2022-2023学年八年级数学上学期课后培优分级练(北师大版)1

1.3勾股定理的应用

但课堂知识梳理

勾股定理的应用：1、几何体表面上两点之间的最短距离：长方体、圆柱体；2、利用勾股定

理解决实际问题.

解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体

步骤大致可以归纳如下：

1.审题——分析实际问题；

2.建模——建立相应的数学模型；

3.求解——运用勾股定理计算；

4.检验——是否符合实际问题的真实性.

M课后培优练

‘培优第一阶——基础过关练

1.如图：有一圆柱，它的高等于8cm,底面直径等于4cm（兀=3）,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想

吃到上底面与4相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（）

B.12cmC.19cmD.20cm

【答案】A

【解析】

【分析】

首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得A8最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程.

【详解】

解：将此圆柱展成平面图得:

•圆柱的高等于8cm,底面直径等于4cm(兀=3),

，4C=8cm,2c=；x4jt=6(cm)

^B=yjAC2+BC2=^82+62==10(cm).

答：它需要爬行的最短路程为10cm.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答

是解题关键.

2.《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是:

如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面

多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是()

C.x2+(10-x)2=32D.%2+32=(10-X)2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意结合勾股定理列出方程即可.

【详解】

解：设折断处离地面x尺，

根据题意可得：/+32=(10-x)2,故选：D.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是

解题关键.

3.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当他把绳子的下端拉开5m后，发现

下端刚好接触地面，则旗杆的高为()

A.12mB.10mC.13mD.8m

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，画出图形，设旗杆的高为：xm,则绳子4c的长为(x+1)加，再由勾股定理，即可求解.

【详解】

解：根据题意，画出图形，BC=5m,如下图：

设旗杆的高为:xm,则绳子AC的长为,

在府AASC中，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2,即

%2+52=(x+l)2,

解得：x-12,

即旗杆的高为12"?.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，能够正确根据题意画出图形，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题

是解题的关键.

4.如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长至少要米

【解析】

【分析】

地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，根据题中已知条件，利用勾股定理求出水平距离即可.

【详解】

解：根据勾股定理得楼梯水平长度为=而==12米，则红地毯至少要5+12=17米，

故答案为：17.

【点睛】

本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，明白地毯长度的构成：水平宽度+垂直高度，准确使用勾股定理

求解是解决问题的关键.

5.我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中'’问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，

引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？(1丈=10尺).意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的

正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边(芦苇没有折断)，刚好贴在池边上，问：芦苇长多

少尺？答：芦苇长K.

【答案】13

一］丈一H

【解析】

【分析】

设水深O8=x尺，则芦苇长(x+1)尺，根据勾股定理列方程求解即可.

【详解】

解：根据题意，设水深OB=x尺，则芦苇长(x+1)尺，根据题意列方程得：/+52=(x+l)2,

解得：x=n

.♦.04=13尺.

故答案为：13.

A

此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，根据勾股定理列方程求解.

6.如图，长方体鱼缸长宽高分别为120cm,50cm,40cm,一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬

到内侧点E处，点E在棱功7上且距离上沿10cm,壁虎爬行最短路程是cm.

【答案】130

【解析】

【分析】

根据题意，要爬行到内侧点E处，可作出点E关于，。'的对称点E',连接/E',利用勾股定理求解即为爬

行的最短路程.

【详解】

解：作点E关于/3'的对称点E',连接

根据题意可得：=£>'£=10,4)=120,

£)E=40+10=50,

在mAADE'中,

AE'=>JAD2+DE'2=130>

...爬行的最短路程为130cm,

故答案为：130.

【点睛】

题目主要考查轴对称的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形是解题关键

7.如图，池塘边有两点4,B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m,4c=20m,则

A,8两点间的距离为___m.

4072【解析】

【分析】

由勾股定理即可完成.

【详解】

Rt^ABC中，ZCAB=90°,4C=20m,8c=60m,由勾股定理得：

AB=y]BC2-AC2=V3600-400=4072(m)

即4、B两点间的距离为40匹m.

故答案为：40>/2.

【点睛】

本题主要考查勾股定理在实际测量中的应用，关键是掌握勾股定理.

8.如图，将一根长为24cm的筷子置于底面直径为12cm,高为16cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外

面的(/?的长度)最短长度为cm.

【解析】

【分析】

先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可.

【详解】

解：设筷子露在杯子外面的长度为BC,

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时3c最小，

如图所示：

此时，AB=ylAD2+BD2=7122+162=20(cm),

D

故8c=24-20=4(cm).

故筷子露在杯子外面的最短长度为4cm.

故答案为：4.

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键.9.一架云梯长25m,如图

那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m.

（1）这架云梯的顶端距地面有多高?

（2）如果云梯的顶端下滑了4m,那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗?

【答案】⑴24m；（2）不是.

【解析】

【分析】

（1）如图（见解析），在中，利用勾股定理求出AC的长即可得:

（2）如图（见解析），先根据线段的和差可得C。的氏，再在MZXCDE中，利用勾股定理可得CE的长，然

后利用线段的和差可得8E的长，由此即可得出结论.

【详解】

解：（1）如图，由题意得：AB=25m,BC=7m,AC±BC,

则由勾股定理得：ACNAB—BC。=4252-72=24(m)，

答：这架云梯的顶端距地面24m；

(2)如图,由题意得:AD=4m,DE=AB=25m,

则8=AC-AD=20m,

由勾股定理得：CE=]DE?-CD。=J252-202=15(m)，

则3E=CE-BC=8mH4m,

答：云梯的底部在水平方向不是滑动了4m.

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键.

10.在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当

行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点,

己知该路段限速60h〃//z,请判断李叔叔是否超速，说明理由.

【答案】李叔叔不超速，理由见解析

【解析】

【分析】

先根据勾股定理计算8c的长，可计算李叔叔行驶的速度，统一单位后与60h”〃?作比较可得结论.

【详解】

解：李叔叔不超速，理由如下：

如图，

用△ABC中，AC=7,AB=25,

cB

由勾股定理得：BC=y]252-72=24,

v=24-rl.5=16(nils)=57.6(km/h),

V57.6<60,

李叔叔不超速.

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是把速度的单位统一.11.有一台风中心沿东西方向A8由点A行

驶向点B,已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A.B的距离分别为300km和400km,又A8=500km,

以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域.

(2)若台风的速度为20km/h,台风影响该海港持续的时间有多长？

【答案】(1)海港C会受到台风影响，理由见解析

(2)台风影响该海港持续的时间有7h

【解析】

【分析】

(1)利用勾股定理的逆定理得出△△8c是直角三角形，进而利用三角形面积得出CO的长，进而得出海港

C是否受台风影响：

(2)利用勾股定理得出EO以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间.

(1)解：海港C受台风影响.

理由：如图，过点C作于O,

J.AC?+BC^AB2,

...△48C是直角三角形,

：.AC^BC=CDxAB,

.,.300x400=500xCD,

300x400

，CD==240(km),

500

以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域,

二海港C受到台风影响：（2）解：当EC=250km,FC=250km时，正好影响C港口,

•:ED=dEc2_CD?=7Q(km),

/.£F=140km,

•••台风的速度为20km/h,

/.1404-20=7（小时），

即台风影响该海港持续的时间为7h.

【点睛】

本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理

解答.

，培优第二阶——拓展培优练

12.将一根长25cm的筷子，置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长

为〃cm,则/I的取值范围是（）

A.0</z<13B.12</J<13C.\\<h<\2D.13</z<25

【答案】B

【解析】

【分析】

根据杯子内筷子长度的取值范围得出杯子外面筷子长度的取值范围，即可得出答案.

【详解】

解：:,将一根长为25cm的筷子，置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，

二在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度,

...当杯子中筷子最短是等于杯子的高时长度为12cm,

最长时等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度是：,5?+122=13（cm）,

二人的取值范围是：25-13〈攸25-12,

即12</?<13,

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键.

13.某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙OE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7〃?，

梯子顶端。到地面的是样子离。E为24〃，若梯子底端A保持不动，将梯子斜塞在右墙BC上，梯子顶端C

到地面的距离CB为1.5m,则这两面直立墙壁之间的安全道的宽BE为m.

【答案】2.7

EAB

【解析】

【分析】

先根据勾股定理求出AO的长，同理可得出48的长，进而可得出结论.

【详解】

在放AACB中，VZACB=90°,AE=0.7米，QE=2.4米，

.,.ADM.72+2.42=6.25.

在中，VZABC=9O0,8C=I.5米，AB2+BC2=AC2,

•,MB2+1.52=6.25,

：.AB2=4.

VAB>0,

."8=2米.

：.BE=AE+AB=0.1+2=2.1米.

故答案为2.7.

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题

常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应

用.

14.爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁

盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁4处，然后遥控甲虫

从A处出发沿外壁面正方形ABCQ爬行，爬到边CC上后再在边CC上爬行3cm,最后在沿内壁面正方形

ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M,甲虫所走的最短路程是

【答案】16

【解析】

【分析】

将正方形沿着CD翻折得到正方形A'QC。，过点M在正方形ABC。内部作使

MW'=3cm,连接QM,过作MWJ_A'B'于点N,MAP+PQ+QM=A'P+PQ+PM'=A'M'+PQ

小，运用勾股定理求解即可.

ABCD内部作使MM'=3cm,连接QM,过河，作MW,A'8'于点N,则四边形是

矩形，四边形是平行四边形,

A=PM'=QM,B'N=MM',ZA'NM1=90°,

此时AP+PQ+QM=A'P+PQ+PM'=A'M'+PQ最小，

•点M是BC中点，

，CM=—BC=4cm,

2

:.M'N=MB'=12cm,A'N=A'B'—B'N=5cm,在RrAA'M'N中，

A"=JAN+MN=V52+122=13cm,

A'M'+PQ=16cm,

故答案为：16.

【点睛】

本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对

称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算.

15.太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所,

某校八年级(1)班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE,他们进行了

如下操作：

①测得8。的长为15米(注：BDLCE)；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；

③牵线放风筝的小明身高1.7米.

(1)求风筝的高度CE.

(2)过点。作DHL3C,垂足为“，求的长度.

【答案】(1)风筝的高度CE为21.7米

(2)3〃的长度为9米

【解析】

【分析】

（1）在RtZ\CE>8中由勾股定理求得CO的长,再加上Z5E即可;（2）利用等积法求出。，的长,再在在RtVfiHD

中由勾股定理即可求得BH的长.

（1）

在RlZ\C£>3中，由勾股定理，得：

CD=^C2-BDr=>/252-152=20（米），

所以CE=C£）+DE=20+1.7=21.7（米），

答：风筝的高度CE为21.7米.

（2）

由等积法知：?BDXDCJBCXDH,

22

解得：£>"="等=12（米）.

在RtVBA®中，BH=yjBD1-DH1=9（米），

答：3”的长度为9米.

【点睛】

本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确.

16.伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青

顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地C,河边有两个景点A、A其中A3=AC,由于某

种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点〃（A、"、B三点在同一直

线上），并新修一条路CH,测得8c=5千米，CH=4千米，B”=3千米.

（1）判断ABC”的形状，并说明理由;

（2）求原路线AC的长.

【答案】（l）ABS是直角三角形，理由见解析

（2）原来的路线AC的长为年25千米

6

【解析】

【分析】（1）ABC”是直角三角形，理山见解析

（2）根据勾股定理解答即可

(I)

是直角三角形，

理由是：在ACM3中，

VCH2+BH2=4^+32=25,BC2=25,

：.CH2+BH2=BC2

：.\BCH是直角三角形FLZCHB=90°：

(2)

设AC=A8=xF米，则AW=A8-3"=(x-3)千米,

在RfAACH中，由已知得AC=x,AH=x-3,CH=4,

由勾股定理得：AC2=A，2+C〃2,

...x2=(X-3)2+42

解这个方程，得》=蓼，

6

答：原来的路线AC的长为2多5千米.

6

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键

培优第三阶——中考沙场点兵

17.（2020・四川巴中•中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今

有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵

风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）

B.4.55尺C.5尺D.5.55尺

【答案】B【解析】

【分析】

竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺.利用勾股定理解题即

可.

【详解】

解：设竹子折断处离地面X尺，则斜边为(10-X)尺，

根据勾股定理得:x2+32=(10-x)2,

解得：x=4.55.

所以，原处还有4.55尺高的竹子.

故选：B.

【点睛】

此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题.

18.(2021•江苏宿迁•中考真题)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺,

引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一

棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那

么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的。处(如图)，水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是尺.

【解析】

【分析】

我们可将