初等数论§2不定方程

第二章不定方程§2.1二元一次不定方程2023/11/141一、问题的提出〔百钱买百鸡〕鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”分析：设x,y,z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数，则可列出方程如下：消去z得到方程

这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内，方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。2023/11/142小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用以铺地板,则下列选择正确的是（）分析：这类问题实质上是“不定方程求正整数解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360度角，并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。A、①②、B、①③、C、②③、D、②④设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成，则有60m+90n=360.2023/11/143二元一次不定方程的一般形式为注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。2023/11/144二、二元一次不定方程解的形式和判定定理1若〔1〕式有整数解则〔1〕式的一切解可以表示为（2）2023/11/145定理1的证明：证：把〔2〕代入〔1〕，成立，故〔2〕是〔1〕的解。2023/11/146例2写出下列方程通解的形式：2023/11/147说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样，解决问题的关键在于求一个特解。问题：所有的二元一次方程都有解吗？定理2有整数解即为方程〔1〕的解。2023/11/148三、求二元一次不定方程整数解的一般方法先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。对于方程(1),若有解，则可化为一般地，利用辗转相除法，得到2023/11/149例3求方程的一个特殊解。解：用7、4进行辗转相除法2023/11/1410例4求〔1〕的一切整数解。原方程可以化为先求〔3〕的一个整数解。107＝37×3－4，37＝4×9+1，

从而

故〔3〕的一个整数解是〔2〕的一个整数解是原方程的整数解为2023/11/1411三、求二元一次不定方程整数解的一般方法代数运算，观察法例5求的一切整数解。即得到原方程的一个整数解从而所求的一切整数解为2023/11/1412三、求二元一次不定方程整数解的一般方法变量代换法例6求的一切整数解。解：原方程可化为则方程可化为则方程可化为则方程可化为逐步往回代入，可得2023/11/1413习题讲解：则其一切整数解可以表示为设是原方程的一个非负整数解，t的取值区间长度为从而得证。2023/11/1414（1）方程的一般解可以表示为

在a个单位长度内，y一定有整数解。

所以，一定存在某个，使得对此t，代入原方程，得2023/11/1415代入原方程，有假设存在非负整数解，则代入〔*〕，显然不成立。2023/11/14162023/11/1417§2.2多元一次不定方程一、多元一次不定方程有解的判定定理1方程〔1〕有解2023/11/1418定理1方程假设上述条件对n-1是成立的，下证对n也成立。令其一整数解为故该方程有解，记为进而得到是原方程的一个整数解。2023/11/1419二、多元一次不定方程求解的方法例1求不定方程x

2y

3z=7的所有整数解。（1）的解为（2）的解为把(4)代入(3),消去t,得注：三元一次不定方程的整数解中含有2个参数.2023/11/1420一般地，我们可以给出多元一次不定方程的求解方法.2023/11/1421二、多元一次不定方程求解的方法若d不能整除N，则原方程无整数解；否则，继续下面的步骤。(2)构造如下的n-1个方程(3)求出每个方程的所有整数解〔含参数ti〕，再逐步代入上面的方程中，消去所有的ti，从而得到原方程的所有整数解。2023/11/1422例2求方程的一切整数解。原方程有整数解。列出如下的2个方程：(1)的解为(2)的解为把t的值代入x,y的表达式，得到原方程的一切整数解为2023/11/1423(1)的解为(2)的解为把t的值代入x,y的表达式，得到原方程的一切整数解为例3把分解为三个分母两两互质既约正分数之和。2023/11/1424例3把分解为三个分母两两互质既约正分数之和。2023/11/1425§2.3勾股数2023/11/1426

人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？科学家们想尽了各种方法，比如通过卫星发射向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐等。而我国数学家华罗庚曾经建议，要探知其他星球上有没有“人”，我们可以发射类似下面的图形，如果他们是“文明人”，必定认识这种“语言”.那这个图形的到底有什么秘密呢？

我是地球人,Iamamanontheearth…﹌﹋﹠★◎▼♀♂2023/11/1427

毕达哥拉斯,(公元前572-前492年),古希腊著名的数学家、哲学家、天文学家。毕达哥拉斯相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，从朋友家的地板中发现了这个秘密.2023/11/1428ABCSA+SB=SC

等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2023/11/1429毕达哥拉斯定理：

毕达哥拉斯

“勾股定理”在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”．

相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛定理”．

2023/11/1430赵爽弦图赵爽:东汉末至三国时代吴国人.为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图》。这是我国对勾股定理最早的证明。“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。正因为如此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。2023/11/1431cba=2023/11/1432这就是本届大会会徽的图案．

这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．2023/11/14331876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。2023/11/1434aabbcc伽菲尔德证法:∴a2+b2=c22023/11/1435一、问题的提出我们把满足二次不定方程的正整数解称为勾股数.早在我国古代数学书《周髀算经》中，就载有“勾三股四弦五”，实际上说明该方程存在整数解。方程〔1〕的非零整数解如何去求，其解具有怎样的特征，是这里要回答的问题。《周髀算经》是中国流传至今最早的一部数学著作,同时也是一部天文学著作。现传本大约成书于西汉时期(公元前一世纪)。也有史家认为它的出现更早，是孕于周而成于西汉，甚至更有人说它出现在纪元前1000年。2023/11/1436二、二次不定方程解的形式为简单起见，我们先求方程〔1〕满足下述条件(2)的解注：〔2〕中的条件可以改写为定理1：2023/11/1437定理1的证明：

不论z如何取值，z2也不可能表示为该形式。

讨论同(2).2023/11/1438定理1虽然给出了勾股数的一些特征，如何进一步写出任意的勾股数呢？引理不定方程的一切正整数解，可以写成下面的形式充分性显然；必要性的证明如下：2023/11/1439定理2：(5)充分性：2023/11/1440必要性：定理2：(5)2023/11/1441推论单位圆周上坐标都是有理数的点可以写成的形式，其中a与b是不全为零的整数。证明：显然都是单位圆周上的有理点。另一方面，单位圆周上的有理点代入定理2即得证.2023/11/1442Fermat大定理

约于1637年，在Diophantus

Arithmetica(Book2,ProblemVIII)的旁白上，PierredeFermat写道：“不可能把一个立方数分成两个立方数，或把一个四次幂分成两个四次幂，或一般地把一个高于二次的幂分成两个同一次的幂；对此，我发现了一个殊堪称道的证明，但这里的空白太小，容不下。”

2023/11/1443相关高次方程解的判定定理3不定方程证明〔反证〕不可能！2023/11/1444定理3中使用的证明方法称为无穷递降法，常用于判定方程的可解性.2023/11/1445推论方程没有满足的整数解。证:反证2023/11/14462023/11/1447习题提示：连续两次运用的结论可以得出。仿照的证法。2023/11/1448补充例题：例1.设x，y，z是互质的勾股数，x是素数，证明：2z

1，2(x

y

1)都是平方数.证：由x2=(z

y)(z

y)及x是素数得

z

y=x2，z

y=1，

于是2z

1=x2，

2(x

y

1)=(x

1)2

都是平方数。2023/11/1449例2.求整数x，y，z，x>y>z，使x

y，x

z，y

z

都是平方数。

解：设x

y=a2，y

z=b2，x

z=c2，

则a2

b2=c2，而方程a2

b2=c2的解可以表示为

.由此得x=(u2

v2)2

t，y=(u2

v2)2

t或4u2v2

t，z=t，u,v,t

Z.2023/11/1450例3.求方程x2

xy

6=0的整数解。

解：由x(x

y)=6得

从而(x,y)的取值为：或(3,

1)，或(

3,1)，或(6,

5)，或(

6,5)。(1,5)，或(

1,

5)，或(2,1)，或(

2,

1)，2023/11/1451例4.求方程的正整数解。解：显然x>z，y>z，

令x=z

s，y=z

t，s，t

N，

代入方程可得z2=st，

于是s=a2d，t