北京市通州区20232024学年九年级上学期期中数学试题

通州区2023—2024学年第一学期九年级期中质量检测数学试卷2023年11月学校______班级______姓名______考生须知1.本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟.2.请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下列长度的四条线段中，是成比例线段的是（）A.3cm，5cm，6cm，9cm B.3cm，5cm，8cm，9cmC.3cm，9cm，10cm，30cm D.3cm，6cm，7cm，9cm2.抛物线的顶点坐标为（）A. B. C. D.3.如图所示，点D、E分别在的AB，AC边上，且，如果，那么等于（）第3题A. B. C. D.4.将抛物线向下平移3个单位，得到的抛物线为（）A. B. C. D.5.如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（）图1图2第5题A.0.4 B.0.8 C.1 D.1.66.如图，已知D是的边AC上一点，根据下列条件，不能判定的是（）第6题A. B. C. D.7.若二次函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A. B. C. D.8.函数的自变量x的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y轴对称②函数既有最大值，也有最小值③当时，y随x的增大而减小④当时，关于x的方程有4个实数根其中正确的结论个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9.已知，则______.10.请写出一个开口向下，图象经过原点的二次函数表达式______.11.两个相似三角形的相似比为，则它们的面积之比为______.12.20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，.已知AB为2米，则线段BE的长为______米.第12题13.如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为______.第13题14.点，为抛物线上两点，则______.（用“＜”或“＞”号连接）15.如图，中，，，，，则CD的长为______.第15题16.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足，当是等腰三角形时，点P的坐标为______.第16题三、解答题（本题共68分，第17-18题每题4分；第19-21题每题5分；第22-27题每题6分；第28题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.已知一条抛物线的顶点坐标为，且经过点，求抛物线的表达式.18.如图，的高AD，BE相交于点O.（1）写出一个与相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______；（2）证明：19.已知抛物线.（1）求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中画出函数图象.20.小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树的高度.21.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F.（1）求证：；（2）若，，求CF的长.22.已知二次函数在和时的函数值相等.（1）求二次函数图象的对称轴；（2）过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N.当时，求b的值.23.已知：如图，中，AD平分，E是AD上一点，且.判断BE与BD的数量关系并证明.24.跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线.如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为.（1）求绳子所对应的抛物线表达式；（2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？25.如图，在等腰三角形ABC中，，，D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使.（1）求证：；（2）设，，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.26.某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤.结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售.（1）若每公斤降价2元，则每天的销售利润为______元；（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售该品种葡萄获得的利润w最大？最大利润是多少元？27.已知抛物线.（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）点，在该抛物线上，若，求a的取值范围.28.定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形.图1图2图3（1）如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分，，求证：和为叠似三角形；（2）如图2，和为叠似三角形，若，，，求四边形ABCD的周长；（3）如图3，在中，D是BC上一点，连结AD，点E在AD上，且，F为AC中点，且，若，，求的值.通州区2023—2024学年第一学期九年级期中质量检测数学参考答案2023年11月一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）题号12345678答案CBDBADAC二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9.10.（答案不唯一）11.12.13.14.＜15.16.或三、解答题（本题共68分，第17—18题每题4分；第19—21题每题5分；第22—27题每题6分；第28题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解：∵抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线表达式为……1分∵抛物线经过点，∴将代入得：……2分∴……3分∴.……4分18.（1）解：，，（写出一个即可）……1分（2）证明：∵的高AD，BE相交于点O，∴……2分∵……3分∴……4分19.（1）解：∵，∴，∴抛物线的顶点坐标为……1分令，则，抛物线与y轴交点为……2分令，则，，抛物线与x轴交点为和.……4分（2）……5分20.解：∵，又∵，∴……2分∴……3分∵，，，∴，∴……4分∴.答：树的高度是5.5米.……5分21.（1）证明：∵矩形ABCD，∴，∴……1分又∵，∴……2分（2）∵矩形ABCD，∴，，在中，，，∴……3分∵E是边AB的中点，∴，∵，∴，∴……4分∴，∴，∴.……5分22.解：（1）∵二次函数在和时函数值相等，∴对称轴为直线.……2分（2）∵过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N，设点M在点N的左侧，∵对称轴为直线，，∴点M的坐标为，点N的坐标为……4分∴，，∴，.……6分23.猜想：……1分证明：∵AD平分，∴……2分∵，∴……3分∴，……4分∴……5分∴……6分24.解：（1）根据题意，抛物线经过点，.∴……1分解得……2分∴绳子所对应的抛物线表达式为：……3分（2）身高1.70m的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶.理由如下：∵，当时，……5分∵，∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶.……6分25.（1）证明：∵等腰三角形ABC中，，，∴，，∵，∴……1分∵，又∵，∴……2分∴……3分（2）解：∵，∴……4分∵，，∴……5分∴……6分26.（1）800元；……1分（2）解：设销售单价定为每公斤x元，据题意可得，……3分当时，利润w最大，此时，……5分答：销售单价定为每公斤17元时，每天销售该品种葡萄获得的利润最大，最大利润是810元.……6分27.解：（1）∵抛物线，∴，∴抛物线的顶点坐标为.……2分（2）当时，抛物线开口向上，①若点P、Q在对称轴异侧∵，∴点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，∴，∴，又∵，∴此情况不成立……3分②若点P、Q在对称轴同侧当时，y随x的增大而增大∵，∴……4分当时，抛物线开口向下，①若点P、Q在对称轴异侧∵，∴点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离∴，∴，∴……5分②若点P、Q在对称轴同侧当时，y随x的增大而减小，∵，∴与矛盾，∵此情况不成立……