第二节一阶微分方程2

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第二节

一阶微分方程一、可分离变量方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程一、可分离变量方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法例1

求解微分方程解分离变量两端积分典型例题例2.求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C

为任意常数)或说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)机动目录上页下页返回结束例3.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C

为任意常数)故所求特解为机动目录上页下页返回结束通解为解二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程

.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动目录上页下页返回结束例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(

当C=0

时,

y=0

也是方程的解)(C

为任意常数)机动目录上页下页返回结束例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:

显然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

为任意常数)求解过程中丢失了.机动目录上页下页返回结束例3

求解微分方程微分方程的解为解三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为非齐次方程

.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程

;机动目录上页下页返回结束对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动目录上页下页返回结束例1.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得

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