波动方程和能量

第三节振动合成7-6ssss波动方程和波的能量1一.波动方程(waveequation)

（1）§7-6波动方程和波的能量

2（1）（2）式联立得上式就是平面波的波动方程(2)同理3对于纵波和横波，式中的波速分别为

和纵波的波动方程横波的波动方程说明：1.一般来说，它适用于各向同性的均匀介质

42.波动方程是线性的方程，从理论上保证了波动满足叠加原理；

如果y1和y2都是波动方程的解

将以上两式相加，得

是波动方程的解，是两列波的叠加。所以说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠加原理

53.在比例极限以内，应力与应变满足线性关系。在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波，当这样的波传来时，所引起的形变是很小的。

6二、波的能量

波源的能量随着波传播到波所到达的各处。以平面简谐纵波为例，如图。取棒元

x

，质量为

m=

S

x

其动能波函数为振动速度

棒元的动能

波传到时棒元的形变

7式中k是把棒看作弹簧时棒的劲度系数。

势能为8由波函数和波速可得棒元的总机械能

这与振动的情形是不同的，对于振动，系统的总机械能是恒定的。

9讨论：1.参与波动的介质体元的动能和势能以相同的规律在随时间变化：

当某介质体元通过平衡位置时，形变和速度都达到最大，故势能和动能也都出现最大值；当达到最大位移时，形变和速度都为零，故势能和动能也都出现零值。即：平衡位置时的总能量：最大位置时的总能量：102.还有一点需要指出的，这就是势能属于谁的问题。在波动中介质体元的势能是由介质体元自身的形变引起的，所以这份势能就应该属于形变体元自身所具有。形变体元实际上已经包含了相互作用着的各个物体，或者说，形变体元自身就是一个由相互作用的物体所组成的系统

.三、波的能量密度和平均能量密度1.波的能量密度介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度。11波的能量密度在一个周期内的平均值，称为平均能量密度。上式表示，波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和介质密度的乘积成正比。2.波的平均能量密度12三、波的能流和能流密度(energyfluxdensity)

单位时间内通过介质中某面积的能量，称为通过该面积的能流。

Su1.能流2.平均能流在一个周期内的平均值，称为通过该面的平均能流。13单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能流，称为能流密度，也称波强度。3.能流密度五、波的吸收波在介质中传播时，实际是衰减的，传播的越远，振幅越小，减小的能量转变为介质的热能。设振幅的减小量为－dA，则：14dx为传播的距离，A为dx处的振幅，为衰减系数由该式知，振幅是指数性衰减的。由于波的强度与振幅的平方成正比，所以平面波波强度的衰减规律为：15小结一.平面简谐波的波函数注意：1.如波线与x轴的方向一致，x前取负号，否则取正号；2.坐标原点的选取与波源的位置无关；3.当x一定时，波函数表示了距原点为x

处的质点在不同时刻的位移。即x处质点的振动方程；4.当t一定时，波函数表示了给定时刻Ox轴上各质点的位移分布情况；5.当t和x都变化时，波函数表示了所有质点的位移随时间变化的整体情况16二.平面波的波动方程三、波的能量

当某介质体元通过平衡位置时，形变和速度都达到最大，故势能和动能也都出现最大值；当达到最大位移时，形变和速度都为零，故势能和动能也都出现零值。17四、波的能量密度和平均能量密度1.波的能量密度介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度。2.波的平均能量密度18五、波的能流和能流密度1.能流2.平均能流3.能流密度单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能流，称为能流密度，也称波强度。191.3

kg·m-3已知求例一频率为1000Hz波强为3×10

-2W·m–2

330m·s-1此声波的振幅的声波在空气中传播波速为空气密度为解法提要波强IwurAw2221upn2w则A1pn2I2ru×3×10