橡胶材料应变能密度函数模型的比较与分析

橡胶材料应变能密度函数模型的比较与分析

橡胶材料作为一种承受结构、拆卸、吸收振动的橡胶材料，广泛应用于轴承结构、拆卸、民事诉讼的支撑、装置和轮胎的吸收。它是现代工业的重要原材料。橡胶硫化后分子形成网状结构,从而成为具有超弹性、体积几乎不发生变化(即不可压缩)、大变形的非线性固体材料。材料特性的非线性和几何非线性给橡胶材料的研究带来了很大的困难。几十年来,人们对橡胶材料做了大量的研究工作,主要有罚有限元、混合元和杂交元等方法。文献均以Piola-Kirchhoff应力和Cauchy-Green应变建立拉格朗日虚功方程,将非线性方程线性化,并利用目前广泛应用的应变能密度函数模型——Mooney-Rivlin模型进行有限元分析,介绍确定适当罚因子的方法。文献采用罚函数和拉格朗日乘子法,并引入静水压力概念,同样应用Mooney-Rivlin模型对橡胶材料进行有限元分析,通过试验和解析方法确定算法的有效性。文献采用试验方法结合有限元方法对如何确定Mooney-Rivlin常数做了研究。文献以Piola-Kirchhoff应力和Cauchy-Green应变理论,采用Yeoh模型对橡胶材料进行有限元分析,从而确定此类材料的有限元模型。尽管应变能密度函数模型理论越来越多,应用研究范围也越来越广,但是针对具体工况选择合适的应变能密度函数模型仍有很大困难。本文根据有限元分析软件ANSYS提供的超弹性不可压缩材料的材料特性描述,介绍橡胶材料的有限元分析模型——Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型,并用实例证明这两种典型模型的适用性,以期为有限元分析打下理论基础。1剪切模量公式(1)假设橡胶材料在小范围内是线性的,可以用增量形式建立其应力(σ)-应变(ε)关系:{dε1=1E[dσ1-μ(dσ2+dσ3)]dε2=1E[dσ2-μ(dσ1+dσ3)]dε3=1E[dσ3-μ(dσ1+dσ2)](1)⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪dε1=1E[dσ1−μ(dσ2+dσ3)]dε2=1E[dσ2−μ(dσ1+dσ3)]dε3=1E[dσ3−μ(dσ1+dσ2)](1)式中,E为弹性模量,μ为剪切模量。但是式中的E是变形过程函数,给试验测定和实际应用带来很大困难,因此该公式很少使用。(2)假设橡胶材料为各向同性和不可压缩(I3≡1),基于应力-应变关系以唯象理论建立橡胶材料的本构关系,以应变能密度函数(W)表示:W=W(Ι1‚Ι2‚Ι3)(2)W=W(I1‚I2‚I3)(2)式中Ι1=λ21+λ22+λ23Ι2=λ21λ22+λ22λ23+λ21λ23Ι3=λ21λ22λ23=1λi=1+γi式中,I1,I2和I3为变形张量不变量,λ1,λ2和λ3为主伸长比,γi为主应变。2riv琳模型和yeoh模型2.1电压密度函数模型(1)基于anasis有限元分析的材料分析Mooney-Rivlin模型是一个比较经典的模型,几乎可以模拟所有橡胶材料的力学行为,适合于中小变形,一般适用于应变约为100%(拉伸)和30%(压缩)的情况。但是Mooney-Rivlin模型不能模拟多轴受力数据,由某种试验得到的数据不能用来预测其它的变形行为。ANSYS有限元分析软件可根据不同需要,将其展开为二项三阶展开式、三项三阶展开式、五项三阶展开式和九项三阶展开式等,其应变能密度函数模型如下:W=Ν∑i+j=1Cij(Ι1-3)i(Ι2-3)j+Ν∑k=11dk(Ι23-1)2k(3)典型的二项三阶展开式为W=C10(Ι1-3)+C01(Ι2-3)+1d(J-1)2(4)式中,N,Cij和dk为材料常数,由材料试验所确定;对于不可压缩材料,J=1。(2)材料应变能密度函数Yeoh模型比较适合模拟炭黑填充NR的大变形行为,并且可以用简单的单轴拉伸试验数据模拟其它变形的力学行为,但是它不能很好地解释双轴试验数据,当材料发生较大变形时,计算结果就会不精确。ANSYS有限元分析软件中也将其分为一、二、三、四和五等多项参数形式,其应变能密度函数模型如下:W=Ν∑i=1Ci0(Ι1-3)i+Ν∑k=11dk(J-1)2k(5)典型的二项参数形式为W=C10(Ι1-3)+C20(Ι1-3)2(6)式中,材料常数N,Ci0和dk由材料试验所确定,初始剪切模量μ=2C10;同样,对于不可压缩材料,J=1。2.2应变张量tij和主伸长比ij的关系应力-应变关系表征材料的主要特性。橡胶材料的应力-应变关系可以由应变能密度函数对其主伸长比求偏导表示,此应力-应变形式由Piola-Kirchhoff和Cauchy-Green定义,因此也称为Piola-Kirchhoff应力张量(tij)和Cauchy-Green应变张量(γij),其形式如下:tij=∂W∂γij=∂W∂Ι1∂Ι1∂γij+∂W∂Ι2∂Ι2∂γij+∂W∂Ι3∂Ι3∂γij(7)由上述公式得主应力(ti)与主伸长比(λi)之间的关系:{t1=2λ1[∂W∂Ι1+(λ22+λ23)∂W∂Ι2+λ22λ23∂W∂Ι3]t2=2λ2[∂W∂Ι1+(λ23+λ21)∂W∂Ι2+λ23λ21∂W∂Ι3]t3=2λ3[∂W∂Ι1+(λ21+λ22)∂W∂Ι2+λ21λ22∂W∂Ι3](8)3模型分析对比通过单轴拉伸试验确定材料常数,并取二项参数的Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型作为计算准则,采用ANSYS有限元分析软件对两模型进行分析对比。(1)不可压缩橡胶材料对于单轴拉伸试验,有t3=t2=0λ22=λ23=1λ1(9)对于绝对不可压缩材料,I3=λ21λ22λ23=1,结合式(8)和(9)推导出绝对不可压缩橡胶材料的主应力与主应变和变形张量不变量与主伸长比的关系:t1=2λ1(λ21-1λ21λ22)(∂W∂Ι1+λ22∂W∂Ι2)(10)Ι1=λ21+2λ21(11)(2)拉伸比的确定二项参数Mooney-Rivlin模型应变能密度函数为W=C10(I1-3)+C01(I2-3),结合式(9)～(11)求得:t12(λ1-1λ21)=C10+1λ1C01根据试验测得不同拉伸比(λ1)下的应力值(t1),然后以1λ1为横坐标,以t12(λ1-1λ21)为纵坐标,把试验点绘在坐标系中,并把试验点回归成一条直线,则C10为这条直线的截距,C01为其斜率。(3)以1.2.2212c20为前提的求取二项参数Yeoh模型应变能密度函数为式(6),与上述方法相同,先求得t12(λ1-1λ21)=C10-6C20+2C20(λ21+2λ1)最后求得C10和C20。(4)材料一元回归模型以一种典型橡胶材料为例,本研究选用轨道减震器做单轴拉伸试验,所得应力-应变关系如图1所示,根据上述方法做图并回归为直线,如图2和3所示。根据对应斜率和截距关系求得材料常数。Mooney-Rivlin模型:C10=1.20,C01=-0.35;Yeoh模型:C10=0.71,C20=-0.019。4应力云图等值线差值本研究采用ANSYS10.0有限元分析软件对这种材料进行分析,结果如图4～7所示。根据图4～7可得到模型位移和应力数据,如表1和2所示。由表1和2可看出,两种模型应力云图对应等值线差值几乎为零,但很明显位移差值却很大,并逐渐增大,最小差值为0.9%,最大可达到8.2%。Mooney-Rivlin模型的最大位移为0.197016mm,Yeoh模型最大位移为0.279016mm,相差8.2%,从而可以验证:Mooney-Rivlin模型适合模拟中小变形行为,Yeoh模型比较适合模拟炭黑填充NR的大变形行为。5材料模型的确定本研究主要总结了目前两种常用的超弹性橡胶材料的应变能密度函数模型,并分析比较其适用