2022-2023学年广东省广州市番禺区高二下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市番禺区2022-2023学年高二下学期期末数学试题本试卷共22小题，全卷满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上对应的区域内.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，又，则.故选：A.2.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，得到，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，故选：C.3.在中，点D满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意如下图所示：根据向量加法法则可知，又，所以，即，可得.故选：A.4.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，易知的定义域为.因为，所以为奇函数，图象关的原点对称.排除A，D选项；又，，所以排除C选项.故选：B.5.已知函数，则（）A.在上单调递减 B.在上单调递增C.在上单调递减 D.在上单调递增〖答案〗C〖解析〗因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则上不单调，D错.故选：C.6.近年来，电动自行车以其快捷、轻便、经济等优点成为老百姓的代步工具，但随之出现了一系列问题，如违规停放，私拉电线充电，占用安全通道等，给人民安全带来隐患.为进一步规范电动自行车管理，某社区持续开展了两轮电动车安全检查和宣传教育，为了解工作效果，该社区将四名工作人员随机分派到A，B，C三个小区进行抽查，每人被分派到哪个小区互不影响，则三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知，每个人都有去三个小区的可能性，即总共有种情况，三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员，第一类，两个小区分别为3人、1人，总共有种情况；第二类，两个小区分别为2人、2人，总共有种情况；所以三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为.故选：D.7.已知变量关于变量的回归方程为，其一组数据如下表所示：12345若，则的值大约为（）A.4.94 B.5.74 C.6.81 D.8.04〖答案〗C〖解析〗由，令，则，由题意，，，所以，解得，所以，所以，解得.故选：C.8.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，则，当时,，所以在上单调递增，，；，易知，.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于的展开式，下列说法正确的是（）A.展开式共有6项 B.展开式中各项系数之和为1C.展开式中的常数项是240 D.展开式中的二项式系数之和为32〖答案〗BC〖解析〗因为二项式的次数为6，所以展开式共有7项，故A错误；令，则展开式中各项系数之和为，故B正确；的通项为，，令，得，故展开式中的常数项为，故C正确；的展开式中的二项式系数之和为，故D错误.故选：BC.10.直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（）A.抛物线的焦点坐标为 B.的最小值为4C.对任意的直线， D.以为直径的圆与抛物线的准线相切〖答案〗BD〖解析〗抛物线的焦点，A选项错误；抛物线的焦点弦中，通径最短，故的最小值为4，B选项正确；由题意，直线斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程得，则，C选项错误；如图所示，的中点为M，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则，可知以为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.故选：BD.11.甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因为，，，若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，故A正确；若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，所以，故B正确；因为，所以，所以，故C错误；，故D正确；故选：ABD.12.如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，，分别为，的中点，则（）A.平面B.四棱锥的外接球的表面积为C.与平面所成角的正弦值为D.点A到平面的距离为〖答案〗ACD〖解析〗对于A：连接，因为平面，平面，可得由为正方形，可得，，平面，所以平面，又因为，分别为，的中点，则//，可得平面，故A正确；对于B：四棱锥的外接球即为以A为顶点，为相邻三边的正方体的外接球，则外接球的半径，所以表面积为，故B正确；如图，以A为坐标原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，对于C：可知平面的法向量，则，所以与平面所成角的正弦值为，故C正确；对于D：可得，设平面的法向量，则，令，则，即，所以点A到平面的距离为，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩，成绩不低于90分为优秀，依此估计优秀的学生人数为____________（结果填整数）.附：若，则，.〖答案〗23（22也可以）〖解析〗由每名学生的成绩，得，则，则优秀的学生人数为.故〖答案〗为：23.14.已知正数等比数列的前3项和为168，，则__________.〖答案〗3〖解析〗设正数等比数列的公比为，则的前3项和，又因为，所以，即，解得（舍），或，所以.故〖答案〗为：3.15.已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为______．〖答案〗3〖解析〗∵点不在曲线上，设切点坐标为．又∵，所以∴在处的切线方程为，∵切线过点，∴，解得，∴切线斜率为.故〖答案〗为：3．16.已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为_________.〖答案〗〖解析〗由题意得，又由椭圆的定义得，记，则，，则，所以，故，则，则，即等价于，得：或（舍）故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为正数数列的前n项的和，已知.（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前n项之和.（1）证明：因为，所以令，得，即，所以或，因为数列是正数数列，所以；当时，由，则，两式相减，即，整理得，因为，所以，所以，即所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）解：由（1）知，，所以，所以，其前n项和为，所以数列的前n项之和为.18.在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.19.某企业为在推进中国式现代化新征程中展现更大作为，在提升员工敬业精神和员工管理水平上实施新举措制定新方案.现对员工敬业精神和员工管理水平进行评价，从企业中选出200人进行统计，其中对员工敬业精神和员工管理水平都满意的有50人，对员工敬业精神满意的人数是总人数的40%，对员工管理水平满意的人数是总人数的45%.（1）完成对员工敬业精神和员工管理水平评价的列联表，依据小概率值的独立性检验能否认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联?员工敬业精神员工管理水平合计满意不满意满意不满意合计（2）若将频率视为概率，随机从企业员工中抽取3人参与此次评价，设对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.附：，.0.0500.0100.0013.84106.63510.828解：（1）由题意可得关于对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表项目对员工管理水平满意对员工管理水平不满意合计对员工敬业精神满意503080对员工敬业精神不满意4080120合计90110200零假设为：对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意无关.据表中数据计算得：，根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联.（2）对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的概率为，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，其中；；；，所以随机变量X的分布列为0123则.20.如图，三棱柱中，平面，，，，以，为邻边作平行四边形，连接和.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点F，使平面与平面垂直?若存在，求出的长；若不存在，说明理由.（1）证明：如图所示：连接，∵四边形为平行四边形，∴，又，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）解：假设存在点，使平面与平面垂直，则平面与平面的二面角为直二面角，设平面与平面的二面角的平面角为，则，如图所示：以A为坐标原点，分别以射线，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，∵，，，∴，，，，∵点在上，∴设点，∴，，，分别设平面和平面的法向量为，，则，，即，，∴取，，则，∴，即，∴，即，∴.∴线段上不存在点F，使平面与平面垂直21.已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线与双曲线在第一象限交于两点，直线交线段于点，且，证明：直线过定点.（1）解：因为双曲线的渐近线为，又因为双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，所以，又，，联立解得，所以双曲线的方程为.（2）证明：由已知有，双曲线的右焦点为，直线过双曲线的右焦点．则直线与直线的倾斜角互补，．显然直线的斜率存在，设直线的方程为．联立得，所以，因为，所以．所以，所以，整理得．所以，化简得，即，所以直线的方程为，恒过点．所以直线过定点．22.已知函数，．（1）当，求的单调递减区间；（2）若在恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，所以，令，所以，当时，，故为增函数；当时，，故为减函数，所以，即，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.（2）因为，所以，所以在上恒成立，即在上恒成立，转化为在上恒成立，令，，则且当时，恒成立，故在上为增函数，所以，即时不满足题意；当时，由，得，若，则，故在上为减函数，在上为增函数，所以存在，使得，即时不满足题意；若，则，故在上为减函数，所以，所以恒成立，综上所述，实数的取值范围是.广东省广州市番禺区2022-2023学年高二下学期期末数学试题本试卷共22小题，全卷满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上对应的区域内.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，又，则.故选：A.2.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，得到，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，故选：C.3.在中，点D满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意如下图所示：根据向量加法法则可知，又，所以，即，可得.故选：A.4.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，易知的定义域为.因为，所以为奇函数，图象关的原点对称.排除A，D选项；又，，所以排除C选项.故选：B.5.已知函数，则（）A.在上单调递减 B.在上单调递增C.在上单调递减 D.在上单调递增〖答案〗C〖解析〗因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则上不单调，D错.故选：C.6.近年来，电动自行车以其快捷、轻便、经济等优点成为老百姓的代步工具，但随之出现了一系列问题，如违规停放，私拉电线充电，占用安全通道等，给人民安全带来隐患.为进一步规范电动自行车管理，某社区持续开展了两轮电动车安全检查和宣传教育，为了解工作效果，该社区将四名工作人员随机分派到A，B，C三个小区进行抽查，每人被分派到哪个小区互不影响，则三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知，每个人都有去三个小区的可能性，即总共有种情况，三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员，第一类，两个小区分别为3人、1人，总共有种情况；第二类，两个小区分别为2人、2人，总共有种情况；所以三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为.故选：D.7.已知变量关于变量的回归方程为，其一组数据如下表所示：12345若，则的值大约为（）A.4.94 B.5.74 C.6.81 D.8.04〖答案〗C〖解析〗由，令，则，由题意，，，所以，解得，所以，所以，解得.故选：C.8.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，则，当时,，所以在上单调递增，，；，易知，.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于的展开式，下列说法正确的是（）A.展开式共有6项 B.展开式中各项系数之和为1C.展开式中的常数项是240 D.展开式中的二项式系数之和为32〖答案〗BC〖解析〗因为二项式的次数为6，所以展开式共有7项，故A错误；令，则展开式中各项系数之和为，故B正确；的通项为，，令，得，故展开式中的常数项为，故C正确；的展开式中的二项式系数之和为，故D错误.故选：BC.10.直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（）A.抛物线的焦点坐标为 B.的最小值为4C.对任意的直线， D.以为直径的圆与抛物线的准线相切〖答案〗BD〖解析〗抛物线的焦点，A选项错误；抛物线的焦点弦中，通径最短，故的最小值为4，B选项正确；由题意，直线斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程得，则，C选项错误；如图所示，的中点为M，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则，可知以为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.故选：BD.11.甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因为，，，若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，故A正确；若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，所以，故B正确；因为，所以，所以，故C错误；，故D正确；故选：ABD.12.如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，，分别为，的中点，则（）A.平面B.四棱锥的外接球的表面积为C.与平面所成角的正弦值为D.点A到平面的距离为〖答案〗ACD〖解析〗对于A：连接，因为平面，平面，可得由为正方形，可得，，平面，所以平面，又因为，分别为，的中点，则//，可得平面，故A正确；对于B：四棱锥的外接球即为以A为顶点，为相邻三边的正方体的外接球，则外接球的半径，所以表面积为，故B正确；如图，以A为坐标原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，对于C：可知平面的法向量，则，所以与平面所成角的正弦值为，故C正确；对于D：可得，设平面的法向量，则，令，则，即，所以点A到平面的距离为，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩，成绩不低于90分为优秀，依此估计优秀的学生人数为____________（结果填整数）.附：若，则，.〖答案〗23（22也可以）〖解析〗由每名学生的成绩，得，则，则优秀的学生人数为.故〖答案〗为：23.14.已知正数等比数列的前3项和为168，，则__________.〖答案〗3〖解析〗设正数等比数列的公比为，则的前3项和，又因为，所以，即，解得（舍），或，所以.故〖答案〗为：3.15.已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为______．〖答案〗3〖解析〗∵点不在曲线上，设切点坐标为．又∵，所以∴在处的切线方程为，∵切线过点，∴，解得，∴切线斜率为.故〖答案〗为：3．16.已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为_________.〖答案〗〖解析〗由题意得，又由椭圆的定义得，记，则，，则，所以，故，则，则，即等价于，得：或（舍）故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为正数数列的前n项的和，已知.（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前n项之和.（1）证明：因为，所以令，得，即，所以或，因为数列是正数数列，所以；当时，由，则，两式相减，即，整理得，因为，所以，所以，即所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）解：由（1）知，，所以，所以，其前n项和为，所以数列的前n项之和为.18.在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.19.某企业为在推进中国式现代化新征程中展现更大作为，在提升员工敬业精神和员工管理水平上实施新举措制定新方案.现对员工敬业精神和员工管理水平进行评价，从企业中选出200人进行统计，其中对员工敬业精神和员工管理水平都满意的有50人，对员工敬业精神满意的人数是总人数的40%，对员工管理水平满意的人数是总人数的45%.（1）完成对员工敬业精神和员工管理水平评价的列联表，依据小概率值的独立性检验能否认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联?员工敬业精神员工管理水平合计满意不满意满意不满意合计（2）若将频率视为概率，随机从企业员工中抽取3人参与此次评价，设对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.附：，.0.0500.0100.0013.84106.63510.828解：（1）由题意可得关于对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表项目对员工管理水平满意对员工管理水平不满意合计对员工敬业精神满意503080对员工敬业精神不满意4080120合计90110200零假设为：对员工敬业精神满意与对员工管理水