拓展专题2零点问题（学生版）

拓展专题2零点问题利用导数研究函数的零点问题大多数是高考压轴题，是热点问题，解决这类问题基本思路是：先求出函数的单调区间和极值，然后根据函数性质画出图象，最后转化为函数图象与x轴交点问题。这里突出了导数的工具性，体现了等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合思想。研究零点问题利用导数研究函数的零点问题大多数是高考压轴题，是热点问题，解决这类问题基本思路是：先求出函数的单调区间和极值，然后根据函数性质画出图象，最后转化为函数图象与x轴交点问题。这里突出了导数的工具性，体现了等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合思想。研究零点问题依据是零点存在性定理，它要求f(x)在区间[a,b]上是连续不断曲线，且f(a)∙f(b)<0.本专题主要从三个方面研究零点问题：（1）判断零点个数；（2）根据零点个数求参数；（3）与零点有关的不等式问题（隐零点）。——江苏省清江中学高级教师崔绪春探究1：判断函数零点个数【典例剖析】例1.(2022·江苏省四校联考)已知函数f(x)=axex-(1)若f(-1)是f(x)的极大值，求a的取值范围；(2)若1e<a<1，求f(x)选题意图:选题意图:函数的零点问题是函数的重要内容之一，解答题中考查判断零点个数问题，通常需要判断函数单调性，利用零点存在定理，逐个单调区间判断是否存在零点，形成最终结论，考查逻辑推理能力.思维引导：第（2）问中，令fx=0，易得出0为函数的一个零点；构造函数gx=ae【变式训练】练11(2022·湖南省湖湘名校联考)已知函数f(x)=2ln(2x)-x2+14练12(2022·湖北省高三质检)已知函数fx=a1+(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a>0，讨论f(x)的零点个数．【规律方法】函数零点个数的判定与证明主要通过三种方法进行处理：=1\*GB2⑴直接求解f(x)=0,该方程的解的个数即为零点的个数；=2\*GB2⑵图像法,通过函数的图像,观察图像与x轴交点的个数或是转化为两个函数图像,观察两个函数图像的交点个数；=3\*GB2⑶利用零点存在定理进行判定,也可结合最值、极值进行处理.探究2：已知零点个数求参【典例剖析】例2.(2021·湖南省常德市月考)已知函数f(x)=xlnx+(1)若a=3，求f(x)的单调性和极值；(2)若函数y=f(x)+1ex至少有1选题意图：选题意图：利用导数研究函数的零点问题，已知零点个数求参是一类重要的题型，常见的处理方法有分离参数法、隔离构造函数法、直接构造函数法，本题选用学生最易理解的分离参数法解决，帮助梳理解题思路.思维引导：第（2）问中，分离参数a，构造不含参函数gx=lnx+x+1xex，故a的【变式训练】练21(2022·广东省联考)若函数f(x)=x2ex-ax存在两个不同零点，则实数aA.(-∞ , 1e)练22(2022·广东省东莞市模拟)已知函数fx=aex-1-(1)当a=1时，求fx(2)若fx只有一个零点，求a【规律方法】1.分离参数法：分离之后函数无参数,则可得到函数的图象,然后上下移动参数的值,观察直线与函数图象交点个数即可.2.隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线的含参函数，观察它们图象的变化趋势,找到临界的位置,易求得参数的取值范围,使得运算简化.如fx=x2+1ex-mx-1在[-1,+∞)3.直接构造法：若研究的函数f(x)均比较复杂,故直接研究函数f(x),对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用零点存在定理，判断零点个数，从而求出参数的取值范围.探究3：隐零点问题【典例剖析】例3.(2022·江苏省扬州市模拟)已知函数f(x)=xemx(其中e为自然对数的底数)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当m=1时，若f(x)≥lnx+ax+1恒成立，求实数a选题意图选题意图：导数结构复杂或含参数，其零点存在但不可求，思路调整为利用零点存在定理确定导函数零点所在区间，设出零点表示出函数的单调区间，再进行下一步推导.思维引导：第（2）问，恒成立问题先分离参数，构造不含参函数gx=ex-lnx+1x,g'x的零点存在但不可求，则设出零点x0表示单调区间，得到关于x0的等式【变式训练】练31(2021·浙江省宁波市模拟)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R)．

(1)若f(x)存在极值，求a的取值范围;

(2)当a=-1时，求证：f(x)≤xe练32(2021·吉林省长春市模拟)设函数f(x)=aex-x2-x-1，g(x)=(lnx)2-x2+x(a∈R)

(1)若a=1，记函数f(x)的极值点个数和g(x)的零点个数分别为m，n，求m+n；【规律方法】在利用导数研究函数的性质时,对函数求导后,若f(x)=0是超越形式,我们利用高中知识无法求出函数的零点,但我们由零点存在性定理可判断零点是存在的,我们称之为隐零点.1.不含