2022年数学(百色专用)一轮复习教学案-第21课时图形的相似与位似

第六章图形的相似与解直角三角形第21课时图形的相似与位似近五年中考考情2022年中考预测年份考查点题型题号分值预计将在解答题中考查“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及相似三角形的判定与性质，与圆、函数等知识综合考查的可能性较大．从近几年的第25题可以看出这是一个必考点，尤其是与圆的知识综合考查．2021相似三角形的判定与性质填空题183分2020平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质解答题2510分2019平面直角坐标系的位似变换填空题1713分2018相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例解答题252017平面直角坐标系中的位似变换填空题1713分相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例解答题25相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例解答题25（2）5分平面直角坐标系中的位似变换1.（2018年，17，3分）如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(1,2)，若点A（－1，0），点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则A′C′＝eq\r(13)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))2.（2019年，17，3分）如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B′（6，8），则△A′B′C′的面积为18．相似三角形的判定与性质3.（2020年，25，10分）如图，在平行四边形ABCD中，点N为BA延长线上一点，CN分别交BD，AD于点E，F.（1）请找出一对相似的三角形并证明；（2）已知BE＝2ED，若CN＝kEF，求k的值．解：（1）（答案不唯一）△DEF∽△BEC.证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠FDE＝∠CBE.又∵∠DEF＝∠BEC，∴△DEF∽△BEC；（2）由（1）可得，eq\f(DE,BE)＝eq\f(EF,EC).又∵BE＝2ED，∴EC＝2EF.∵AB∥DC，∴∠DCE＝∠BNE.又∵∠DEC＝∠BEN，∴△CED∽△NEB.∴eq\f(DE,BE)＝eq\f(EC,EN)＝eq\f(1,2).∴EN＝2EC.又∵CN＝EN＋EC，CN＝kEF，∴2EC＋EC＝kEF，即4EF＋2EF＝kEF.∴k＝6.比例的相关概念及性质（沪科九上P63～70）1.两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a，b，得到它们的长度，我们把这两条线段的长度的比叫做这两条线段的比．2.成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段a，b的比，等于另外两条线段c，d的比，即eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)（或a∶b＝c∶d），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．如果eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)，即b2＝ac，那么b就是a，c的比例中项．3.比例的性质基本性质如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么ad＝bc（b，d≠0）合比性质如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么eq\f(a＋b,b)＝eq\f(c＋d,d)（b，d≠0）等比性质如果eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝…＝eq\f(an,bn)，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么eq\f(a1＋a2＋…＋an,b1＋b2＋…＋bn)＝eq\f(a1,b1)4.黄金分割：如图，如果点C把线段AB分成两条线段，使eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，那么点C叫做线段AB的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比值为eq\f(\r(5)－1,2)．5.平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例．相似三角形及其性质与判定（沪科九上P76～92）6.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．7.相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）等于相似比；（3）相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．8.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似；（2）两角分别相等的两个三角形相似；（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；（4）三边成比例的两个三角形相似；（5）对于两个直角三角形，除了以上判定方法外，还可以通过：①一组锐角相等；②两组直角边对应成比例；③斜边和一直角边对应成比例来判定这两个直角三角形相似．9.相似多边形：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数．图形的位似变换（沪科九上P95）10.位似图形：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．【温馨提示】【温馨提示】（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，原图形上点的坐标为（x，y），那么位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（－kx，－ky）．11.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．12.位似作图的步骤（1）确定位似中心、原图形的关键点、相似比（即要将图形放大或缩小的倍数）；（2）作出原图形中各关键点的对应点；（3）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.1.已知eq\f(a,b)＝eq\f(2,5)，则eq\f(a＋b,b)的值为（C）A．eq\f(2,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(7,5)D．eq\f(2,3)2.（2021·哈尔滨中考）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（B）A．3B．4C．5D．6【链接考点1】（第2题图）（第3题图）3.（2021·百色二模）如图，将△ABC沿射线AM平移到△A′B′C′的位置，BC，B′C′分别交AM于点D，D′，若阴影部分的面积为3，AA′＝5，A′D′＝7，则△ABC的面积为（C）A．32B．36C．eq\f(147,4)D．eq\f(75,2)4.（2020·北部湾中考）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（B）A．15B．20C．25D．30eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第5题图）))5.（2021·百色二模）如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点．EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝1．【链接考点2】6.如图，在平面直角坐标系中，已知C（1，eq\r(2)），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，要使△DEF的面积是△ABC面积的5倍，则点F的坐标为（eq\r(5)，eq\r(10)）．【链接考点3】（第6题图）（第7题图）7.（2021·百色中考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝3－eq\r(5)．8.（2018·百色中考）已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为点B，C，AD的延长线与BC相交于点E.（1）求证：△ABM∽△MCD；（2）若AD＝8，AB＝5，求ME的长．（1）证明：∵AD为⊙O的直径，∴∠AMD＝90°.∵∠BMA＋∠CMD＝90°，∠CMD＋∠CDM＝90°，∴∠BMA＝∠CDM.又∵∠ABM＝∠MCD＝90°，∴△ABM∽△MCD；（2）解：连接OM，则OM⊥BC.∴OM∥AB.∴△EMO∽△EBA．∵AD＝8，∴AO＝OD＝OM＝4.∴eq\f(OM,AB)＝eq\f(EO,EA)，即eq\f(4,5)＝eq\f(ED＋4,ED＋8).∴ED＝12.∴EO＝12＋4＝16.在Rt△EMO中，ME＝eq\r(EO2－OM2)＝eq\r(162－42)＝4eq\r(15)，即ME的长为4eq\r(15).9.（2019·百色中考）如图，已知AC，AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B，C两点，AD过圆心O且与⊙O交于E，D两点，OB平分∠AOC.（1）求证：△ACD∽△ABO；（2）过点E的切线交AC于点F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．[提示：（eq\r(2)＋1）（eq\r(2)－1）＝1]【链接考点2】（1）证明：∵OB平分∠AOC，∴∠BOE＝∠BOC.∵OC＝OD，∴∠D＝∠OCD.∵∠AOC＝∠D＋∠OCD，∴2∠D＝∠AOC.∴∠D＝∠BOE.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABO；（2）解：∵EF切⊙O于点E，∴∠OEF＝90°.∵EF∥OC，∴∠DOC＝∠OEF＝90°.∵OC＝OD＝3，∴CD＝3eq\r(2).∵△ACD∽△ABO，∴eq\f(AD,AO)＝eq\f(CD,BO).∴eq\f(AE＋6,AE＋3)＝eq\f(3\r(2),3).∴AE＝3eq\r(2).∵EF∥OC，∴△AEF∽△AOC.∴eq\f(AE,AO)＝eq\f(EF,OC).∴eq\f(3\r(2),3\r(2)＋3)＝eq\f(EF,3).∴EF＝6－3eq\r(2).平行线分线段成比例（重点）【例1】如图，在△ABC中，点D在AB边上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，则下列结论不正确的是（D）A．BC＝3DEB．eq\f(BD,BA)＝eq\f(CE,CA)C．△ADE∽△ABCD．S△ADE＝eq\f(1,3)S△ABC【解析】本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．1.如图，AB∥CD，AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F，则下列结论不一定成立的是（B）A．eq\f(OA,OC)＝eq\f(AB,CD)B．eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)C．eq\f(CD,DF)＝eq\f(AB,BE)D．eq\f(OE,OF)＝eq\f(AB,CD)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))2.如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则图中相似三角形共有（C）A．3对B．5对C．6对D．8对3.如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD∶DC＝1∶2，点O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，则BE∶EC等于（B）A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．2∶3相似三角形的判定与性质（重难点）【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．【解析】（1）由已知可得∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°，则△BDE与△CAD相似；（2）利用面积法：S△ABD＝eq\f(1,2)AD·BD＝eq\f(1,2)AB·DE求解即可．本题第（2）问也可以利用（1）中的结论求解．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠B＝∠C.∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC＝90°.∴△BDE∽△CAD；（2）解：由（1）知，∠ADB＝90°.在Rt△ADB中，BD＝eq\f(1,2)BC＝5，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(132－52)＝12.∵S△ABD＝eq\f(1,2)AD·BD＝eq\f(1,2)AB·DE，∴DE＝eq\f(AD·BD,AB)＝eq\f(60,13).4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则eq\f(C1,C2)的值等于eq\f(\r(2),2)．5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则eq\f(AO,AE)的值为eq\f(7,24)．6.（2021·玉林中考）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB.（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝eq\f(1,3)AC，求eq\f(S△DFC,S△AED)的值．（1）证明：∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠ABF.∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABF，∠DCF＝∠ADE.∴∠DFC＝∠AED.∴△DFC∽△AED；（2）解∵CD＝eq\f(1,3)AC，∴eq\f(CD,DA)＝eq\f(1,2).∴eq\f(S△DFC,S△AED)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,DA)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).图形的位似变换（重点）【例3】如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点.（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A