2022-2023学年九年级数学专家点拨-开放探究型问题

2。就隼九隼氨数学

状元必读专家点拨

状元必读［明确考Q/注重难点］

一、考点突破

开放探究型问题就开放而言有：条件开放、结论开放与过程开放：就探究而言，可以归

纳为条件探究、结论存在与否探究，这些问题的解决，需要经过探索确定结论或者补全条件,

将开放型问题转化为封闭型问题，再选择合适的解题途径完成最后的解答。近几年还出现了

一些其他形式的开放题，如综合型开放题，主要特征是条件和结论都不确定，需要考生认定

条件和结论，然后组成一个新命题，并加以证明，这种新颖的综合型开放题，将成为中考的

又一亮点。

二、重难点提示

重点：条件、结论、过程开放型试题和条件、结论探究型问题的解决。

难点：通过观察、分析、比较、概括等探索活动确定所需要的条件，所得到的结论。

9伏元娱1丸1【限型例题剖析激:舌解题思维】

能力提升类

例1如图，四边形ABCD是平行四边形，添加7个条件：,可使它成为

矩形。

AD

o

BC

一点通：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角

的平行四边形是矩形，直接添加条件即可。

解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，

故添加条件：90。(或AC=BO等)

评析：此题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键。

例2有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特征：

甲：对称轴是x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3。

请写出满足上述全部特征的一个二次函数的解析式。

一点通：根据题意画出草图，直接写出图象与x轴交点的横坐标，根据以这三个点为顶

点的三角形的面积为3,求出与y轴交点的纵坐标，当其值为正数时即可。

解：如图所示：令A点坐标为(3,0),

•对称轴是x=4,

AB点坐标为(5,0)o

又..•△ABC的面积为3,

一xABxOC—3,

2

即」(5-3)OC=3,

2

故OC=3,

••.C点的纵坐标为3,是整数，符合题意。

设二次函数的解析式为y=a(x-3)(x-5),

把C(0,3)代入解析式得，3=a(0—3)(0—5),

解得a=1，

5

故函数解析式为y=g(x—3)(x—5),

化为一般式为y=1%+3。

故答案为：y=-x2x+y=--x2+—y=—x2-—x+1^4

555577

18,

y=——x2+—x-1o

77

评析：此题考查了利用待定系数法求函数解析式。由于此题有一定的开放性，可根据面

积求出不同的与x轴、y轴相交的点的坐标，得到不同的解析式，故答案不唯一。

综合运用类

k

例3如图，一次函数丫=2*+1)的图象与反比例函数y=—的图象交于M、N两点。

V

(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)在x轴上是否存在点P,使△MOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐

标都求出来；若不存在，请说明理由。

一点通：(1)将点N的坐标代入反比例函数的解析式可求出k的值，将M和N的坐标

代入一次函数解析式，联立求解可得出一次函数的解析式。

(2)分两种情况进行寻找，①当OM为腰时，②当OM为底时，这样即可寻找出符合条

件的点P的坐标。

解：(1)•.,反比例函数y=七的图象过点N(-1,-4),M(2,m),

x

k4

.,.k=(―1)x(­4)=4,m=—=—=2,

22

将点M、N的坐标代入一次函数解析式y=ax+b中，

可得《[2a+b^2，

-a+b=-4

解得《a=2，

h=-2

4

・・・一次函数的解析式为y=2x—2,反比例函数的解析式为y=-

x

(2)0M=,22+2?=2&,0M与x轴的夹角为45。，

①当0M为腰时，由OM=OP得P(2V2,0),P2(-2V2,0)；由OM=MP得P3(4,

0）；

②当OM为底时，得P4(2,0)；

,符合条件的P点有4个，分别为：Pi(2V2,0),P2(-2V2,0),P3(4,0),P4

(2,0)。

评析：此题是考查反比例函数的综合题，涉及用待定系数法求函数解析式及等腰三角形

的知识，综合性较强，解答本题的关键是正确确定两函数的解析式，要求我们能根据函数图

象判断该函数值的大小。

例4矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6,0)、

3

C(0,3),直线y尤与BC边相交于点D。

(1)若抛物线y=o?+嬴(。工0)经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；

(2)若以点A为圆心的。A与直线OD相切，试求。A的半径；

(3)设(1)中抛物线的对称轴与直线OD交于点M,在对称轴上是否存在点Q,以Q、

0、M为顶点的三角形与40CD相似？若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，

试说明理由。

一点通：(1)先求出D点坐标，再把A、D两点坐标代入抛物线y=办2+法联立求解即

可；

(2)过A作AHLOD于H,求出AH的长即是。A的半径；

(3)假设存在，当OQ_LQM时存在Qi，当OQLOM时存在Q2,通过计算验证判断是否

存在。

y=3

解：(1)由《3得D点的坐标为D(4,3)

9

3+X

抛物线y=aY+加:经过D(4,3)、A(6,0),可得y=--X24-

(2)VCD=4,OC=3,OD=742+32=5,sinZCDO=j,过A作AH_LOD于H,

318

则AH=OAsinNDOA=6x—=—=3.6

55

当直线OD与。A相切时，r=3.6

(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点Qi，则点QI符合条件，

VCB//OA,

，ZQiOM=ZODC,

RtAQiOM^RtACDO,

对称轴x—........=31

2a

；.Qi点的坐标为Qi(3,0)o

又过O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q2,则点Q2也符合条件，

♦.•对称轴平行于y轴，

NQ2Mo=/DOC,

ARtAQ2MosRsDOC

在RSQ2Q1O和RSDCO中，QQ=CO=3,

ZQ2=ZODC,

ARtAQ2QiO^RtADCO,

，CD=QIQ2=4,

•.02位于第四象限，...Q2(3,-4)o

因此，符合条件的点有两个，分别是Qi(3,0),Q2(3,-4)。

评析：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、数形结合的数学思想方法，综合

性强，能力要求高。

思维拓展类

例5如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2),点尸是x轴上一点，以线段AP

为一边，在其一侧作等边三角形APQ。当点P运动到原点0处时，记Q的位置为瓦

(1)求点8的坐标；

(2)求证：当点P在x轴上运动(P不与0重合)时，/A8Q为定值；

(3)是否存在点P,使得以A、0、8为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P

点的坐标；若不存在，请说明理由。

一点通：问题(1)利用等边三角形的性质求解。问题(2)在运动过程中始终保持^PAO

丝△ABQ,利用SAS可以说明。问题（3）分情况讨论。

解：（1）过点8作8C_Ly轴，垂足为点C。

「△AOB是等边三角形，点A坐标为（0,2）,

：.AB=BO=OA=2.在心△ABC中，AC=-OA=l,BC=6。

2

...点8的坐标为（代,

（2）,:XAPQ、AAOB是等边三角形，

：.AP=AQ,AO=AB,ZPAQ=ZBAO=60°,

：.ZPAO=ZBAQ.

.♦.△以。丝△AB。。

，NA8Q=NAOP=90°

故当点尸在x轴上运动（尸不与。重合）时.，N48。为定值。

（3）存在点P,使得以A、。、Q、8为顶点的四边形是梯形。

♦.2408=60。，ZOBQ=ZABQ-ZABO=30°,

.'.AO与BQ不可能平行。

①如果A8〃0Q,如图所示，

则NBOQ=/A8O=60°,/0。8=90°,Z060=30°

VOB=O\=2,：.OQ=\,BQ=6

由^PAO^/XABQ可得OP=BQ=6

，点P的坐标为：(―6，0)

②如果AQ//OB,如图所示,此时点A,B,P在同一条直线上,且NAPO=30。在RtAAOP

中，OA=2；.OP=2g,.•.点P的坐标为：(2A/3,0)

因此，存在点P,使得以A、0、Q、B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标为(一6,

0)或(273,0)

评析：本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质。

例6已知抛物线旷=。炉+8%+3(。70)经过A(3,0),B(4,1)两点，且与y

轴交于点Co

(1)求抛物线y=a/+/?x+3(aN0)的函数关系式及点C的坐标；

(2)如图①，连接A8,在题(1)中的抛物线上是否存在点P,使△以8是以AB为直

角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图②，连接AC,E为线段AC上任意一点(不与A、C重合)，经过A、E、O

三点的圆交直线A3于点F,当AO"的面积取得最小值时，求点E的坐标。

一点通：(1)直接用待定系数法求函数解析式；(2)很显然存在点P,只要直接过点A

或点8作AB的垂线与抛物线相交，即为尸点，关键是如何求点P的坐标，考虑到A、B两

点坐标间的关系，与x轴的夹角为45°,可通过构造相似三角形先确定P点的横坐标与纵坐

标间的关系，再由点尸在抛物线上，从而求出点尸的坐标：(3)利用前面的结论，能判断

出AEOF的形状，即可解决问题。

解：(1)将A(3,0),B(4,1)两点代入卜=以2+反+3

后]0=9a+3b+3

]1=16〃+4Z?+3

1

a~-

解得2

b=——

2

・，.解析式为y=一《1x+3

令x=0,y—3,；.C点坐标为（0,3）

（2）若/以8=90。，分别过P、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F（如下图）。

易得△APES/\BAF,且△BAF为等腰直角三角形，

/.△APE为等腰直角三角形。

设PE=a,则P点的坐标为（a,3—a）,代入解析式3—a='片+3,解得〃=0

22

或a=3（与A重合，舍去）

：.P（0,3）

若/PBA=90。，如图，直线与x轴交于点。，分别过P、B作x轴的垂线，垂足分别为

E、F。

由图可得△PE。、△为等腰直角三角形，设PE=a,BODE=a,AB=母,所以

AD=2,则P点坐标为（5—a,a）,代入解析式

11,5

a=-（5—a）?—二（5—a）+3

22

解得a=6,或a=l（与B重合，舍去）

所以P点坐标（一1,6）

综上所述P（0,3）或P（-1,6）

（3）由题意得，/C4O=/OAF=45°

利用同弧所对的圆周角相等，ZOEF=ZOAF=45°,ZEFO=ZEAO=45°

.♦.△EOF为等腰直角三角形，S^EOF=-OE2.

2

...当OE最小时，面积最小。即E为AC中点（』,2）。

22

评析：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的

综合应用是初中阶段的重点题型。数形结合是这部分考查的重点及难点，同学们应重点掌握。

该题在求解时容易找到切入点，要求能灵活运用所学的知识，注意思想方法的运用。

状元名i己【万达妙招及叼总结】

1.开放探究型问题的内容具有新颖性，条件复杂、结论不定、解法灵活、无现成模式可

套用•题材广泛，贴近学生实际生活，不像封闭性题型那样简单，靠记忆、套模式来解题。

2.开放探究型问题的形式具有多样性、生动性，有的追溯多种条件，有的探求多种结论,

有的寻找多种解法，有的由变求变，体现了现代数学的气息，不像封闭性题型般仅形式单一

的呈现和呆板的叙述。

3.开放探究型问题的解法具有发散性，由于答案不唯一，解题时需要运用多种思维方法,

通过多角度的观察、想像、分析、综合、类比、归纳、概括等思维方法，同时探求多个解决

方案。

'学，高频凝点［网员用Q问题透视］

Ix~—4X+4

问题：先化简(1--、)+；，然后从一2W烂2的范围内选取一个合适的整数

x—1x~—1

作为X的值代入求值。

一点通：首先对分式进行化简(把除法转化为乘法)，再进行混合运算(把分式转化为

最简分式)，然后确定X的整数值，把合适的值代入求值，X的值不可使分式的分母为零。

解：原式=2二(x+l)(x-l)_X+1

X—1(x-2)2x-2

x满足一2-2且为整数，若要使分式有意义，x只能取0,一2。

当x=0时，原式=一工(或：当x=-2时，原式=1)。

24

评析：熟练掌握分式运算的法则和运算顺序是解题的关键，并且要注意字母的取值要使

原分式有意义。

状元试题【其族演练，可击1大元】

(答题时间：60分钟)

i.先化简-——,再任选一个适当的无值代入求值。

X22-1X-1

2.如图1,抛物线、=祇2+法+3经过A(-3,0),B(-1,0)两点。

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为直线y=-2%+9与y轴交于点C,与直线OM交于点。。

现将抛物线平移，保持顶点在直线0。上。若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一

个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；

(3)如图2,将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q(0,3)作不平行于x轴的直线

交抛物线于E,尸两点。问在y轴的负半轴上是否存在点P,使△PEF的内心在y轴上。若

存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

3.已知直线y=gx+46与x轴、y轴分别交于A、8两点，ZABC=60°,8c与x轴交

于点Co

（1）试确定直线BC的解析式。

（2）若动点P从点A出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点

出发沿C8A向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点

Q的运动速度是每秒2个单位长度。设AAPQ的面积为S,P点的运动时间为，秒，求S与

/的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

（3）在（2）的条件下，当AAP。的面积最大时，y轴上有一点平面内是否存在

一点N,使以4、。、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若

不存在，请说明理由。

Q

4.平面直角坐标系中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点。（其顶点坐标为3,

RSABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（1,0）,且8c=5,AC=3（如图

2

1）

（1）求出该抛物线的解析式；

（2）将RSABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时，RtAABC停

止移动。D（0,4）为y轴上的一点。设点8的横坐标为m,△。48的面积为5。

①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点。）时，S与相之间的函数关系式，并

写出相应自变量机的取值范围（可在图1、图2中画图探求）；

②当点B位于原点左侧时，是否存在实数处使得△DAB为直角三角形？若存在，直

接写出〃?的值；若不存在，请说明理由。

i3

5.如图，抛物线y=］》2+x—与x轴相交于A、B两点，顶点为P。

(1)求点A、B的坐标；

(2)在抛物线上是否存在点E,使△ABP的面积等于△ABE的面积，若存在，求出符

合条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，

直接写出所有符合条件的点F的坐标。

/\I］(/BX

X.।Y

b

6.如图，矩形OABC中，点0为原点，点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0),

抛物线y=-［犬+fcc+c经过A、C两点，与AB边交于点。。

(1)求抛物线的函数表达式：

(2)点尸为线段8c上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，A。=

CP,连接PQ,设CP=m,ACPQ的面积为S。

①求S关于机的函数表达式，并求出机为何值时，S取得最大值；

4

②当S最大时，在抛物线y=-一/+法+c的对称轴/上若存在点凡使△FDQ为直

角三角形，请直换写出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由。

美好的结局往往来自于艰难的过程.

雪试题答案

1.解：原式=/S1)，「上=四_上=」~，

(x+l)(x-l)x-1x-1x-1x-1

当x=0时，原式=—1

2.解：(1)抛物线丫=加+云+3经过A(-3,0),B(-1,0)两点

9。一3。+3=0i,a=1

解得,

a—/7+3-0b=4

二抛物线的解析式为y=/+4x+3

(2)由(1)配方得y=(x+2)2-1

抛物线的顶点M(—2,-1)

直线。。的解析式为

于是设平移的抛物线的顶点坐标为(h,-h),

2

•••平移的抛物线的解析式为y=(x—h)2+g/z。

.-1±V145

①当抛物线经过点C时，(0,9),：.h2+-h=9,解得h=-----------

24

...当土叵当V上叵!时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点。

44

②当抛物线与直线8只有一个公共点时,

,.,,y=(x-lz)2+—h

由方an程组)2

y=—lx+9

得*2+(—2/?+2)x+h2+-h~9=0,

2

；.△=(-2/?+2)2-4(/I2+-5-/I-9)=0,解得％=4。

2

此时抛物线y=(x-4)2+2与射线CD唯一的公共点为(3,3),符合题意。

综上：平移的抛物线与射线CQ只有一个公共点时，

顶点横坐标的值或取值范围是h=4或土叵当＜T+屈o

44

(3)方法1：

将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为了=/，

设E尸的解析式为y=fcc+3(原0)。

假设存在满足题设条件的点P(0,t),

如图，过P作G//〃x轴，分别过E,F作G”的垂线，垂足为G,Ho

,.•△尸£尸的内心在〉轴上，

NGEP=/EPQ=NQPF=NHFP,：.△GEPsTFP,

.GPGE

••-----=-----f

PHHF

,—xcyp—tkxp+3—t/—、/।、

・・------=---------=---------------,・・2fcrE*XF=(t-3)(XE+XF)

xFyF-tkxF+3-1

y=x2

由《得炉一旅一3=0。

y=kx+3

，尤E+XF=%，XE-XF=-3

：.2k(-3)=(r-3)k

•上0,：.t=-3

・・・y轴的负半轴上存在点P(0,-3),使的内心在)，轴上。

方法2：设E尸的解析式为了=履+3(以0),

点、E,尸的坐标分别为("?，m2)(小«2)

由方法1知：加〃=—3。

如图，作点E关于y轴的对称点R(~m,m2)

作直线FR交），轴于点尸，由对称性知NEPQ=NFPQ,

二点P就是所求的点。

由RR的坐标，可得直线尸R的解析式为y=（〃一加）工+小小

当x=0时，y=mn=—3f

：.P（0,一3）。

轴的负半轴上存在点尸（0,-3）,使APM的内心在y轴上。

3.解：（1）由已知得A点坐标（一4,0）,8点坐标（0,473）,得。4=4,03=443

：.N3Ao=60。

NABC=60。，:.△48C是等边三角形

VOC=OA=4,・・・。点坐标（4,0）

设直线BC的解析式y=kx+b,

'b=46.k=

可得《

4k+b=Q[b=4j3

，直线BC解析式为y=-限+46o

(2)当P点在线段AO上运动时，。在BC边上，作轴。

..QHCQ.QH_2t

•----------，・•----~=-....，QH=y/3t

OBCB4x/38

•••%,2=，尸3=5・4=等(0<£<4)

同理，当点尸在线段0C上运动时，。在AB边上运动,

(3)存在，Ni(4,0),N(-4,8),M(—4,一8),M(—4,—)

23

4.解：(1)由题意设所求抛物线为(x-3)2-1(*)

将点(0,0)代入(*)得.*.y=-x2—3%

22

(2)①当点B位于原点左侧时，如图a,

S—SM)BD+S梯形OCAD-SMBC

=--4-(—TH)+—(4+3)(5+m)—,—

222

3

=—m+10

2

3

・・・S=二机+10(-4.5</H<0)

2

当点B位于原点右侧(含原点。)时，，如图b

=—(4+3)(5+机)——-4-m——=—m+10

2222

/.5=-w+10(0<w<715-2)

2

②当点B位于原点左侧时，如图a,可以知道：

BD2=OB2+OD2=1^+16

A£>2=OC2+(O£>-AC)2=(5+/?j)2+l=m2+10m+26,

AB2=BC2+AC2=34；

222

i.当NBDA=90。时，AB^BD+AD,此时解得q=-l,w2=-4；

ii.当NBAD=90。时，BD2=AB2+AD2,此时解得加=T.4；

iu,当/ABD=90。时，AD1AB2+BD1,此时解得加=2.4(不合题意，舍去)

综上所述，当〃?i=—1,加2=—4,，〃3=—4.4时，ZiDAB为直角三角形。

1313

5.