2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》常考题型训练(附答案)

2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》常考题型专题训练（附答案）

1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于4、8两点，与

y轴交于点C,连接8C,点。为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点

（不与点D重合）.

（1）则/O8C的度数等于.

（2）连接C。、BD、DP,延长。尸交x轴正半轴于点E,且、OCE=S「WOCPB，求此

时尸点的坐标；

（3）过点P作轴交8c于点尸，求线段P尸长度的最大值.

2.已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1,-2）,直线y=Ax+机的图象与该二次函

数的图象交于4、8两点，其中N点坐标为（3,0）,8点在y轴上.点尸为线段Z8上

的一个动点（点尸与点4、8不重合），过点尸且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图

象交于点E.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设点尸的横坐标为x,求线段PE的长（用含x的代数式表示）；

（3）点。为直线28与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、。为顶点的三

角形与△/。8相似，请求出P点的坐标.

3.如图，抛物线y=ax2+x+c(a>0)与x轴交于/(-2,0),B(1,0)两点，与y轴负

半轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点。是抛物线上第三象限内的一点，连接。，若NZ8为锐角，且tan

AACD<—,求点。的横坐标女)的取值范围；

4

(3)如图2,经过定点P作一次函数y=自吟-2与抛物线交于河，可两点.试探究《端■

是否为定值？请说明理由.

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸-春落+且黄叮吟(心0)与x轴交于4(-1,

0),BCm,0)两点，与y轴交于点C,连接8c.

(1)若OC=2O4求抛物线对应的函数表达式；

(2)在(1)的条件下，点尸位于直线8c上方的抛物线上，当△P8C面积最大时，求

点P的坐标；

(3)设直线与抛物线交于8,G两点，问是否存在点E(在抛物线上)，点F

(在抛物线的对称轴上)，使得以8,G,E,尸为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出

点E,尸的坐标；若不存在，说明理由.

5.已知，如图，点M在x轴上，以点加为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于4、8两点，

2

交x轴于C5,0)、D(x2>0)两点，(/<彳2),X［、x2是方程x(2x+l)=(x+2)

的两根.

(1)求点C、。及点M的坐标；

(2)若直线_)?=履+6切。M于点力,交x轴于P,求处的长；

(3)0M上是否存在这样的点0,使点。、A、C三点构成的三角形与△NOC相似？若

存在，请求出点的坐标，并求出过/、C、。三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明

理由.

6.如图，抛物线y=ax2-3以-2交“轴于“、B(A左B右)两点，交y轴于点C,过C

作CD〃x轴，交抛物线于点。，,E(-2,3)在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)P为第一象限抛物线上一点,,过点尸作PFLCD,垂足为尸，连接PE交y轴于G,

求证：FG//DE；

(3)如图2,在(2)的条件下，过点尸作EWLPE于若NO月必=45°,求P点坐

标.

图1S2

7.在直角坐标平面内，直线y=/x+2分别与x轴、y轴交于点力、(:抛物线尸-^+bx+c

经过点/与点C,且与x轴的另一个交点为点8,点。在该抛物线上，且位于直线NC

的上方.

(1)求抛物线的表达式；

⑵连结BC、8D,且BD交4c于点E,如果△/8E的面积与的面积之比为4：

5,求NDB4的正切值；

(3)过点D作DFLAC,垂足为点F,连结CD.若△CFO与△ZOC相似，求点D的

8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+2x-3交x轴于点4、8,交y轴于点C.

(1)如图1,连接8C,过点”作y轴的平行线交直线8c于点E,求线段8E的长；

(2)如图1,点P为第三象限内抛物线上一点，连接AP交BC于点、连接5P,记4

8。尸的面积为防，的面积为$2,当红的值最大时，求出这个最大值和点尸的坐

S2

标；

(3)在(2)的条件下，将抛物线y=x2+2x-3沿射线BC方向平移近个单位，平移后

的抛物线与原抛物线交于点G,点、M为平移后的抛物线对称轴上一点,N为平面内一点，

是否存在以点。、G、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若

不存在，则请说明理由.

9.如图所示，抛物线y=ax2+M8(a<0)交x轴负半轴于N点、交x轴正半轴于8点,

与y轴交于C点，且2OB=OC,抛物线的对称轴与直线BC交于点M,与x轴交于点N.

(1)请写出8点坐标及。的值；

(2)若点尸是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、/为顶点的三角形与相

似？若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)。为C。的中点，一个动点G从。点出发，先到达x轴上的点£,再走到抛物线对

称轴上的点R最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点从厂的位置，

写出坐标，并求出最短路程；

(4)若点。(x,y)是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点。

为直角顶点的等腰RtZkC0R?若存在，求出点。的横坐标x的值，若不存在，请说明理

抛物线的顶点为。，连接力C,CD.

(1)求直线XC的函数表达式；

(2)求抛物线的函数表达式及顶点。的坐标；

(3)过点。作x轴的垂线交AC于点G,点H为线段CD上一动点，连接GH,将△Z>G”

沿G“翻折到△GM?(点R,点G分别位于直线8的两侧)，GR交CD于点、K,当4

G〃K为直角三角形时.

①请直接写出线段HK的长为:

②将此Rt4G//K绕点〃逆时针旋转，旋转角为a(00<a<180°),得到若

直线分别与直线8,直线。G交于点P,Q,当△OPQ是以尸。为腰的等腰三角形

时，请直接写出点尸的纵坐标为.

11.如图，抛物线y=-另,遥+后+以经过矩形04SC的/(3,0),C(0,2),连接05.D

为横轴上一个动点，连接8,以CD为直径作。M,与线段有一个异于点。的公共

点、E,连接。E.过。作。尸_LQE,交OM于F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)tan/FAC的值；

(3)①当点。在移动过程中恰使尸点落在抛物线上，求此时点。的坐标；

②连接8尸，求点O在线段04上移动时，8F扫过的面积.

12.已知抛物线的顶点/(-1,-4),经过点8(-2,-3),与x轴分别交于C,。两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图1,点/是抛物线上的一个动点，且在直线08的下方，过点〃作x轴的平行

线与直线08交于点N,当取最大值时，求点"的坐标；

(3)如图2,/E〃y轴交x轴于点E,点尸是抛物线上心。之间的一个动点，直线PC,

PO与4E分别交于凡G,当点P运动时，

①直接写出EF+EG的值；

②直接写出tan/ECF+tan/EDG的值.

13.如图1,抛物线C：y=aN+fcr经过点/(-4,0)、8(-1,3)两点，G是其顶点，

将抛物线C绕点。旋转180°,得到新的抛物线C'.

(1)求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；

(2)如图2,直线/：-与经过点力,。是抛物线C上的一点，设。点的横坐标

为加(〃?<-2),连接。。并延长，交抛物线C'于点E,交直线/于点”,若DE=2EM,

求m的值；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接4G、在直线OE下方的抛物线C上是否存在

点尸，使得NDEP=NG4B?若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

14.抛物线y=x2-2〃x+lQ>1)与x轴交于/,8两点(/在8的左侧)，与y轴交于点C,

顶点为D.

(1)若a=2,求/,B,C三点的坐标；

(2)如图1,若N/CB=45°,求”的值；

(3)如图2,过点C作CE〃/8交抛物线于另一点E,以CE为直径作。尸，求证：直线

AD与OP相切.

15.如图，抛物线尸为2-4x+6与x轴交于/,8两点(/在8的左边)，与y轴交于点

C,连接/C,8C,点。在抛物线上一点.

(1)求证：△08C是等腰直角三角形.

(2)连接。C,如图1,若BC平分N4CD,求点。的坐标.

(3)如图2,若点。在线段8c的下方抛物线上一点，画。E_L8C于点E.

①求。E的最大值.

②在线段CE上取点F,连OF,DF,若NEDF=NACB,且点C关于直线。尸的对称点

恰好落在抛物线上，求点。的坐标(直接写出答案).

16.如图，抛物线_y=/x2+bx+c与X轴交于Z、3两点(点/在点8左边)，与y轴交于点

C,直线＞=工》-2经过8、C两点，点尸是抛物线上一动点.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)当抛物线上的点P的在8c下方运动时，求△BC尸面积的最大值；

(3)连接0尸，把△OCP沿着v轴翻折，使点尸落在尸'的位置，四边形”。尸能否

构成菱形，若能，求出点P的坐标，如不能，请说明理由.

17.如图，直线y总x+2与X轴，V轴分别交于点4C,抛物线yM-^x'bx+c经过4C

两点，与X轴的另一交点为艮

(1)求的函数表达式；

(2)点O为抛物线上一动点，直线8。交直线/C于点氏

①当点。在直线/C上方运动时，连接8C,CD,设直线8。交线段ZC于点E,/XCDE,

S,

△8CE的面积分别为品，52，求」的最大值；

S2

②若直线CD交抛物线对称轴于点足当£F〃BC时，直接写出点。的横坐标.

18.如图，已知抛物线与x轴交于点4,B；与y轴交于点C,KOC=OB=2OA,对称轴

为直线x=l.

(1)求抛物线的解析式.

(2)若点、M,N分别是线段ZC,8c上的点，且MN〃AB,当MN=2时，求点A7,N

的坐标.

(3)D是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在不与点D重合的点E,使得ABCE与4

88的面积相等？若存在，请求点£的坐标；若不存在，请说明理由.

19.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+/>x+c(aWO)的顶点坐标为C(3,6),

并与y轴交于点2(0，3),点N是对称轴与x轴的交点.

(1)求直线AB和抛物线的解析式；

(2)如图①，尸是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，求点P到直线距离的最

大值；

(3)如图②，在对称轴ZC的右侧作NZC£>=30°交抛物线于点。，在夕轴上是否存在

点0,使NC0D=6O°?若存在，求点。的坐标；若不存在，请说明理由.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y$2+bx+c与x轴交于点2(-1,0),B

(3,0),与y轴交于点C,连接8c.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点。(m,0)为线段。8上一动点(不与O,8重合)，过点。作平行于y轴的直

线交8c于点交抛物线于点M是否存在点。使点M为线段ON的三等分点，若存

在求出点。坐标，若不存在请说明理由；

(3)过点。作直线/〃8C,点尸，0为第一象限内的点，且0在直线/上，尸为/上方

抛物线上的点，是否存在这样的点尸，Q,使若存在直接写出P,。坐

标，若不存在请说明理由.

参考答案

1.解：(1)'：y=x^-2x-3=(x-3)(x+1),

.••由题意得，/(-1,0),8(3,0),C(0,-3),D(1,-4).

在RtZXOBC中，

•：OC=OB=3,

...△OBC为等腰直角三角形，

.../QBC=45°.

(2)如图1,过点。作轴于〃，

图1

'：OH=l,OC=3,HD=4,HB=2,

I7

-S^OCDH=j<OC+HD>OH=j,

.&-15

・,»四边形

=

•*,S&OCE=S四边形OCDB=~Yy・OC-QE，

：.OE=5,

：.E(5,0).

设联：y^kx+b,

,:D(1,-4),E(5,0),

.[-4=k+b

，，(0=5k+b，

解得代1,

[b=-5

♦■'DE：yx-5•

・・・。£交抛物线于P,设尸(x,y),

Ax2-2x-3=x-5,

解得x=2或x=l(。点，舍去),

・•xp2,\[DE：y%-5,

：.P(2,-3).

(3)如图2,

设y=ax+f(。*0)，

♦：B(3,0),C(0,-3),

.f0=3a+t

解得[a",

[t=-3

:・IBC：y=x-3.

丁尸在5c上,

：.yF=xF-3,

・・,尸在抛物线上，

••yp=Xj?-2xp-3,

工线段PF长度=y尸-力=盯-3-(4＞2-2xP-3),

•XPXp-9

...线段尸尸长度=-x/+3xp=-(孙-_1)2+.，(1＜盯＜3),

...当Xp=5•时，线段PF长度最大为g.

24

2.解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2,

,：A(3,0)在抛物线上，

.*.0=«(3-1)2-2

•.Q-----,

2

：.y=—(x-1)2-2,

2

(2)抛物线与y轴交点8的坐标为(0,-4),

设直线AB的解析式为>=丘+加，

3k加二。

・・.3，

m=­

直线AB的解析式为y=^x-

,••尸为线段AB上的一个动点，

1Q

，「点坐标为(x,—x--(0<x<3)

22

由题意可知PE〃夕轴，点坐标为(x,yx2,x-2),

V0<x<3,

,,.PE=(―x--)-(―x2-x--)=--x2+—x,

222222

(3)由题意可知。点横坐标为x=l,又。点在直线上,

二。点坐标(1,-1).

①当NEDP=90°时，/\AOB^/\EDP,

•.•AB—PE•

OBDP

过点D作DQLPE于。，

.'.XQ—Xp—Xt）；Q=~1,

...△DQPsAAOBsAEDP,

.DPAB

"DQ"OA'

又。/=3,OB=—,AB=^^~,

22

又DQ=x-1,

V5

：.DP=^~（x-1）,

2

3V5123

2E*4Tx

：・上二近（八’

2V（x-1）

解得：x=-1土加（负值舍去）.

：.P（V6-1,彗吆）（如图中的P［点）;

②当NOEP=90°时，△ZOBS/LDEP,

.OADE

••~~•

OBPE

由（2）PE^-—x24—x,DE=x-1,

22

3xT

解得：x=l土质,（负值舍去）.

...P（1WL除一

1）（如图中的22点）；

综上所述，P点坐标为（a-1,杏吆）或（1+VL孝-I%

,f4a-2+c=0

•«<，

,a+l+c=O

解得：[好1,

\e=-2

,该抛物线的解析式为y=x2+x-2；

(2)如图1,过点Z作使/E[=1/C,连接4与交抛物线于点。过点与

作E/1_Lx轴于点如，

*.y=x2+x-2,令x=0,得y=-2,

：.C(0,-2),又4(-2,0),

：.OA=OC=2,

•••△O4C是等腰直角三角形，

:.AC=2®,ZOAC=45°,

.•.g=Lc=恒，

142

,

：ZCAEl=90°,

Q

AZE\AFl=45,

VZAF{E}=90°,

：.^AElFi是等腰直角三角形，

：.AF}=E/i=*_4与=¥-

IQ

：.OFX=OA-AF1=2-

——iz+h=—

设直线C［解析式为了=履+6贝I22,

,b=-2

解得：3,

,b=-2

二直线CEX解析式为y=~^x-2,

o

，5

y=-7x-2

联立方程组得O

9

by=x+x-2

8

x,=0X2=^3

解得:（舍去），,

Yl=-222

介方

./822、

••Dn\（_,），

139

同理可得：D-空），

525

为锐角，且tanN/COC工,

4

.8.^8

又•.•点。是抛物线上第三象限内的一点,

/.-2<XD<一卷；

（3）1-+工是定值.理由如下:

PMPN

设A/（X］,«V］），N（工之，），

.•・町+12=左一1，xlx2=-

-

,：yx—kxx-^-2,乃=履2吟2，

=

.•.乃-y2k5-x2),

22

•'•(x1-x2)+(y1-y2)

=V1+k2(x「X2)2

=22

V1+k(xj+x2)-4X£X2

=尼?、(1)2-4>(营)

=1+N,

.点尸是直线＞=质将-2上一定点,

/.P(--，-2),

2

=（1+启），鼠/2卷（x［十、2）勺］2

=(1+N)J[4卷(kI)]]2

=—(1+k2)

4

=—MN,

4

.i.iPMPNJOJL

,(I—"_+—~—

PMPNPIbPN1M

.M1rN

4.解：（1）,・1的坐标为（-1,0）,

：.OA=\,

•・•00=204,

：.0C=2,

・・・C的坐标为（0,2）,

将点C代入抛物线y=-志2嘴卷（朋＞0）,

鹫=2,即m=4,

二抛物线对应的函数表达式为y=--j-x2+-|x+2；

（2）如图，过P作轴，交.BC于H,

由（1）知，抛物线对应的函数表达式为y=-m2得x+2,m=4,

:.B、C坐标分别为8（4,0）、C（0,2）,

设直线8C解析式为〉=履+〃，

则产2，解得k—,

14kg0[n=2

二直线BC的解析式为y=-^x+2,

设点P的坐标为(m,ZM2+—/n+2)(0<w<4),则"(m,-—zn+2),

222

1Q1

/.PH--—加2+_■加+2-(-^〃?+2)

222

=-

2

=--(加2-4〃?)

2

=(72?-2)2+2,

2

,S&PBC=S>CP/S&BPH，

,,,S^PBC=^PH，~xc\

=y[-y(m-2)2+2]X4

=-Cm-2)2+4,

二当机=2时，△P8C的面积最大，此时点P(2,3)；

(3)存在，理由如下：

•.•直线y=Lx+6与抛物线交于8(用，0),

2

直线BG的解析式为y^x-，■加①，

•••抛物线的表达式为尸-亲2+吩.哩②，

联立①@解得，1，或［X;

y=-ynrl{y=0

G的坐标为(-2,-—m-1)>

2

抛物线尸-会2”|乂+号的对称轴为直线X=H|L

...点尸的横坐标为早，

2

①若BG为边,

不妨设E在x轴上方，如图，过点£作轴于”,

设£'的坐标为(/,--/2+m,

222

VZGBE=90°,

：.NOBG=NBEH,

proI

tanZOBG=tanZBEH=—=—，

EH2

IU-t_A,

•,12m-1m2'

亍b2Xr2

解得：t=3或机(舍)，

的坐标为(3,2m-6),

由平移性质，

得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标,

•:EF〃BG旦EF=BG,

，£•横坐标向左平移加+2个单位，

得：到下的横坐标为3-(w+2)=-机+1,

-

•.•-m--l--_-/%+,1,，

2

解得〃7=1,

：.E(3,-4),F(0,

2

这说明£不在x轴上方，而在x轴下方；

②若BG为对角线，

设8G的中点为

山中点坐标公式得服=粤2，勺=*箸，

的坐标为（正2,1m」），

242

•••矩形对角线8G、EF互相平分，

也是EF的中点，

.♦.E的横坐标为喀，

2

2

的坐标为（包二3,匹黑壮）,

28

VZBEG=90°,

：,EM=L^,

2「

ziti-3iti-2A2rm+2m-3m1x2_1~~71~72

整J理得：（加用）（加）

16+2+4+i2=20+22,

变形得：16+[（加+2）2_3]2=20（〃?+2）2,

换元，令£=（加+2）2,

得：26什25=0,

解得：1=1或25,

・・・（加+2）2=1或25,

V/«>0,

・••加=3,

即E的坐标为（0,3）,

2

产的坐标为（I,-4）,

综上，即£的坐标为（0,—）,尸的坐标为（1,-4）或E（3,-4）,F（0,

22

5.解：（1）x（2x+l）=（x+2）2整理得，x2-3x-4=0,

解得手=-1-X2=4,

...点C、D的坐标是C（-1,0）,D（4,0）,

*=1.5,

2

...点M的坐标是(1.5,0),

故答案为：C(-1,0),D(4,0),(1.5,0)；

(2)如图，连接则4W=2.5,

在RtA/10M中，/°=JAM2-OM=A/2.52-1.52=2，

...点/的坐标是(0,2),

'：PA与相切，

J.AMLPA,

：.ZMAO+ZPAO=90°,

又,.,4M0+NM40,

二ZAMO^ZPAO,

在△ZOM与△/>(?/中，,

lZAOM=ZPOA=90°

二△AOMSAPOA,

.AM_OM

••市一而‘

即&

PA2

解得以驾；

3

(3)存在.

如图，连接ZC、AD,

：.ZCAD=90°,

在△/co与△ocz中，("AC。=2DCA,

lZAOC=ZDAC=90°

AACOsADCA,

...存在点0,与点。重合时，点0、/、C三点构成的三角形与△4OC相似,

此时，设过点工、C、0的抛物线是y=ax2+6x+c,

a-b+c=0

则T6a+4b+c=0.

c=2

ri

解得，

b-2

.c=2

.•.过Z、C、。三点的抛物线的解析式为：尸-尹+_1x+2.

如图，

连接并延长交。M于0,连接C。，

/.ZAQC^ZADC,

♦；NADC=NCAO,

；/。是。加直径，

/.ZACQ=90°=ZAOC,

：.AAOC^AQCA,

,：A(0,2),M(1.5,0),

：.Q(3,-2),

同上的方法，过4C、。三点的抛物线的解析式为：、=-旦》2+工x+2.

66

6,解：(1)・・・E(-2,3)在抛物线、=4婷-36-2上，

•*.4a+6a-2=3,

解得：a=—>

2

・••抛物线解析式为尸去2-_|x-2.

1Q

(2)证明：・・・、=冷"—彳4一2=0时，解得：町=-1,X2=4,

：.A(-1,0),B(4,0),

1Q

Vx=0时，y=^x2-寸一2=-2,

：.C(0,-2),

,点。在抛物线上，且CZ)〃x轴,

：.D(3,-2),

设直线DE解析式为

,f3k+b=-2解得：”=-1

{-2k+b=3[b=l

，直线DE：y=-x+\，

♦.•点尸为第一象限抛物线上一点,

，设点P坐标为G,—r2-—r-2)(t>4),

22

设直线PE解析式为y=cx+d,

r-2c+d=3t-5

・1123,解得：，

ct+d=-t-1-2

,d=t-2

二直线PE：y^^-x+t-2,直线PE与y轴交点G(0,t-2),

"：PF±CD于点F,

：.F(/,-2),

设直线FG解析式为y=exH-2,

把点尸代入得：，e+L2=-2,

解得：e=~1,

J.FG//DE,

(3)延长尸。、尸E相交于点M过点〃作MG'，尸F于点G',过点、N作NHLMG，

交G'〃的延长线于点〃，

AZFG1M=/MHN=90",

•・・/历_1_0后于〃，

：.ZFMN=90°,

:・/FMG'+ZNMH=ZMNH+ZNMH=90°,

AZFMG1=NMNH,

u：ZOFM=45°,

AZWF=180°-4FMN-/OFM=45°,

:・FM=MN,

在△尸G'M与AMHN中

'/FG'M=ZMHN

NFHG'=NMNH,

,FM=MN

J./XFG'Mm丛MHN(AAS),

：.FG'=MH,MG'=NH,

,：F(Z,-2),

；・直线OF：y—~"—Xf

t

;点M在直线PE：y~X~^x+t-2上,

2

.,.设M(.m,-/»+?-2),

2

、

：.MGf=t-nt,FGr---5〃?+।，.-2c-(/-2g)-_--t--_-5--〃?+./>,

22

_22t(2-t)

=

y­x*(t-1)(t-4)

解得：

t-50_4(『2)'

y^y-x+t-27(t-1)(t-4)

2t(2-t)4(t-2)

：.N(),

(t-1)(t-4)'(t-1)(t-4)

2t(2-t)rr_t^5.c4(t-2)

:.MH=m-r---r-)----r-,NArH-----m+t-2~----r-7---r-,

(t-1)(t-4)2(t-1)(t-4)

2t(2-t)

-2-iri+t=in_(t-l)(t-4)

t-504(t-2)

t-m=>+t-2-(t_i)(L4)

t2=-l

解得：122（舍去）,

、叫=丁产=-可

.•.;>=[><36-3x6-2=7,

P22

二点P坐标为(6,7).

解法二：过点G作GHLPF于H,交FM于N,连接OM设尸(a,—a2-—a-2),设

22

NH=b,

图2

由△GHP^/\FHN,推出NH=PH=b,

证明ON=OC+NH=b+2,

在RtaOGN中，则有(6+2)2=(°-2)2+(a-b)2,

ja(a-2)

a+2

Xb=PH=—a(a-5),

2

.a(a.-2)a(a-5)

a+22

/.a2-5a-6=0,

；.Q=6或-1(舍弃),

得y=2；令y=0,得x=-4,

故4(-4,0),C(0,2).

把/、C两点坐标代入抛物线尸-尹+bx+c中，则得:

(3

产2，解得:

(-8~4b+c=00=2

所以抛物线的表达式为歹=卷*2-1、+2・

(2)如图1,过点E作E77J_%8于〃，

当y=0时，-*^~乂2-«^^+2=0，解得：Xj=-4,工2=匕

故点8坐标为(1,0),A(-4,0),

二%BC=/X(1+4)X2=5，

的面积与△4BC的面积之比为4：5,

・・S△/3£=4,

设点E坐标为(x,/x+2)，

gx(1+4)Xgx+2)=4,解得：x=-1.

故点E坐标为(-冷，).

55

55

8_

在RtZ\8，E中，tanNE8"=眼=*=旦.

BH99

5

即NO84的正切值为§.

9

(3)；N4OC=NDFC=90°,

二分两种情况讨论：

①若NDCF=N4CO,贝lJ△。CEs△zco,如图2,

过点D作DGLy轴于点G,过点C作CQLDC交x轴于点Q.

：.ZDCF+ZACQ=90°,

AZACO+ZACQ=90°,

又/ZCO+/C4O=9(r,

二NACQ=NCAO.

：.AQ=CQ.

设点。坐标为(m,0),则w+4=Jm2+22,解得：m=-y.

•••点。坐标为(得，0).

VZQCO+ZDCG=9QQ,ZQCO+ZCQO=90°,

,ZDCG^ZCQO.

又,.•/OGC=/QOC=90°,

:.△DCGsXCQO.

.DG^C即至必=2=2

♦•COFQ'1GC-OQ33-

2

设。G=4f,GC=3t,则点。的坐标为（-433f+2）,

将。点坐标代入y=4"x+2，得：

-84+6什2=37+2,解得：/,=0（舍去），Z=—.

'28

故点。坐标为（-且，型）.

28

②若/OCF=/C4。，则△OCFs^ao,如图3,

贝ijCD//AO,

...点。的纵坐标为2,把了=2代入＞=总*2-1x+2,得:

+=t

-~X^^~X2^解得：X]--3,x2=0（舍去）.

.•.点。的坐标为（-3,2）.

图1

8.解：(1)如答图1所示，作/£〃>轴交8c的延长线于点E.

令y=N+2x-3中y=0,得方程W+2x-3=0,解得：修=-3,巧=1;

令y=x2+2t-3中x=0,得y=-3,

则得点/(1,0),8(-3,0),C(0,-3).

：.BO=OC=3,04=1.

；NBOC=90°,

5C=22

VB0+OC=49+9=36.

又OC//AE,

••黑嘴，即葺-^~，解得：CE=M，

0ACE1CE

故线段BE=BC+CE=3>/2W2=4V2.

(2)如答图2,在答图1基础上，作尸尸〃NE交8c于尸.

设直线8c的解析式为y=fcr+6,代入8（-3,0）、C（0,-3）,

-3=b，解得:"“I.

0=-3k+b[b=-3

则直线BC的解析式为y=-x-3.

设点尸坐标为（a,京+2“-3）,点尸坐标为（a,点E坐标为（1,-4）,

则PF=-a-3-（展+24-3）=-展-3a,AE=4.

由尸尸〃/E,可得ADFPsADEX,

2

.DP_PF_-a-3a_1(3)2F

*'DA-AE~"N'a?下

又△8Z）P与的底可分别看成是。P、DA,而高相等,

.••当a=/•时，亘有最大值，最大值为且，此时点尸坐标为（旦，工）.

2s21624

（3）存在以点。、G、M,N为顶点的四边形是菱形，理由如下：

在（2）的条件下，点尸坐标为（-3,一坦）.

24

设直线4尸表达式为代入4、尸坐标，得：

仇而

*153，解得：

,3,

丁？旭n，

则直线AP表达式为尸卷

y=-x-3

:弓，即点。坐标为（咯，¥）.

联立33,解得：

y=—Y--1255

r22

,.»=N+2x-3=（x+l）2-4,

又将抛物线y=N+2x-3沿射线BC方向平移近个单位，实际上等同于将该抛物线向右

平移1个单位，再向下平移1个单位，

则新抛物线的解析式为y=N-5.

联立y=x：-5，解得尸：

2

ky=X+2X-3|y-4

即点G坐标为（-1,-4）.

（为了便于观察，现将图象简化，略去平移前的函数图象，只保留平移后的图象）.

平移后的二次函数解析式为y=x2-5,则对称轴为x=O,

故点M坐标可设为（0,加），点N坐标（a,b）.

当DG为菱形的边时：

①以点。为圆心，OG为半径画圆交y轴于点M|、Mv作。轴于点，，如答图3.

止匕时，DG=DM\=DM2+（卷，

.•.必为=加[2_0/=^-=M2H.

故可得点（o,国二12）、M2co,二12）.

55

由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：

xG+xM=xD+xJI

点N［（上,V59-20/（上，_相+20）

5555

②以点G为圆心，DG为半径画圆交歹轴于点心、%，作轴于点/,如答图4.

此时，GD~GM3=GM，=，GI=1,

，/%=/}]n2-612

故可得点用3（0,痛二20）、%（0,痛±20）,

55

由菱形对角线性质和中点坐标公式可得:

/63『丫/4

3

_l+a=_T~+0

解得:

即4K12遮-20

-4+b=--H--------------

’3

-l+a=--+0

o

或（/解得:

「,「12V43+20

-4+b*M——

点/2届T2）,%（2,一加2）,

5555

当。G为菱形的对角线时，则为另一对角线，如答图5.

则有此Q=%G,亦即％£>2=M5G2.

22

(-4-0)+(^-m)=(-1-o)2+(-4-m)2,

55

解得：m=Jl.

5

即点％(0,-g),由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：

5

0+a=-l-^-f8

■17球解得：5，

——+b=-4--1b=-3

55

则点外坐标为(1，-3).

综上所述，点N的坐标为(-j-,"-20.)或(咯一^^20)或皑,返盥2)

555555

答图5

答图4

答图3

・・・OC=8.

又・；2OB=OC,

：.08=4.

.,.点8的坐标为(4,0),

将8(4,0)代入y=aN+2x+8,得0=16。+8+8

解得a--1；

（2）存在，理由:

由（1）知，抛物线的表达式为y=-N+2x+8.

图1

则以P、C、M为顶点的三角形与△MN8相似时，则P'C〃x轴,

则点尸’的坐标为（1,8）；

当/PCM为直角时,

q1

在RtAt?5C中，设/C80=a,则tan/C80=—=2=tana,则sina——72:^,cosa=—

4V5V5

在中，NB=4-1=3,

则即=3立,

cosQ

同理可得，MN=6,

由点8、C的坐标得，5C=^g2+^2—4\[S,则CM=BC-,

在RtZ\PCN中，/CPM=NOBC=a,

提

则PM=一」」一-2_5

sinCl一加丁

E17

则PN=MN+PM=6+^-=—,

22

故点。的坐标为（1,—

2

故点P的坐标为(1,8)或(1,1•)；

2

(3)•••£)为CO的中点，则点。(0,4),

作点。关于函数对称轴的对称点C'(2,8),作点。关于x轴的对称点。'(0,-4),

连接C'D'交x轴于点£,交函数的对称轴于点尸，则点E、尸为所求点，

图2

理由：G走过的路程=。£+£7斗尸C=O'E+EF+FC1=C'D'为最短,

由点C'、D'的坐标得，直线C'D'的表达式为y=6x-4,

对于y=6x-4