专题07直线与圆的位置关系（知识梳理专题过关）（解析版）

专题07直线与圆的位置关系【知识梳理】1、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离．（2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离．3、圆的切线方程的求法（1）点在圆上，如图．法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．法二：圆心到直线的距离等于半径．（2）点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆上一点的切线方程是；（2）过圆上一点的切线方程是．4、求直线被圆截得的弦长的方法（1）应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．（3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：=．【专题过关】【考点目录】考点1：直线与圆的位置关系考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用考点3：切线问题考点4：切点弦问题考点5：弦长问题考点6：面积问题考点7：直线与圆中的定点定值问题【典型例题】考点1：直线与圆的位置关系1．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中高二期中）直线与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【答案】B【解析】圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切．故选：B2．（2020·四川·泸州老窖天府高二期中（理））已知点在圆上，则直线与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断【答案】B【解析】由题意得，又，即直线与圆相切故选：B3．（2021·黑龙江·牡丹江高二期中）直线与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切【答案】B【解析】圆，即，表示以为圆心、半径等于3的圆．圆心到直线的距离．再根据，而的判别式，故有，即，故直线和圆相交，故选：B．4．（2022·上海市控江高二期中）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直线过定点，

曲线为以为圆心，1为半径，且位于轴上半部分的半圆，如图所示当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，此时，解得．当直线和曲线相切时，直线和半圆有一个交点，圆心到直线的距离，解得结合图像可知，当时，直线和曲线恰有两个交点故选：B5．（2021·浙江台州·高二期中）直线与圆有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】因为直线与圆有两个不同的交点所以圆心到直线的距离小于圆的半径圆心为，半径所以，整理得：解得：故选：B．6．（多选题）（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验高二期中）已知直线与圆，则（

）A．直线与圆C相离B．直线与圆C相交C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】由圆，可知其圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误．故选：BD7．（2021·四川眉山·高二期中）圆与直线的位置关系为__________．【答案】相交【解析】由得，令所以直线过定点．把的坐标代入圆的方程的左边得到，所以点在圆内，所以直线和圆相交．故答案为：相交8．（2021·辽宁实验高二期中）已知圆上至少存在两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】根据题意得圆的圆心为，半径为，因为圆上至少存在两点到直线的距离为1，所以圆心到直线的距离满足：，即，解得所以实数的取值范围是故答案为：9．（2022·全国·高二课时练习）已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数c的取值范围是______．【答案】【解析】由圆的方程知其圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，则；圆上有且仅有四个点到直线的距离为，则，解得：，所以实数c的取值范围是．故答案为：．考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用10．（2021·安徽·马鞍山高二期中）已知一个动点P在圆上移动，它与定点所连线段的中点为M．（1）求点M的轨迹方程；（2）是否存在过定点的直线l与点M的轨迹方程交于不同的两点，，且满足，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）设，因M是线段PQ的中点，而点，则有点，因在圆：上，于是得：，化简得：，所以点M的轨迹方程是：．（2）假定存在符合条件的直线l，当l斜率不存在时，直线与圆M相切，不符合题意，当直线l斜率存在时，设直线l方程为：，由消去y并整理得：，则，解得，，，由，得，解得，与矛盾，所以不存在过定点的直线l与点M的轨迹方程交于不同的两点，，且满足．11．（2021·云南大理·高二期中）已知圆的圆心C在直线上，且圆经过，两点．（1）求圆的方程；（2）已知点，过原点的直线与圆交于，两点，且．若，求直线的斜率的取值范围．【解析】（1）设，则，解得，．从而圆的半径，故圆的方程为（或）．（2）设直线：，，．联立，整理得，则，．因为，两点在直线上，所以，，所以，．因为，所以，所以，即，则，即．因为，所以，所以，解得．12．（2021·浙江省象山县第二高二期中）已知圆过点，且圆心在轴．（1）求圆的标准方程；（2）圆与轴的负半轴的交点为，过点作两条直线分别交圆于，两点，且，求证：直线恒过定点．【解析】（1）由题意设圆心为，则，解得，，所以圆方程为；（2）在圆方程中令得或，所以，斜率存在时，设方程为，设，由得，，即（*），，，，，化简得，，所以或，都满足（*）式．时，方程为，过定点，舍去，时，方程为，过定点，斜率不存在时，，，，又，，解得，因此也过点．综上，直线过定点．13．（2021·广东外语外贸大学实验高二期中）已知过点且斜率为k的直线l与圆交于M，N两点．（1）求k的取值范围；（2）若，其中O为坐标原点，求．【解析】（1）圆，圆心，半径设直线的方程为，即因为直线与圆交于两点，所以，解得．所以的取值范围为．（2）设，．联立，整理得，所以，，所以．由题设得，解得，所以直线的方程为，所以圆心在直线上，所以．14．（2021·广东·广州市第七十五高二期中）已知圆C经过两点A（2，2），B（3，3），且圆心C在直线x－y+1=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+1与圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，求|MN|的值．【解析】（1）设所求圆的标准方程为，由题意，有，解得，所以圆C的标准方程为；（2）设，，，，将代入，整理得，所以，，，所以，解得或，检验时，不合题意，所以，所以，，所以．考点3：切线问题15．（2021·安徽·合肥市第六高二期中（理））圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上（1）求圆心为C的圆的方程；（2）过点作圆C的切线，求切线的方程．【解析】（1）因圆心C在直线上，则设，由得：，解得，因此，圆心，半径，所以圆C的方程为：．（2）设过点的圆C的切线方程为：，，于是有：，整理得：，解得或，当时，切线方程为：，当时，切线方程为：，所以过点的圆C的切线方程为或．16．（多选题）（2021·湖北·高二期中）设有一组圆，下列命题正确的是（

）A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上B．存在圆经过点C．存在定直线与圆都相切D．经过点的圆有且只有一个【答案】AC【解析】根据题意，圆，其圆心为，半径为2；依次分析选项：对于A，圆心为，其圆心在直线上，A正确；对于B，圆，将代入圆的方程可得，化简得，，方程无解，B错误；对于C，存在直线，即或，圆心到直线或的距离，这两条直线始终与圆相切，C正确，对于D，将代入圆的方程可得，解得，故D错误；故选：AC．17．（2021·安徽滁州·高二期中）过圆上一点作圆O的切线l，则直线l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意点为切点，所以，又，所以，因此直线l的方程为．故选：D18．（2021·天津市咸水沽第二高二期中）过点作圆的切线，则的方程为（

）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圆心为（1，3），又由点M的坐标为（3，1），有，即点M在圆上，则，则切线的斜率k＝1，则切线的方程为y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；故选：C．19．（2021·山东济宁·高二期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【解析】把圆化为标准方程得：．因为在圆上，所以过P的切线有且只有一条．显然过点且斜率不存在的直线：与圆相交，所以过P的切线的斜率为k．因为切线与过切点的半径垂直，所以，解得：，所以切线方程为：，即．故选：B20．（2022·四川·泸县高二期中（文））已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圆，可知该圆的圆心坐标为，半径为，因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在直线上，所以有，因为过点向圆作切线，切点为，所以所以，故选：C21．（2022·甘肃·临泽县第一高二期中（理））直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为，因为直线平分圆的周长，所以直线经过，所以，故，由已知，，，圆的半径为3，所以，故选：B．22．（2022·上海·华东师范大学附属东昌高二期中）经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为__________．【答案】【解析】由题意，圆，可得圆心坐标为，因为，则，则过点且与圆相切的直线的斜率为，根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即，即点且与圆相切的直线的一般式方程为．故答案为：23．（2021·湖南·常德市第二高二期中）已知圆C：x2＋y2＝20，则过点P（4，2）的圆的切线方程是________．【答案】【解析】由知在圆上，而，，所以所求切线斜率为，方程为，即．故答案为：．24．（2022·上海理工大学附属高二期中）过点且与圆相切的直线的方程是______．【答案】或【解析】当直线l的斜率不存在时，因为过点，所以直线，此时圆心到直线的距离为1=r，此时直线与圆相切，满足题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，所以，即，因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以直线l的方程为．综上：直线的方程为或故答案为：或25．（2021·四川省叙永第高二期中（文））过直线上的动点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为____________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程为，其圆心，半径；设圆心为，即；则有，当取得最小值时，切线长最小，因为的最小值为，则的最小值为；故答案为：．26．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中高二期中）已知圆与直线相切，则___________．【答案】【解析】，圆的圆心为（2，－2），半径r＝1，∵圆和直线相切，∴．故答案为：．考点4：切点弦问题27．（2021·福建宁德·高二期中）过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是________．【答案】【解析】设切点分别为，因为点在圆上，所以以为切点的切线方程分别为：，而点在两条切线上，所以，即点P满足直线．故答案为：．28．（2021·广东·广州市第六十五高二期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_________．【答案】【解析】根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则，则以为圆心，为半径为圆为，即圆，为两圆的公共弦所在的直线，则有，变形可得：；即直线的方程为，故答案为：29．（2021·安徽·合肥高二期中）已知圆，过动点分别做直线、与圆相切，切点为、，设经过、两点的直线为，则动直线恒过的定点坐标为__________．【答案】【解析】设点为圆上一点，当的斜率存在且不为零时，直线的斜率为，此时，圆在点处的切线方程为，即，当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足，当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足．综上所述，圆在其上一点处的切线方程为．设点、，则直线的方程为，直线的方程为，由题意可得，所以，点、的坐标满足方程，故直线的方程为，即，由，解得，因此，直线恒过的定点坐标为．故答案为：．30．（2021·安徽·屯溪高二期中）已知直线是圆的对称轴．过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，圆C的标准方程为，即圆心为C（2，1），半径为2．点（2，1）在直线上，即点A的坐标为（-4，-1）过点A作圆C的切线所得切线长为以点A为圆心，6为半径的圆A的方程为圆A与圆C的方程作差得，即直线BD的方程为故选：A．31．（2021·四川省绵阳第一高二期中）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即，圆心为，半径．当斜率不存在时，直线与圆相切，切点为；当斜率为0时，直线与圆相切，切点为．故直线方程为斜率，直线方程为，即．故选：A．32．（2020·安徽·六安市城南高二期中（理））过原点作圆的两条切线，设切点分别为、，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，可化为，∴圆心，半径，则有，故切线段长，若线段的长为，则，得．故选：B．考点5：弦长问题33．（2021·广东·化州市第三高二期中）过点M（2，2）的直线l与圆x2+y2﹣2x﹣8＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_____；此时直线l的方程为_______．【答案】

4

【解析】∵圆x2+y2﹣2x﹣8＝0，即（x﹣1）2+y2＝9，圆心C（1，0），半径为3，点M（2，2）在圆内，，要使|AB|的值最小，则MC⊥AB，此时|MC|＝，|AB|＝；直线l的斜率为，则直线l的方程为y﹣2＝（x﹣2），即x+2y﹣6＝0．故答案为：4；．34．（2021·湖北黄冈·高二期中）已知直线与圆有公共点，则的取值范围为______，所有的弦中，最长的弦的长度为______．【答案】

【解析】由于直线与圆有公共点，所以；又弦长，可知当时，有最大值，其最大值为．故答案为：，35．（2021·广东·潮州市湘桥区南春高二期中）已知三点在圆C上，直线，（1）求圆C的方程；（2）判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．【解析】（1）设圆C的方程为：，由题意得：，

消去F得：，解得：，∴F=-4，

∴圆C的方程为：．（2）由（1）知：圆C的标准方程为：，圆心，半径；点到直线的距离，故直线与圆C相交，故直线被圆C截得的弦长为36．（2021·广东·新会陈经纶高二期中）已知圆，直线．（1）写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系；（2）设直线与圆交于A、两点，若直线的倾斜角为120°，求弦的长．【解析】（1）由题设知圆：，∴圆的圆心坐标为C，半径为r＝．又直线可变形为：，则直线恒过定点，∵，∴点在圆内，故直线必定与圆相交．（2）由题意知，∴直线l的斜率，∴圆心到直线：的距离，∴．37．（2022·山东·济南外国语高二期中）已知圆的圆心在轴上，且经过点．（1）求线段的垂直平分线方程；（2）求圆的标准方程；（3）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．【解析】（1）设的中点为，则．由圆的性质，得，所以，得．所以线段的垂直平分线的方程是．（2）设圆的标准方程为，其中，半径为，由（1）得直线的方程为，由圆的性质，圆心在直线上，化简得，所以圆心，，所以圆的标准方程为．（3）由（1）设为中点，则，得，圆心到直线的距离，当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程，即，由题意得，解得；故直线的方程为，即；综上直线的方程为或．38．（2021·湖北宜昌·高二期中）已知圆M过点．（1）求圆M的方程；（2）若直线与圆M相交所得的弦长为，求b的值．【解析】（1）设圆M的方程为，因为圆M过三点，则解得，所以圆M的方程为，即；（2）由题意，得圆心到直线l的距离，故，即，解得或16．故所求b的值为6或16．39．（2022·上海·华东师范大学附属东昌高二期中）直线被圆所截得的弦长为__________【答案】【解析】圆的圆心为，半径为圆心到直线的距离为则直线被圆所截得的弦长为故答案为：40．（2021·福建·晋江市第一高二期中）已知是圆内一点，则过点最短的弦长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆，即，则该圆的半径为，圆心为，M到圆心的距离，过点最短的弦长为=．故选：A41．（2022·全国·高二期中）若直线与圆所截得的弦长为，则实数为（

）．A．或 B．1或3 C．3或6 D．0或4【答案】D【解析】圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，又直线被圆所截的弦长为，故，即，解得或．故选：D．42．（2022·江苏·淮阴高二期中）已知直线与圆相交于、两点，若，则实数的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为且，故为等腰直角三角形，且，则圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可为，解得或．故选：A．43．（2022·广东·仲元高二期中）已知直线：与圆相交于，两点，若，则非零实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆，可化为，∴圆心C的坐标，半径为∴圆心到直线的距离为，又圆心到直线的距离∴，解得（舍去）或故选：C考点6：面积问题44．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城高二期中）过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，当切线长最小时，切线长为_________；同时的面积为_______．【答案】

1

【解析】依据题意，作出图形，如下图：因为直线过点且与圆相切于点A，所以，所以，要使得最小，则要最小，由题可得：的最小值就是点到直线的距离．此时，，所以由切线的对称性可得：所以的面积为，故答案为：1；．45．（2021·广西·防城港市防城高二期中）已知点，点，直线过定点．（1）求以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）记（1）中求得的圆的圆心为C，（i）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（ii）若直线l与圆C交于，PQ两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．【解析】（1）依题可知线段AB的中点为是圆心，半径．∴所求圆的标准方程为：；（2）（i）由（1）知：圆心，半径，当直线斜率不存在时，方程为，是圆的切线，满足题意；当直线斜率存在时，设其方程为，即，∴圆心到直线距离，解得：，∴：；综上所述：直线的方程为或；（ii）由直线与圆交于，两点知：直线斜率存在且不为0，设其方程为：，即，∴圆心到直线距离，∵（当且仅当，即时取等号），由得：，解得：或，∴面积的最大值为2，此时方程为：或．46．（2020·四川省成都高新实验高二期中）已知直线与圆相交于，两点，求：（1）交点，的坐标（2）的面积．【解析】（1）直线与圆的交点，由，可得，所以交点，的坐标为，（2）设直线与轴的交点为，则所以47．（2020·湖北·高二期中）直线与圆交于、两点，则的面积是_________．【答案】【解析】圆，到直线的距离，∴，∴故答案为：48．（2021·广东·佛山高二期中）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，，故点在圆内，如下图所示：则，过点的弦过圆心时，弦长取最大值，即，当过的弦与垂直时，弦长取最小值，即，此时，此时，四边形的面积为．故选：C．49．（2021·福建龙岩·高二期中）设直线与圆相交于、两点，且的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三角形的面积公式可得，可得，，故，则为等腰直角三角形，所以，圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得．故选：D．50．（2021·江西南昌·高二期中（理））已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（

）A． B． C．8 D．13【答案】B【解析】圆的方程为，化为标准方程：，圆心为，半径为，当过点的直线与垂直时，弦长最短，且，当过点的直线且过圆心时，弦长最长，且，此时，，所以四边形ABCD面积为，故选：B考点7：直线与圆中的定点定值问题51．（2021·山东潍坊·高二期中）已知圆的圆心与点关于直线对称，且圆与轴相切于原点．（1）求圆的方程；（2）过原点的两条直线与圆分别交于两点，直线的斜率之积为，为垂足，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）（1）设M（a，b）．则．解得．所以该圆的半径为3，．所以圆M的方程为；（2）设OA所在直线方程为，联立得，同理把k换做－，可得所以AB所在直线方程为）．当时，可得，故直线AB过定点C（4，0）．由于OC为定值，且△ODC为直角三角形，OC为斜边，所以OC中点P满足为定值，由于O（0，0），C（4，0），故由中点坐标公式可得P（2，0），故存在点P（2，0），使得|DP|为定值．52．（2021·全国·高二期中）已知圆经过点，及．经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点．（1）求圆的标准方程；（2）若点，分别记直线､直线的斜率为､，求的值．【解析】（1）设圆的方程为：，由圆过，及．∴可得，∴圆的方程为：，其标准方程为