第二章 解析函数

复变函数

与积分变换

主讲：王兴波教授佛山科学技术学院

大学数学多媒体课件2023/11/141参考用书《复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社

《复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5

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目录第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章解析函数的级数表示第五章留数及其应用第六章傅立叶变换第七章拉普拉斯变换第一章复数与复变函数2023/11/143第二章解析函数内容提要：解析函数是复变函数研究的主要对象．在理论和实际问题中有着广泛的应用，本章在介绍复变函数导数的概念和求导法则的基础上，着重讲解析函数的概念，判别方法及重要性质．

2023/11/144第二章解析函数2.1解析函数的概念2.2解析函数和调和函数的关系2.3初等函数本章小结思考题2023/11/145第一节解析函数的概念一、复变函数的导数与微分

1．导数定义

2023/11/146例1．解：例2．解：2023/11/1472．可导与连续关系

从例2从可以看出：

结论：

证明：由导数的定义可知

2023/11/1483．求导法则

结论：由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数在形式上完全相同，而且极限的运算法则也一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中去．

2023/11/1494．微分的概念

复变函数的微分在形式上与一元实函数的微分概念一样，因此类似有：

证明：2023/11/1410二、解析函数

在复变函数理论中，重要的不是只在个别点可导的函数，而是在区域D内内处处可导的函数，即解析函数．

1．解析函数的概念

注意：

（1）函数在区域内解析与在区域内可导是等价的；

（2）函数在一点处解析和可导是两个不等价的概念，即在一点处可导不一定在该点解析；

2023/11/1411例3．解：所以在整个复平面处处解析．所以在整个复平面处处不解析．函数在复平面上处处不解析

2023/11/1412例4．解：定理1：在区域D内解析函数的和、差、积、商（除去分母为0的点）在D内解析定理2：设函数．定理3：任何有理分式函数2023/11/14132．函数解析的充分必要条件

定理1：证明：必要性2023/11/1414且沿平行于实轴方向：

沿平行于虚轴方向：

2023/11/1415充分性2023/11/1416定理2：函数判别函数在区域解析的常用方法例1．判定下列函数在何处可导，在何处解析？解：2023/11/1417这个函数特点：其导数是本身，今后看到这个函数就是复变函数中的指数函数．2023/11/1418例2．解：例3．证明：2023/11/14192023/11/1420第二节解析函数与调和函数关系

平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是一种特殊的二元实函数，即所谓的调和函数，它们都与某种解析函数有着密切的关系．下面给出调和函数的定义．

一、调和函数的概念

定义1：(调和函数)2023/11/1421定理1：设函数

证明：解析函数有任意阶导数，并且解析函数的导数仍是解析函数.

2023/11/1422二、共轭调和函数

定义2：(共轭调和函数)定理2：复变函数

根据这个定理，可以利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数．

三、解析函数与调和函数的关系

2023/11/1423例1．解：2023/11/14242023/11/14252023/11/1426例2．解：用不定积分法

凑x+iy形式2023/11/1427例3．解：为什么与积分路径无关？2023/11/1428作业习题二2.1(1)(2)2.2(1)(3)2.3(1)2.4(1)(2)2.72.82.9(1)（2）(3)2.10P522023/11/1429第三节初等函数本节将把实变函数中的一些初等函数推广到复变函数中，研究它们的性质，并讨论它们的解析性．

一、指数函数

1.定义：2023/11/14302．性质：2023/11/1431例1．解：据指数的定义，有

例2．解：因为

2023/11/1432二、对数函数

与实变量函数一样，对数函数的定义为指数函数的反函数．

1.定义：2023/11/1433例3．解：2023/11/14342．性质：2023/11/1435三．乘幂与幂函数

定义1：有多少值呢？2023/11/1436例2．解：2023/11/14372．幂函数定义2：2023/11/1438四、三角函数和双曲函数

1．三角函数两式相加与相减，分别得：

（1）三角函数定义2023/11/1439（2）性质（3）三角公式2023/11/14402．双曲函数性质：2023/11/1441公式：2023/11/1442五、反三角函数和反双曲函数

1．反三角函数2023/11/14432．反双曲函数2023/11/1444例3．求下列方程