曲线运动运动的合成与分解（教师版）

第一讲曲线运动运动的合成与分解[人教版必修第二册]1.第五章第一节P2P4页，(1)曲线运动的速度方向有什么特点？(2)为什么曲线运动是变速运动？(3)曲线运动的条件是什么？提示：(1)做曲线运动的物体在某点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向；(2)速度是矢量，由于曲线运动的速度方向时刻在变化，所以是变速运动；(3)物体所受合力的方向与它的速度方向不在一条线上。2.第五章第二节P7页图，蜡块沿着什么样的轨迹运动？提示：蜡块的轨迹方程为：y=vyvxx，由于vx和vy都是常量，所以3.第五章第二节P9页【思考与讨论】，合运动的轨迹是直线还是曲线是由什么决定的？提示：由合速度的方向与质点所受合力的方向决定的，若合力(或合加速度)的方向与合速度的方向在同一直线上，则轨迹为直线，否则为曲线。4.第五章第一节P3页图，如何利用极限思想，确定物体曲线运动瞬时速度的方向？提示：物体沿曲线从B点运动到A点，当B点越接近A点，物体的平均速度的方向越接近A点的瞬时速度的方向，当两点距离接近0时，瞬时速度的方向沿过A点的切线方向。应用了极限思想。5.P5页，【练习与应用T5】已知速度和合外力的方向，如何画轨迹？提示：曲线运动轨迹夹在速度与合外力方向之间，并向合外力的方向弯曲。6.P9页，【练习与应用T5】汽艇驶到河对岸需要的时间？汽艇的位置？提示：无论河水是否流动，汽艇驶到对岸的时间都是t=dv1=1007.P21页，【复习与提高T6】讨论运动的合成与分解？提示：(1)由vx­t图像可知，质点在x方向做初速度为v0x＝4m/s的匀加速直线运动，加速度为ax＝∆vx∆t＝2m/s2，t＝0.5s时vx＝v0x+axt＝5m/s，方向沿x轴正方向。由y­t图像可知，质点沿y方向做匀速直线运动，沿y方向的分速度为vy＝∆y∆t＝－5m/s，即方向沿y轴负方向。故当t＝0.5s时，v＝vx2+vy2=52m/s，tanθ＝eq(2)t＝0.5s时，质点在x方向的位移x=v0xt+12axt2，在y方向的位移y=y0+vyt。将t＝0.5s、v0x=4m/s、ax＝2m/s2、y0＝10m、vy＝－5m/s(3)轨迹如图所示:考点一曲线运动的基本特征1.曲线运动的速度方向质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。2.物体做曲线运动的条件(1)运动学角度：物体的加速度的方向与它的速度方向不在同一直线上。(2)动力学角度：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上。3.曲线运动的特征(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动。(2)动力学特征：做曲线运动的物体所受合力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上。合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小。(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合力的方向与速度的方向之间，而且向合力的一侧弯曲。(4)能量特征：如果物体所受的合力始终和物体的速度垂直，则合力对物体不做功，物体的动能不变；若合力不与物体的速度方向垂直，则合力对物体做功，物体的动能发生变化。题型一曲线运动的轨迹分析(2023·浙江模拟)2021年8月21日，中国人民解放军火箭军成功发射两枚新型导弹。导弹轨迹通常都十分复杂，如图是分析导弹工作时的轨迹示意图，其中弹头的速度v与所受合外力F关系正确的是()A.图中A点 B.图中B点C.图中C点 D.图中D点D弹头的运动轨迹是曲线，因此合外力与速度关系应满足曲线运动条件，合外力指向轨迹的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向，故选D。题型二曲线运动中速率变化的判断(多选)一个科研团队在某次空气动力学实验中，通过传感器得到研究对象做匀变速曲线运动的轨迹如图所示，且质点运动到最低点D时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是（

）A.质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角大于90°B.质点的速率先增大后减小C.质点经过D点时的加速度比经过B点时的大D.在任意1s内，质点速度改变的大小相同、方向竖直向上ADAB、质点做匀变速曲线运动，则有加速度不变，在最低点D时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，速度沿D点轨迹的切线方向，则知加速度竖直向上，从A点运动到E点的过程中加速度方向与速度方向先成钝角后成锐角，夹角一直减小，故质点的速率先减小后增大，故B错误，A正确；CD、由于加速度不变，在任意1s内，质点速度改变的大小相同、方向竖直向上，故C错误，D正确。故选AD。1.轨迹与合外力、速度间的关系分析思路2.速率变化的判断1.关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是()A.受力可能为零B.加速度可能保持不变C.一定受到变力的作用D.加速度可能和运动方向相同B做曲线运动的物体，一定做变速运动，有加速度，根据牛顿第二定律可知，所受合力不为零，故A错误；物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，即加速度与物体运动方向不在同一直线上，该合力可以是变力，也可以保持不变，即加速度可以保持不变，如平抛运动，故B正确，C、D错误。故选B。2.(2021·安徽质检)如图，一质点在恒力作用下经过时间t从a点运动到b点，速度大小由2v0变为v0，速度方向偏转60°角，则质点的加速度大小为()A.eq\f(\r(3)v0,3t)B.eq\f(v0,t)C.eq\f(\r(3)v0,t)D.eq\f(2v0,t)C根据矢量运算规则，利用三角形定则如图，可得速度的变化量为Δv＝eq\r(3)v0，则质点的加速度大小为a＝∆v∆t＝3v0t，故C考点二运动的合成与分解1.合运动与分运动物体的实际运动是合运动，物体同时参与的几个运动是分运动。2.合运动与分运动的关系(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响。(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。3.运动的合成与分解遵循的运算法则位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。4.物体合运动性质的判断依据(1)加速度(或合外力)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(不变：匀变速运动,变化：非匀变速运动))(2)加速度（或合力）方向与速度方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))5.判断两个直线运动的合运动性质两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动初速度为零的匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果v合与a合共线，为如果v合与a合不共线，为题型一合运动性质和轨迹的判断(2022·辽宁高考)如图所示，桥式起重机主要由可移动“桥架”“小车”和固定“轨道”三部分组成。在某次作业中桥架沿轨道单向移动了8m，小车在桥架上单向移动了6m。该次作业中小车相对地面的位移大小为()A.6m B.8mC.10m D.14mC小车沿轨道方向的位移与沿桥架方向的位移相互垂直，根据矢量的合成与分解可知，该次作业中小车相对地面的位移大小为x＝x12+x22=(多选)如图在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是()A.当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动B.当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动C.当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动D.当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动BC两个互成角度的匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动，当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动，B正确，A错误；互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动是匀变速曲线运动。当消防车匀加速前进时，因消防车加速度恒定，且与消防队员沿梯子运动的方向有一定夹角，故消防队员一定做匀变速曲线运动，C正确，D错误。故选：BC。题型二运动的合成与分解综合图像问题质量为2kg的质点在x­y平面上运动，x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像分别如图甲、乙所示，则质点()A.初速度为4m/s B.所受合外力为4NC.做匀变速直线运动 D.初速度的方向与合外力的方向垂直B质点在x轴方向的初速度为vx＝4m/s，在y轴方向的初速度vy＝3m/s，则质点的初速度v0=vx2+vy2=5m/s，故A错误；由题图可知，质点在x轴方向的加速度a＝2m/s2，在y轴方向做匀速直线运动，所以质点所受合外力F合＝ma＝4N，故B正确；质点在x轴方向的合力恒定不变，在y轴方向做匀速直线运动，在y轴方向合力为零，则质点的合力恒定不变，做匀变速曲线运动，故C错误；质点的合力沿x轴方向，而初速度方向既不沿求解运动的合成与分解问题的几个关键点：(1)求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动与分运动具有等时性、独立性。(2)合运动的位移、速度、加速度是各分运动的位移、速度、加速度的矢量和。(3)恒力作用下物体的匀变速曲线运动可分解为沿力的方向的匀变速直线运动和垂直于力的方向的匀速直线运动。1.（2022·江苏高考）根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤道上方200m处无初速度下落的小球将落在正下方位置偏东约6cm处，这一现象可解释为除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球(

)A.到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零B.到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零C.落地点在抛出点东侧

D.落地点在抛出点西侧D竖直上抛过程中，受到水平向西的力，导致物体具有水平向西的加速度，并且加速度随着竖直方向速度减小而减小，因此物体到最高点时，竖直方向速度为零，水平方向速度向西，因而水平方向受力为零，水平方向加速度为零，故AB错误；将此物体的运动分解成水平方向与竖直方向，考虑对称性，物体落地时在水平方向上的速度正好减小到零；上抛过程中，物体受力方向一直向西，水平方向上向西做加速运动；下降时，物体水平速度方向向西，水平加速度方向向东，水平方向上向西做减速运动；上抛下降过程中水平方向上都向西运动，因此落地点在抛出点西侧，故C错误，D正确。故选D。2.质点Q在xOy平面内运动，其在x轴方向和y轴方向的分运动图像如图甲和图乙所示，下列说法正确的是()A.质点Q做匀变速直线运动，初速度为12m/sB.质点Q做匀变速曲线运动，加速度为5m/s2C.质点Q做匀变速直线运动，2s末的速度为20m/sD.质点Q做匀变速曲线运动，2s内的位移为45mC根据题图甲可得eq\f(x,t)＝k1t＋v0x，根据匀变速直线运动位移公式x＝v0t＋12at2，可得xt＝12at＋v0，所以质点在x轴上的分运动是匀变速直线运动，初速度v0x＝6m/s，加速度ax＝2k1＝2×9-62m/s2＝3m/s2。根据题图乙可知，质点在y轴上的分运动是匀变速直线运动，初速度v0y＝8m/s，加速度ay＝k2＝16-82m/s2＝4m/s2，因为v0xv0y＝axay＝34，可知质点的初速度和加速度在同一条直线上，所以质点做匀变速直线运动，初速度为v0＝v0x2+v0y2＝10m/s，加速度为a＝ax2+ay2＝5m/s2，故AB错误；质点做匀变速直线运动，2s末的速度为v＝v0＋at＝(10＋5×2)m/s＝20m/s，故C正确；质点做匀变速直线运动，3.（多选）一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t（式中的物理量单位均为国际单位）。关于物体的运动，下列说法正确的是（）A.物体在x轴方向上做匀减速直线运动B.物体在y轴方向上做匀加速直线运动C.物体运动的轨迹是一条直线D.物体运动的轨迹是一条曲线BC对应位移与时间公式x＝v0t＋12at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度v0x＝－4m/s，v0y＝6m/s，加速度ax＝－4m/s2，ay＝6m/s2。物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，物体在x轴方向上做匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，物体在y轴方向上做匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度与加速度数值完全相同，故合运动的初速度与加速度方向是相同的，则合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误。故选BC。考点三“小船渡河”问题1.模型构建在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。若其中一个分运动的速度大小和方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看成“小船渡河模型”。2.模型条件(1)物体同时参与两个匀速直线运动。(2)一个分运动速度大小和方向保持不变，另一个分运动速度大小不变，方向可在一定范围内变化。3.小船渡河的两类问题、三种情境最短时间问题最短位移问题渡河情境渡河条件v船⊥v水v合⊥v水（v船＞v水）v合⊥v船（v水＞v船）渡河结果最短时间tmin＝d最短位移为河宽d最短位移为v水小船渡河的时间和位移问题一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s。(1)若船在静水中的速度为v2＝5m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)若船在静水中的速度为v2＝5m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(3)若船在静水中的速度为v2＝1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(1)船头垂直于河岸36s90eq\r(5)m(2)船头与上游河岸成60°角24eq\r(3)s180m(3)船头与上游河岸成53°角150s300m(1)若v2＝5m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度沿倾斜方向，垂直河岸分速度为v⊥＝v2＝5m/st＝dv⊥＝dv2＝180v合＝v1x＝v合t＝90eq\r(5)m。(2)若v2＝5m/s，欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船头应朝图乙中的v2方向。垂直河岸过河要求v∥＝0，如图乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短，x＝d＝180mt=(3)若v2＝1.5m/s，与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为β，则航程x＝dsinβ，欲使航程最短，需β最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心、v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度方向，欲使v合与河岸下游方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v此时sinβ＝v2v1＝35所以船头应朝与上游河岸成53°角方向。最短航程为x＝dsinβ。1.小船渡河运动的合成与分解原则2.求解小船渡河问题的关键和方法(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动方向，船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动方向，一般情况下与船头指向不一致。(2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运动的独立性，由t＝eq\f(x⊥,v⊥)＝eq\f(x水,v水)＝eq\f(x合,v合)求解。(4)求最短渡河位移：当水速小于船速时，即为河宽；当水速大于船速时，根据船速v船与水流速度v水的情况用三角形定则求极限的方法处理。1.(2021·辽宁高考)1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为()A.75s B.95sC.100s D.300sD当船头垂直河岸方向行驶时，渡河时间最短tmin=dv船=2.船在静水中的速度为3m/s，河水的流速与河水离河岸的距离关系如图所示，河宽为300m，则当船按渡河时间最短的方式渡河时（）A.船渡河的最短时间是60sB.船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直C.船在河水中航行的最大速度是3m/sD.船在河水中航行的轨迹是一条直线B船按渡河时间最短的方式渡河时，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直，B正确；船渡河的最短时间是tmin＝dv船＝100s，A错误；船在河水中航行的最大速度是vmax＝v船2+v水max2＝5m/s考点四关联速度问题1.常见模型2.模型特点(1)与绳（或杆）连接的物体速度方向与绳（或杆）所在的直线不共线。(2)绳（或杆）的长度不变，绳（或杆）两端的物体沿绳（或杆）方向的分速度相等。题型一绳端速度的关联问题（多选)如图所示，可视为质点的小球套在光滑的竖直杆上，一根不可伸长的细绳绕过滑轮连接小球，已知小球重力为1N，电动机从A端以1m/s的速度沿水平方向匀速拉绳，绳子始终处于拉直状态。某一时刻，连接小球的绳子与竖直方向的夹角为60°，对此时小球速度及绳子拉力的判断正确的是()A.小球的速度为2m/s B.小球的速度为0.5m/sC.绳子的拉力大于2N D.绳子的拉力等于2NAC小球的速度可以分解为沿绳方向的速度和垂直于绳方向的速度，小球沿绳方向的速度与电动机拉绳的速度大小相等，连接小球的绳子与竖直方向的夹角为60°时，有v＝v球·cos60°，所以v球＝2v＝2m/s，选项A正确，B错误；小球的速度v球＝vcosθ，小球向上运动的过程中，绳子与竖直方向的夹角增大，则cosθ减小，所以小球的速度增大，即小球做加速运动，所以绳子竖直向上的分力大于小球的重力，当θ＝60°时，有Tcos60°>G＝1N，所以此时绳子的拉力大于2N，选项C正确，D错误。故选AC。题型二杆端速度的关联问题如图所示，长为L的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以水平速度v匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ