-叫3=-&6,...D正确,
故选:D.
3.下列五个写法:①0e{l,2,3}:②0a{0};③{0,1,2}三{1,2,0};@Oe0;⑤
010=0其中错误写法的个数为()
A.1B.2C.3D.4
C
【分析】根据空集的定义,以及元素与集合,集合与集合的关系即可逐一判断.
【详解】对于①;0a{1,2,3},故错误,
对于②;空集是任意集合的子集,故0[{0},故正确,
对于③;任意集合是自身的子集,故{0,1,2}={1,2,0},故正确,
对于④,空集是不含任何元素的集合,故错误,
对于⑤,0是元素,空集是集合,两者不可以求交集,故错误,
故选:C
4.古希腊时期,人们把宽与长之比为与的矩形称为黄金矩形,把这个比值也二1
2I2)2
称为黄金分割比例.如图为希腊的一座古建筑,其中图中的矩形ABC。,EBCF,FGHC,FGJ1,LGJK,
MM/K均为黄金矩形,若M与K间的距离超过1.5米,C与尸间的距离小于11米,则该古建筑中A
与B间的距离可能是()(参考数据:0.6182«0.382.0.6183»0.236,0.6184«0.146,0.6185«0.090.
0.6186«0.056,0.6187«0.034)
DC
H
B
A.30.3米B.30.1米C.29.2米D.27.4米
D
【分析】根据题意设设|A8|=x米,”=存!=0.618,从而表示出M与K间的距离、C与尸间的距
离,列出不等式求解后比较各选项即可.
【详解】设|明=》米,Q=^1,0.618,
因为矩形ABC。,EBCF,FGHC,FGJ1,LGJK,均为黄金矩形,
所以忸C]=or,|C@=a2x,\GF\=a3x,
|GJ|=a4x,\jK\=a5x,\KM\=a6x,
又因为M与K间的距离超过1.5米,C与F间的距离小于11米,
,ax>1.5
所以12,解得26.786<x<28.796,
a'x<\1
比较各选项可知该古建筑中A与B间的距离可能是27.4米.
故选:D
二、填空题
5.已知XG{1,2},则实数x为.
1或2
【分析】根据元素和集合的关系判断即可.
【详解】解:因为xe{l,2},所以x=l或x=2.
故1或2.
6.设(7={2,3,5},A={a-5,2},了={5},则实数。的值是.
8
【分析】根据全集,补集概念得。-5=3即可解决.
【详解】由题知:U={2,3,5},A={a—5,2},A={5},
所以a-5=3>得a=8,
故8.
7.“所有偶数都不是素数”是命题.(填“真”或“假”)
假
【分析】由2既是偶数又是素数即可解决.
【详解】所有偶数都不是素数,是错的,例如2既是偶数又是素数.
故假.
8.己知。>0,6>0,化简:(妫?.“7=一.(用分数指数募表示)
33,“33
aib2##b2a2
【分析】将根式化为分数指数幕,再进行相关计算.
2Y2333
(a?•(/)3=aa^b2=a-
故藤
9.若Q>/?>C>0,那么一__7.(用“〉或<或="填空)
ab
<
利用不等式的性质可得答案
【详解】解:因为。>人>。>0,所以他>0,
所以£>二,即
ababba
因为c>0,所以:>£,W-<7,
baab
故<
此题考查不等式性质的应用,属于基础题
10.已知A={x|-l<x<3},B={x|x<a},若AgB,则实数。的取值范围是.
[3,一)
【分析】根据子集概念,即可得到结果.
【详解】;A={x|-l<x<3},B=[x\x<a],若4勺8,
/.4Z>3,
故[3,+oo)
11.通过三角不等式可知卜+3|+卜-427,则等号成立的条件为.
xe[-3,4]
【分析】根据三角不等式的定义结合一元二次不等式的解法即可得出答案.
【详解】解:由三角不等式可知«+3|+k一4|=卜+3|+|4-可2,+3+4—耳=7,
当且仅当(X+3)(4-X)20,即-3Vx44时,取等号,
所以等号成立的条件为为xe[-3,4].
故答案为.xw[-3,4]
12.若方程以2+次+。=0(。<0)有唯一的实数根3,则不等式以2+bx+cZO的解集为一
{布=3}
【分析】由题设条件得到抛物线旷=以2+法+c(a<0)的图象特点,即可求得不等式的解集
【详解】由已知得抛物线卜=以2+加+。(。<0)的开口向下,与x轴交于点(3,0),
故不等式加+Z?x+cNO的解集为{#=3}.
故{巾=3}
13.某校生物兴趣小组为开展课题研究,分得一块面积为32m2的矩形空地,并计划在该空地上设置
三块全等的矩形试验区(如图所示).要求试验区四周各空0.5m,各试验区之间也空0.5m.则每块试
验区的面积的最大值为
6
【分析】设矩形空地的长为xm,根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积,利用基本不等
式即可求出结果.
【详解】设矩形空地的长为xm,则宽为3丝2m,
x
依题意可得,试验区的总面积S=(x-0.5x4)(卫-0.5x2)=34-x—史434—•%=18,
\xjxvx
当且仅当了=6组4即x=8时等号成立,
x
1Q
所以每块试验区的面积的最大值为q=60?.
故6
14.关于R的不等式组八的解集不是空集,则实数。的取值范围是________
[x-〃>0
(-co,-l)U(0,+co)
【分析】由题意,分类讨论。的范围,先判断。>0时满足条件,当a<0时,再根据求出。的
a
范围,综合即可得出结果.
[ax>1
【详解】解:•・・关于x的不等式组八的解集不是空集,.・・〃/(),
[X-6Z>0
\ax>\一
当。>0时,满足不等式组八的解集不是空集,满足条件;
[x-〃>0
1
\ax>\x<—
当〃<0时,不等式组八,即
x-«>0
•••它的解集不是空集,
1
:.a<-,即j>0,api-«2<0,
aa
综上可得,。的范围为(-8,-DU(O,+8),
故(-8,-1)U(O,+8).
本题考查根据不等式组的解集求参数范围,以及一元二次不等式的解法,体现了分类讨论的数学思
想,属于中档题.
15.如果不等式以2+法+。<0的解集是或x>〃}(加<"<0),则关于x的不等式
ex2-bx+a>0的解集是.
【分析】根据题意,由根与系数的关系式,即可求出不等式ar2+6x+c<0中机,〃与“,仇c的关系,由
此求出不等式c/一区+”>()的解集.
【详解】:关于X的不等式依2+法+0<0的解集是{x|x<,洞沃>〃}(机<〃<0)
bc
「•a<O,m+n=——,mn=—
aa
**-c<0
,关于X的不等式cW一区+Q>()可化为:
rb/%+〃、11
且:-=-(-----)=-------
cnmmn
*,•不等式er?-〉0的解集为.()
mn
本题考查了含参的一元二次不等式的解法以及根与系数关系,考查了学生综合分析,转化与划归,
数形结合的能力,属于中档题.
16.已矢lUcN",记集合4={xk=%x2"+%_1X2i+,♦・+4x2i+/x2°,%=1,%,4,・・、%一1=0或1},
例如A={小=24+出吗=1,劭=。或1}={2,3},….现有一款名称为“解数学题获取软件激活码”网
络游戏,它的激活码为集合4的各元素之和,则该游戏的激活码为.
22
【分析】由已知得4=卜|工二4电+24+4,出=1,4,佝=0或1},由此求得集合&={45,6,7},故而可
得答案.
【详解】解:由已知得4={乂*=4%+26+%吗=1吗,4=0或1},
所以当q=%=0时,x=4xl+0+0=4;
当4=1,4=0时,x=4xl+2xl+0=6;
当4=0,ao=l时,x=4xl+2x0+lxl=5,
当4=1,4=1时,x=4xl+2xl+lxl=7,
所以&={4,5,6,7},该游戏的激活码为4+5+6+7=22,
故22.
三、解答题
17.设4={乂丁+o¥-2=。},8={x*-3x+b=o},4c3={1},C={2,Y}.
⑴求a、6的值及4、B;
(2)求(AuB)ce.
(l)a=l,b=2,A={-2,1},8={1,2};
(2)(AU«)nC={-2,l}.
【分析】(1)根据ACB={1}得到leA,lwB,将x=l代入方程,求出a=l,b=2,从而求出A、B;
(2)求出AuB={_2,1,2},从而得到(AUB)n6={—2,1}.
【详解】(1)因为AcB={l},故leAleB,
所以1+。-2=0,l-3+b=0,
解得:«=1,b=2,
2
故4={小2+》-2=0}={-2,1},B={X|X-3X+2=0}={1,2};
(2)AuB={-2,l,2},(AUB)nC={-2,l}.
18.已知幕函数y=x"7(〃zeN)的图像与x轴、y轴都无交点,且关于y轴对称,求m的值,并画出
函数的图像.
机=0或m=2图像见解析
【分析】先由题得〃?42,再根据嘉函数的奇偶性得到%=0或,〃=2.再画出基函数的图象.
【详解】•基函数y=x"i的图像与x轴、y轴都无交点,.•.〃L240,即加£2.
又znwN,/.m-0,1,2.
■.・某函数y=W-2的图像关于y轴对称,
:.m=0^m=2.
当机=0时,幕函数为>=工2,图像如图①所示;
当m=2时,基函数为y=x°=l(x*0),图像如图②所示.
本题主要考查幕函数的图象和性质,考查幕函数的解析式的求法,意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平.
19.数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.对数运算与指数基
运算是两类重要的运算.
(1)根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果。>0,且M>0,那么
log"M"=nlog“M(neR);
(2)请你运用(1)中的对数运算性质计算段(譬+器)的值;
1g411g9lg27)
⑴证明见解析
【分析】(1)设x=k)g,M,化为指数式取对数即可得出.
(2)利用(1)中的性质计算可得.
【详解】(1)证明:因为。>0,且awl,M>0,设x=k»g.M,所以M=",
所以M"=(a")"=d
1
所以log"M"=logna''-nx=nloguM,即log(JM"-«log„A/(neR).
(2)解妲(暨+里吟=里(叱+跤里(些+些工里.9』
J
lg4(Ig9lg27)lg2211g32lg3)21g2121g331g3J21g261g312
20.己知关于x的不等式曾<0的解集为P,不等式,-1<1的解集为Q.
⑴若"=;,求P
⑵若P=(-8,T)U[-;,+<»],求"的值;
(3)若“xeQ”是“xeP”的充分非必要条件,求实数〃的取值范围.
(1)P=(-1,2)
(2)a=-2
(3)(-8,g]
【分析】(1)将a=;代入不等式,将分式不等式化为一元二次不等式,解之即可;
(2)将分式不等式转化为一元二次不等式,根据不等式的解集,结合二次方程根与系数的关系可得
(3)分别确定集合P与。,根据命题的充分必要性可得集合P与Q的包含关系,进而可得实数。的取
值范围.
1-11
【详解】(1)因为所以不等式竺三<0可化为5'T-n,
2x+\-----<u
x+1
也即(x—2)(x+l)<0,解得:-1<X<2,故p=(-l,2).
(2)由不等式号<0可化为(依-D(x+l)<0,因为关于X的不等式警1<0的解集为
P=(_8,_l)u(_g,+8),
所以-1和是方程3T)(x+D=0的两根,
所以。=-2.
(3)因为不等式,一1卜1可化为:解得:0<x<2,所以。=(0,2),又因为“xeQ”是
“xeP”的充分非必要条件,所以。是尸的真子集,
当a=0时,尸=(-1,+8),满足题意;
当a>0时,P=(-1,-),要使。是尸的真子集,则有‘22,所以
当一1<"0时,P=(-®2)U(T,+s),满足。是尸的真子集,
a
当a=—1时,P=(YO,-1)U(-L”),满足。是尸的真子集,
当”-1时,P=(7,-l)U(',+8),满足。是尸的真子集,
a
综上所述:实数。的取值范围为(-8,5.
21.已知一元二次方程以2+fer+c=Om,A,ceR,axO)的两个实根为公,々;
⑴若4=6=1,0(),求|西|+同的值;
⑵若b+c=0,必<0,用反证法证明玉,巧中至少有一个大于等于2;
(3)若3a+2/?+c=(),设必=x,「2(i=l,2),若%,%是方程丁+冲+〃=0(见〃eR)的实根,求实数
,〃的取值范围.
(1)1
(2)证明见解析
(3)(—2]U[2,+°°)
【分析】(1)结合已知条件,利用韦达定理首先判断为与巧的符号,进而即可求出㈤+昆|的值;(2)
首先假设阳,巧都小于2,结合已知条件和韦达定理可得演和巧同号,且‘+'=1,再结合々和々
X]x2
的范围推出矛盾即可证明;(3)首先利用判别式求出王+々的范围,然后结合已知条件并利用韦达定
理求解即可.
【详解】(1)当。=6=1,c>0时,f+x+c
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