高中数学人教A版（2019）必修第一册《2 2 基本不等式》提升训练（含解析）

人教A版（2019）必修第一册《2.2基本不等式》提升训练一、单选题（本大题共10小题，共50分）1.（5分）等差数列{an}的公差d≠0，a1=20，且a3，a7，a9成等比数列．SA.−110 B.−90 C.90 D.1102.（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4=0A.an=2n−5

B.an=3.（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.（5分）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a3是aA.3 B.−3 C.2 D.95.（5分）为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m，以后何天比前1天多跑200m，则这个同学7天一共将跑(A.39200m B.39300m C.39400m D.39500m6.（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-A.145 B.114 C.837.（5分）已知正项等比数列{an}(n∈N∗)满足a2021=a2020+2aA.2 B.73 C.94 8.（5分）若数列{an}满足an+1+(−1)A.760 B.180 C.800 D.8209.（5分）已知数列{an}的前n项和SnA.14 B.28 C.56 D.11210.（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100A.440

B.330

C.220

D.110二、多选题（本大题共4小题，共20分）11.（5分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知aA.a1=−5 B.a4<0 C.12.（5分）已知Sn是等差数列{an}(n∈N∗)的前A.数列{an}的公差d<0 B.数列{an}中S13.（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1A.若a=0，b=2，则Sn=2n−1 B.若a=2，b=1，则Sn=n2−2n

C.若a=1，14.（5分）各项均为正数的等比数列{an}的前n项积为Tn，若aA.若T5=T9，则必有T14=1 B.若T5=T9，则必有T7是T三、填空题（本大题共4小题，共20分）15.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a316.（5分）在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个正数分别是______.17.（5分）已知数列{an}中：a2=3a1，记{an}的前n项和为18.（5分）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(32−x)=f(x)，f(−2)=−3，数列{an}的前n项和为Sn四、解答题（本大题共6小题，共72分）19.（12分）已知首项为1的等比数列{an}的前3项和为3． 

(1)求{an}的通项公式； 

(2)著a2≠1，20.（12分）在①a1，a2，a5成等比数列，且Tn=2−bn；②S4=S 22，且Tn=2−(12)n−1这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答． 

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1，其前n项和为S21.（12分）已知数列{an}满足a1=14，an+1=3an−4. 

(1)求{an}的通项公式； 

(2)设b22.（12分）在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，(2)设数列{an}的前n项和为Sn，问是否存在正整数m，n，使得23.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=4，且anSn=n+12n(n∈N∗). 

24.（12分）已知数列{an}满足Sn=2an−n(n∈N∗). 

(1)证明：{a

答案和解析1.【答案】D;【解析】解：设等差数列的公差为d，a3，a7，a9成等比数列． 

可得：(20+6d)2=(20+2d)(20+8d)， 

解得d=−2，或d=0(舍去)． 

S102.【答案】A;【解析】 

该题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，属于基础题． 

根据题意，设等差数列{an}的公差为d，则有񻒡+6d=0a1+4d=5，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可． 

解：设等差数列{an}的公差为d， 

由S4=0，a5=5， 3.【答案】A;【解析】 

根据等差数列{an}的通项公式和前n项和公式，将左右两端进行转化，再进行判断． 

此题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式的简单应用，及充要条件的判断．属于基础题． 

解：设p：a6+a7>0，q：S9⩾S3 

化简p：2a1+11d>0 ； 

4.【答案】A;【解析】解：根据题意，数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a3与a5方程x2−12x+27=0的两个根， 

则a3⋅a5=27，则有a2⋅a65.【答案】A;【解析】解：此同学每天跑步的长度组成等差数列{an}，a1=5000，d=200． 

∴这个同学7天一共将跑=5000×7+7×62×200=39200m． 

故选：6.【答案】B;【解析】 

该题考查数列的通项公式的求法，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，属于中档题． 

运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得an=2n.求得m+n=6，1m+9n=16(m+n)(1m+9n)=16(10+nm+9mn)，运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值． 

解：Sn=2an−2，可得a1=S1=2a1−2，即a1=2， 

n⩾2时，Sn−1=2an−1−2，又Sn=2an−2， 

相减可得an=Sn−Sn−1=2an−27.【答案】B;【解析】 

此题主要考查了等比数列的通项公式，基本不等式，属于中档题．正项等比数列{an}满足a2021=a2020+2a2019，，则a1q2020=a1q2019+2a1q2018，即q2−q−2=0，解出q，即可得到当aman=2a1，时m、n的关系式，进而得到结论． 

【解析】 

解：依题意，正项等比数列{an}满足a2021=a2020+2a2019， 

所以a1q2020=a1q2019+2a1q2018，即q2−q−2=0， 

解得q=2或q=−1， 

因为数列8.【答案】D;【解析】解：an+1+(−1)n⋅an=2n−1(n∈N+)， 

可得a2−a1=1，a3+a2=3，a4−a3=5，a5+a4=7，…， 

设a1=t，则a2=1+t，a3=2−t，a4=7−t，a5=t，a6=9+t，a9.【答案】B;【解析】解：因为an={S1,n=1Sn−Sn−1,n⩾2,n∈N∗， 

所以当n⩾2时，Sn=(n+1)10.【答案】A;【解析】 

该题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题． 

由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1−2−n，及总共的项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将−2−n消去即可，从而可求得N的值． 

解：由题意可知，数列可看作：第一项20，第二项：20,21，第三项：20,21,22，…，第n项：20,21,22,…,2n−1， 

根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21−1，22−1，23−1，…，2n−1， 

每项含有的项数为：1，2，3，…，n， 

总共的项数为N=1+2+3+…+n=(1+n)n2， 

所有项数的和为Sn=21−1+22−1+23−1+…+2n−1 

=(21+22+23+…+211.【答案】ACD;【解析】解：设等差数列{an}的公差为d， 

由{a5=3S3=−9，得{a1+4d=33a1+3d=−9，解得a1=−5，d=2，选项A正确； 

所以a4=a1+3d=−5+6=1>0，选项B错误；S6=6a1+15d=−30+30=0，选项C12.【答案】AC;【解析】解：已知Sn是等差数列{an}(n∈N∗)的前n项和，且S5>S6>S4， 

所以S6−S5<0，即a6<0，由于S6−S4>0，即a5+a6>0， 

对于A：所以a5>0，故公差d<0，故A正确， 

对于B：由于a5>0，13.【答案】AD;【解析】 

此题主要考查等差数列，等比数列的求和公式及性质，周期数列的性质，属于中档题。解：当a=0，b=2时，an+1=2an，所以an+1an=2. 

因为a1=1，所以当a=2，b=1时，an+1=an+2，即a则Sn=(1+2n−1)n2=n2，故B错误. 

当a=1，b=−1时，an+1=−an+1，因为a1=1，所以a2=0，a3=1， 

所以即an+1+1an+1=2. 

因为a1=1，所以a1即an=2n14.【答案】ABC;【解析】解：由等比数列{an}，可知an=a1⋅qn−1，由等比数列{an}的前n项积结合等差数列性质可知：Tn=a1⋅a2⋅a3⋯an=a1⋅a1q⋅a1q2⋯a1qn−1=a1nq1+2+⋯+n−1=a1nqn(n−1)2， 

对于A，若T5=T9，可得a15q10=a19q36，即a14q26=1，∴T14=a114q91=(a14q2615.【答案】2nn+1【解析】 

该题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力，属于中档题． 

利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可． 

【解析】 

解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10， 

由S4=4(a1+a4)2=2(a2+a3)=10， 

可得a2=2，等差数列16.【答案】6，18;【解析】解：设此数列为2，x，y，30. 

于是有{x2=2y2y=x+30， 

解得x=6，y=18. 

故插入的两个正数为6，18， 

故答案为：6，18. 

依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得x和y17.【答案】;【解析】解：∵Sn+1+Sn+Sn−1=3n2+2(n⩾2,n∈N∗)①， 

∴Sn+2+Sn+1+Sn=3(n+1)2+2②， 

由②−①得an+2+an+1+an=6n+3(n⩾2,n∈N∗)，即an+3+an+2+an+1=6(n+1)+3， 

∴an+3−an=6(n⩾2,n∈N∗)， 

∴当n=3k−1，k∈N∗时，an=2n+3a1−4， 

当n=3k，k∈18.【答案】3;【解析】解：∵函数f(x)是奇函数 

∴f(−x)=−f(x) 

∵f(32−x)=f(x)， 

∴f(32−x)=−f(−x)， 

∴f(32+32−x)=−f(32−x)=f(x)， 

∴f(3+x)=f(x) 

∴f(x)是以3为周期的周期函数． 

∵数列{an}满足a1=−1，且Sn=2an+n，∴Sn−1=2an−1+n−1，∴an=2an−2an−1+1， 

即an=2an−1−1，a19.【答案】解：（1）设公比为q，则1+q+q2=3， 

解得q=1或q=-2， 

所以an=1或an=(−2)n−1． 

（2）依题意可得bn=n-1， 

所以1【解析】 

(1)由1+q+q2=3，求出q，代入即可； 

(2)求出bn=n−1，裂项相消法，求出即可． 20.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d选①，因为a1，a2，a5成等比数列，故a解得d=2或0(舍)，所以a由Tn=2−bn可得T又当n=1时，T1=2−b1所以bn+1bn=12为定值，数列{所以an=(2)由(1)可知，an所以Qn2Q所以−Q即−Q所以Qn【解析】此题主要考查等差，等比数列的通项公式及求和公式，考查错位相减法求和，属中档题. 

(1)设等差数列{an}的公差为d，则d≠0， 

选①得(1+d)2=1⋅(1+4d)，求得d，即可求得an，由Tn=2−bn得bn+1bn=121.【答案】;【解析】 

(1)依题意可得an+1−2=3(an−2)，再结合等比数列的定义即可求解； 

(2)由(1)可得bn22.【答案】解：(1)由a1=1，a2=2，an+2={an+2,n=2k−13an,n=2k 

可得数列{an}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列； 

偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列． 

∴对任意正整数k，a2k−1=1+2(k−1)=2k−1；a2k=2×3k−1. 

∴数列{an}的通项公式an={n,n=2k−12×3n2−1,n=2k，k∈N∗. 

(2)S2n=(a1+a3+…+a2n−1)+(a2+a4+…+a2n) 

=n(1+2n−1)2+2(1−3n)1−3 

=3n+n2−1，n∈N∗. 

S2n−1=S2n−a2n=3n−1+n2−1. 

假设存在正整数m【解析】此题主要考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，属于难题． 

(1)由题意可得数列{an}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列，分别利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出