2022-2023学年广东省揭阳市高一下学期期末教学质量测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省揭阳市2022-2023学年高一下学期期末教学质量测试数学试题本试题共4页，考试时间120分钟，总分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处．2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效．3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回．一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，于是.故选：B2.若，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D3.已知平面平面，直线，且，则直线与平面的位置关系为（）A.平行 B.垂直 C.相交且不垂直 D.以上情况都有可能〖答案〗D〖解析〗如图，当∥时，由，，可得∥；如图，当时，又，所以；如图，当与相交且不垂直时，与平面相交且不垂直.故选：D4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为在上递增，且，所以，所以，因为在上递减，且，所以，即，所以，故选：B5.设，则函数的最小值为（）A.6 B.7 C.11 D.12〖答案〗C〖解析〗，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为.故选：C6.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵角的终边经过点，∴.∴..故选：D.7.如图是下列四个函数中的某个函数的部分图象，则该函数的〖解析〗式为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对于A：是偶函数，图象关于y轴对称；，当且仅当，即时，等号成立，即函数在时取得最小值2.以上性质均与图象相符.对于B：令，易知且，故该函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象不会关于y轴对称，不符合图象；对于C：当时，令，，，当时，，，；当时，，，，∴在单调递减，在单调递增，所以在上单调递增，所以，即函数图象最低点函数值应该小于2，这与图象不符.对于D：的定义域为，不符合图象.综上，仅A选项函数图象符合题意.故选：A.8.我国的玉文化发源于新石器时代早期，绵延至今，贯穿了整个中华文明史，是中国传统文化的重要组成部分．如图是1986年在河南平顶山出土的西周（公元前1046—前771年）青玉琮，高，边长，内径，体呈外方内圆状，中空，通体素面，则该青玉琮的体积约为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意该青玉琮的体积为长方体的体积减去圆柱体的体积，即（）.故选：C9.已知的重心为点，点为上一点，且满足，记，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意的重心为点，点为上一点，且满足，则，设D为的中点，则，故，故选：A10.已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，，根据对数的性质可得，即，注意到，于是，故，解得，故.故选：A二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．11.已知向量，则下列命题中真命题为（）A.若，则或B.若，则C.若，则D.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为〖答案〗ACD〖解析〗对A，因为，所以，解得或，当时，，满足题意，当时，，满足题意，故A正确；对B，因为，所以，解得，故B错；对C，时，，则，所以，故C正确；对D，时，，则向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量的坐标为，故D正确.故选：ACD12.若事件满足，，，，，，，则()A.A与B相互独立 B.B与C不相互独立C.A与C相互独立 D.相互独立〖答案〗AC〖解析〗由题可知，，，，，，因为，所以和B相互独立，所以A和B相互独立，故选项A正确；因为，所以和C相互独立，所以B和C相互独立，故选项B错误；因为，所以A和相互独立，所以A和C相互独立，故选项C正确；因为，故不相互独立，故选项D错误．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，且，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗因为，且，所以，所以，所以的取值范围是故〖答案〗为：14.在测量工作中，测得一组数据为2，6，7，5，9，17，10，则这组数据的平均数为______，第75百分位数是______．〖答案〗①.8②.10〖解析〗把2，6，7，5，9，17，10，从小到大排列为：2，5，6，7，9，10，17，平均数为，这组数据共7个，，则这组数据的第75百分位数是第6个数10.故〖答案〗为：8，10.15.若函数满足，则称函数为“类期函数”．已知函数为“－2类期函数”，且曲线恒过点，则点的坐标为______．〖答案〗〖解析〗由题可知，，令得，，故，，所以曲线恒过点.故〖答案〗：16.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点，点在棱上，且平面，则______．〖答案〗2〖解析〗连接、，设、，连接，过点作交于点，连接、，因为、分别为、的中点，所以，平面，平面，所以平面，同理可得平面，，平面，所以平面平面，平面，所以平面，因为、分别为、的中点，则为的中点，又为的中点，所以，，所以，又，所以，所以，又为的中点，所以，则，所以.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数．（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）当时，求的值域．解：（1）的最小正周期为，因为的单调递增区间为，令，得，所以．故的单调递增区间为．（2）因为，所以，所以，所以，故当时，的值域为．18.某校以课程建设为核心，建立了学生劳动实践基地，开发了农事劳作课程，开展课外种植、养殖活动，打算引进小动物甲以及成立养殖小组．为了解学生的养殖意愿，该校在一年级的100名学生中进行问卷调查，调查数据如下：性别养殖小动物甲喜欢不喜欢男生2030女生4010（1）分别估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率；（2）学校决定由一年级负责养殖小动物甲，现按分层随机抽样的方法从一年级喜欢小动物甲的学生中随机抽取6名学生组成养殖小组，再从这6名学生中随机抽取2人担任养殖小组主要负责人，求这2人恰好都是女生的概率．解：（1）由题意知男生中喜欢养殖小动物甲的频率为；女生中喜欢养殖小动物甲的频率为，所以估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率分别为．（2）抽取的这6人中男生人数为，分别记为，女生人数为，分別记为．设抽取的2人分别为，用数组表示这个实验的一个样本点，因此该试验的样本空间，共15个样本点．设事件“抽取的2人恰好都是女生”，则，共6个样本点．因为样本空间中每一个样本点出现的可能性相等，所以该试验是古典概型，因此．19.如图，正三棱柱中，分别在棱上，，．（1）证明：平面∥平面；（2）求点到平面的距离．（1）证明：因为，所以．又，所以．又平面平面，所以平面．因为，所以．又平面平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解：法一：如图，取的中点，连接，因为，所以．又平面平面，所以．因为平面，所以平面．又平面，所以平面平面．过点作，垂足为，则平面，所以的长度为点到平面的距离．在中，，所以，即点到平面的距离为．法二：因为平面平面，所以，所以．如图，取的中点，连接，因为，所以，所以，所以的面积．设点到平面的距离为，由，得，所以，即点到平面的距离为．20.从以下三个条件中任选一个补充在下面问题中，并完成解答．①；②；③．记的内角的对边分别为，已知______．（1）求；（2）若，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）若选①，由已知及正弦定理得，所以，所以，即．又，所以，所以，即．因为，所以．若选②，由已知及正弦定理得，所以．所以，所以．又，所以，所以，即．因为，所以．若选③，由已知及正弦定理得，因，所以，所以，所以，所以，因为，所以．又，所以．（2）由余弦定理得，即，解得（舍去），所以的面积．21.已知函数．（1）判断在上的单调性，并证明；（2）函数若没有零点，求实数的取值范围．解：（1）可知在上单调递增，证明如下：任取，且，则．因为，所以，即．因为，所以，，所以，所以，故在上单调递增．（2）由题意得当时，，由（1）可知在上单调递增，所以．由题意得，解得；当时，，由题意可知在上没有零点．又，所以只需或，解得．综上，，即实数a的取值范围是．22.如图①，在平行四边形中，，将沿折起，使点到达点处，如图②，二面角的大小为分别为的中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的大小．（1）证明：在△中，由余弦定理得，所以，即，故．又，所以，如图，取的中点，连接，因为分別为的中点，所以，所以．又平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：由（1）知，所以为二面角的平而角，即．由题意得，所以，即△为等腰三角形，所以．如图，过点作，垂足为点，由（1）知平面，又平面，所以．又平而，所以平面，所以为直线与平面所成角．所以直线与平面所成的角为．广东省揭阳市2022-2023学年高一下学期期末教学质量测试数学试题本试题共4页，考试时间120分钟，总分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处．2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效．3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回．一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，于是.故选：B2.若，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D3.已知平面平面，直线，且，则直线与平面的位置关系为（）A.平行 B.垂直 C.相交且不垂直 D.以上情况都有可能〖答案〗D〖解析〗如图，当∥时，由，，可得∥；如图，当时，又，所以；如图，当与相交且不垂直时，与平面相交且不垂直.故选：D4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为在上递增，且，所以，所以，因为在上递减，且，所以，即，所以，故选：B5.设，则函数的最小值为（）A.6 B.7 C.11 D.12〖答案〗C〖解析〗，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为.故选：C6.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵角的终边经过点，∴.∴..故选：D.7.如图是下列四个函数中的某个函数的部分图象，则该函数的〖解析〗式为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对于A：是偶函数，图象关于y轴对称；，当且仅当，即时，等号成立，即函数在时取得最小值2.以上性质均与图象相符.对于B：令，易知且，故该函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象不会关于y轴对称，不符合图象；对于C：当时，令，，，当时，，，；当时，，，，∴在单调递减，在单调递增，所以在上单调递增，所以，即函数图象最低点函数值应该小于2，这与图象不符.对于D：的定义域为，不符合图象.综上，仅A选项函数图象符合题意.故选：A.8.我国的玉文化发源于新石器时代早期，绵延至今，贯穿了整个中华文明史，是中国传统文化的重要组成部分．如图是1986年在河南平顶山出土的西周（公元前1046—前771年）青玉琮，高，边长，内径，体呈外方内圆状，中空，通体素面，则该青玉琮的体积约为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意该青玉琮的体积为长方体的体积减去圆柱体的体积，即（）.故选：C9.已知的重心为点，点为上一点，且满足，记，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意的重心为点，点为上一点，且满足，则，设D为的中点，则，故，故选：A10.已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，，根据对数的性质可得，即，注意到，于是，故，解得，故.故选：A二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．11.已知向量，则下列命题中真命题为（）A.若，则或B.若，则C.若，则D.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为〖答案〗ACD〖解析〗对A，因为，所以，解得或，当时，，满足题意，当时，，满足题意，故A正确；对B，因为，所以，解得，故B错；对C，时，，则，所以，故C正确；对D，时，，则向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量的坐标为，故D正确.故选：ACD12.若事件满足，，，，，，，则()A.A与B相互独立 B.B与C不相互独立C.A与C相互独立 D.相互独立〖答案〗AC〖解析〗由题可知，，，，，，因为，所以和B相互独立，所以A和B相互独立，故选项A正确；因为，所以和C相互独立，所以B和C相互独立，故选项B错误；因为，所以A和相互独立，所以A和C相互独立，故选项C正确；因为，故不相互独立，故选项D错误．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，且，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗因为，且，所以，所以，所以的取值范围是故〖答案〗为：14.在测量工作中，测得一组数据为2，6，7，5，9，17，10，则这组数据的平均数为______，第75百分位数是______．〖答案〗①.8②.10〖解析〗把2，6，7，5，9，17，10，从小到大排列为：2，5，6，7，9，10，17，平均数为，这组数据共7个，，则这组数据的第75百分位数是第6个数10.故〖答案〗为：8，10.15.若函数满足，则称函数为“类期函数”．已知函数为“－2类期函数”，且曲线恒过点，则点的坐标为______．〖答案〗〖解析〗由题可知，，令得，，故，，所以曲线恒过点.故〖答案〗：16.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点，点在棱上，且平面，则______．〖答案〗2〖解析〗连接、，设、，连接，过点作交于点，连接、，因为、分别为、的中点，所以，平面，平面，所以平面，同理可得平面，，平面，所以平面平面，平面，所以平面，因为、分别为、的中点，则为的中点，又为的中点，所以，，所以，又，所以，所以，又为的中点，所以，则，所以.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数．（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）当时，求的值域．解：（1）的最小正周期为，因为的单调递增区间为，令，得，所以．故的单调递增区间为．（2）因为，所以，所以，所以，故当时，的值域为．18.某校以课程建设为核心，建立了学生劳动实践基地，开发了农事劳作课程，开展课外种植、养殖活动，打算引进小动物甲以及成立养殖小组．为了解学生的养殖意愿，该校在一年级的100名学生中进行问卷调查，调查数据如下：性别养殖小动物甲喜欢不喜欢男生2030女生4010（1）分别估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率；（2）学校决定由一年级负责养殖小动物甲，现按分层随机抽样的方法从一年级喜欢小动物甲的学生中随机抽取6名学生组成养殖小组，再从这6名学生中随机抽取2人担任养殖小组主要负责人，求这2人恰好都是女生的概率．解：（1）由题意知男生中喜欢养殖小动物甲的频率为；女生中喜欢养殖小动物甲的频率为，所以估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率分别为．（2）抽取的这6人中男生人数为，分别记为，女生人数为，分別记为．设抽取的2人分别为，用数组表示这个实验的一个样本点，因此该试验的样本空间，共15个样本点．设事件“抽取的2人恰好都是女生”，则，共6个样本点．因为样本空间中每一个样本点出现的可能性相等，所以该试验是古典概型，因此．19.如图，正三棱柱中，分别在棱上，，．（1）证明：平面∥平面；（2）求点到平面的距离．（1）证明：因为，所以．又，所以．又平面平面，所以平面．因为，所以．又平面平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解：法一：如图，取的中点，连接，因为，所以．又平面平面，所以．因为平面，所以平面．又平面