拓展专题3极值点偏移问题（学生版）

拓展专题3极值点偏移问题极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常出现在高考压轴题中，这类问题往往思维要求高，过程较为繁琐，计算量较大，学生往往写几步就写不下去了，实际上解决极值点偏移问题，有三大法宝：其一是：构造极值对称差函数法；其二是：消元构造一元函数法；其三是：利用指数、对数平均不等式。三者各有千秋，独具各色.极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常出现在高考压轴题中，这类问题往往思维要求高，过程较为繁琐，计算量较大，学生往往写几步就写不下去了，实际上解决极值点偏移问题，有三大法宝：其一是：构造极值对称差函数法；其二是：消元构造一元函数法；其三是：利用指数、对数平均不等式。三者各有千秋，独具各色.——江苏省清江中学高级教师崔绪春探究1：构造极值对称差函数【典例剖析】例1.(2022·江苏省连云港市期末)已知函数f(x)=lnx+2ax(1)若a=2，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个不相等的零点x1，x2，证明：选题意图:选题意图:极值点偏移问题，以导数为背景，考查函数与方程、数形结合、转化的数学思想，思维跨度大、问题多变的特点.构造对称差函数是解决此类问题的常见方法，本题第（2）问采用该方法，帮助梳理思路并掌握解题方法.思维引导：第（2）问结合函数单调区间，得到零点x1,x2的范围；分析要证不等式x1+x【变式训练】练11(2022·江西省联考)已知函数f(x)=ln(1)证明：f(x+1)≤x.(2)若函数h(x)=2xf(x)，若存在x1<x2使练12(2022·山东省模拟)已知函数f(x)=2ex+ax-1．

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)从下列两个选项中任选一个求解：

①当a=3时，设函数g(x)=f(x)+x3-x2，若x1+x【规律方法】构造对称差函数是极值点偏移问题的一种通性解法,主要用来解决两数和或者积与极值点相关的不等式证明问题.对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧,然后根据函数的单调性,通过两个变量之间的关系“减元”,建立新函数,最终将问题转化为函数的单调性来求解.例：已知函数fx满足fx1=fx2(x1<x2),求证:x1+x2>2x0

(1)求函数f(x)的导数f'(x),确定函数f(x)的单调区间,求出极值点,确定x1<x0<x2;

(2)构造函gx=fx-f2x0-x,x<x0,注意gx0=0;

(3)求函数g(x)的导函数g'(x),确定g(x)在x<探究2：消元构造一元函数【典例剖析】例2.(2022·辽宁省沈阳市月考)已知函数fx(1)讨论函数fx(2)若函数fx在定义域内有两个不同的零点x=1\*GB3①求a的取值范围；=2\*GB3②证明：x1+x2选题意图选题意图：极值点偏移问题，有时构造对称差函数涉及极限问题，该题可考虑消参减元，其中比差值换元是另一常见的方法，构造一元函数，研究函数的单调性.数，思维引导：第=2\*GB3②问，通过fx1=0,fx2=0消去待证不等式中的参数a，变形使不等式中出现x1x【变式训练】练21(2022·广东省联考)已知f(x)=-12x(1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1，求函数g(x)的单调区间；(2)已知h(x)=f(x)-g(x)的两个零点为x1，x2(x1<x练22(2022·重庆市模拟)x1和x2是关于x(1)求实数a的取值范围；(2)若x2-x【规律方法】消元构造一元函数是解决极值点偏移的另一种简单快捷的方法.利用两数之比(差)作为变量t,继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解,将双变量问题转化为单变量问题,从而实现消元的目的.例：已知函数fx=ex-ax有两个零点分别为x1,x2,若a∈e,+∞,定关系：利用方程的结构特点消去参数，建立x1,x换元：引入新变量t=x2x1,证明x1+x2>2构造函数求解：构造关于t的函数，ht=lnt-2t-1t+1，探究3：利用对数平均不等式【典例剖析】例3.(2021·江西省南昌市联考)已知函数f(x)=ln2x-x+mlnx有两个极值点x1，x2.

(1)选题意图选题意图：应用对数平均不等式链来证明双变量不等式，思路简捷，但要注意先证后用，根据证明需要合理选取其中一个，完成证明.思维引导：第（2）问给出了2种解法，方法一证明不等式x1-x2【变式训练】练31(2021·四川省成都市模拟)已知函数f(x)=2x-alnx+4a，(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)令g(x)=f(x)-sinx，若存在x1,x2∈(0,+∞)练32(2021·广东省联考)已知函数f(x)=(a+2)lnx+2x-ax(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a<-2时，若x1，x2【规律方法】对数平均不等式能有效解决含有fx1两正数a,b的对数平均定义是L(a,b)=a-blna-lnb,a≠ba,a=bab≤L(a,b)≤a+b2当a=b时，不等式成立；当a≠b时，不妨令a>b=1\*GB2⑴La,b≤a+b2↔lna-lnb>2a-ba+b↔ln=2\*GB2