能力专题14空间想象能力（学生版）

能力专题14空间想象能力名师推荐直观想象是高中数学核心素养之一，是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。高考目标是要求能够借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。直观想象是高中数学核心素养之一，是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。高考目标是要求能够借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。通过本专题的复习要在直观想象形成过程中,注意培养自己的几何直观和空间想象能力，注意加强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。专题中三个探究（几何体截面、折叠问题、动态问题）都是高考中立体几何热点难点所在，通过对这三类问题的突破更好的体现空间想象能力对我们的重要性，更好的为我们起到思维引导作用。——大冶一中高级教师陈俊杰探究1：空间几何体中的截面问题【典例剖析】例1.(2022·湖南·模拟)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2, AA1=BC=1，点E为AB的中点，过CE作长方体的截面α交棱C1A.不存在点F，使得DF⊥α

B.当截面为平行四边形时，截面面积的最大值为2

C.截面可能是六边形

D.随C1F的增大，直线AF与截面选题意图:选题意图:空间几何体的截面问题对空间想象能力的要求较高.本题以常规几何体（长方体）为载体，探究截面的不同形状，截面面积、线面角的变化等，解决问题的方法是借助于空间向量的坐标表示，将几何问题作代数化处理，最后再回归到几何问题本身.思维引导：先建立空间直角坐标系．A项用向量共线条件，列方程组求解判断；B项先表示出截面面积，当t=1时截面面积最大；C项作截面判断；D项利用空间向量求线面角正弦值，再根据二次函数单调性判断．【变式训练】练11.(2022·广东省·联考)已知四面体A-BCD为正四面体，AB=2，E，F分别是AD，BC的中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为(

)A.1 B.2 C.3 D.2练12.(2022·安徽省·月考)在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA=VB=VC=1(单位：dm)，小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积(单位：dm2)的最大值是(

)A.14 B.24 C.34【规律方法】熟练掌握正六面体横截、竖截、斜截后的平面图形，圆柱体经过横截、竖截、斜截后的平面图形.结合线、面平行的判定与性质求截面问题，结合线、面垂直的判定与性质求截面问题有关截面最值问题求解策略：（1）转化为建立函数模型求解最值问题，或利用基本不等式求解；（2）猜想法求最值，需要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等.探究2：几何体折叠问题【典例剖析】例2.(2022·全国·联考)为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为4π3，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正确的是(

)A.经过三个顶点A,B,C的球的截面圆的面积为π4

B.异面直线AD与CF所成的角的余弦值为58

C.多面体ABCDEF的体积为94

D.球面上的点离球托底面选题意图:选题意图:空间几何体的折叠问题,需要正确地分析出折叠前后图形中的基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合，会将空间问题平面化，利用正余弦定理解决平面问题.本题以真实生活情境为背景，考查的知识点较多，对空间想象能力和数学运算能力的要求较高.思维引导:本题考查了正弦定理，余弦定理，球的表面积和体积，异面直线所成角和直线与平面所成的角等知识点．构建一个底面边长为2，高为3的正三棱柱DEF-D【变式训练】练21.(2022·全国·模拟)平行四边形ABCD，点E,F分别在AB,CD上，且EF//BC，点P是AD上的动点，BF和PE中点分别是M和N，把四边形AEFD沿EF折起，则(

)A.直线CN和直线PM是异面直线 B.直线BN和直线DM是异面直线

C.存在点P，使得直线MP//平面CDF D.存在点P，使得平面MNP//平面练22.(2022·湖北省·模拟)在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC-A1B1C1展开得到平面图如图所示，∠ABC=90∘，AA1=AB，P为AB1的中点，A.P，Q，C，B四点共面

B.A1C⊥AB1

C.几何体A-PQCB和直三棱柱ABC-A1B【规律方法】解决与折叠有关问题的关键是搞清折叠前后的变化量与不变量，一般情况下，折现同一侧的线段长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口；在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.探究3：动态问题【典例剖析】例3.(2022·湖北省·联考)如图，已知a，b是相互垂直的两条异面直线，直线AB与a，b均相互垂直，垂足分别为A，B，且AB=23，动点P，Q分别位于直线a，b上，且P异于A，Q异于B.若直线PQ与AB所成的角θ=π6，线段PQ的中点为M，下列说法正确的是(

)A.PQ的长度为定值

B.三棱锥A-BPQ的外接球的半径长为定值

C.三棱锥A-BPQ的体积为定值

D.点M到AB的距离为定值选题意图:选题意图:立体几何中的动态问题是指空间图形中的某些点线面的位置是不确定的，可变的一类开放型问题，是学生进行思考、转化的障碍，但又因其是可变的、开放的，更有助于空间想象能力及综合思维能力的培养。关键是抓住变化过程中不变的位置关系和数量关系，事实上动静是相对的，以静制动是处理立体几何中动态元素的良策，解此类问题还要回归到最本质的定义、定理、性质或现有结论中．思维引导:本题主要考查锥体体积的计算，球与多面体的切接问题，立体几何中的定值问题等知识，属于中等题．根据题意，将图形还原为长方体，进而根据题意求出PE，PQ，进而判断A，B；根据VA-BPQ【变式训练】练31.(2022·广东省·模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，AC∩BD=O，M是PC上的一动点，当点M满足

时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)练32.(2021·湖南省·联考)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，AB，A1D1的中点分别是P，Q，直线PQ与正方体的外接球O相交于M，NA.32+62 B.2【规律方法】立体几何中空间动点轨迹的判断会求轨迹的长度，一般根据