2020-2021学年北京市西城区八年级(下)期末数学试卷含答案

2020-2021学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题(本题共30分，每小题3分)第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜4 B．x≥4 C．x＞4 D．x≥02．（3分）如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数为（）A．30° B．25° C．20° D．15°3．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝3，b＝4，c＝6 D．a＝1，b＝1，c＝5．（3分）在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示：成绩/m1.551.601.651.701.751.80人数143462这些运动员成绩的众数是（）A．1.65 B．1.70 C．1.75 D．1.806．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（）A． B．2 C． D．7．（3分）下列命题中，正确的是（）A．有一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有两个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形8．（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：报名项目个数0123人数514ab其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（）A．中位数，众数 B．平均数，方差 C．平均数，众数 D．众数，方差9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），顶点B，C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（）A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3）10．（3分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（）A．24 B．10 C．12 D．36二、填空题(本题共21分，第11~15题每小题3分，第16~18题每小题3分)11．（3分）计算：（）2＝．12．（3分）已知正方形ABCD的对角线AC的长为3，则正方形ABCD的边长为．13．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5cm，则AD的长是cm．14．（3分）已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF平分∠AEC交BC于点F．若AD＝7，AE＝CD＝3，则BF的长为．16．（2分）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为．17．（2分）为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表：甲组1112131415乙组x6758如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么x＝．18．（2分）如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．（1）∠DAE＝°；（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB+PC的最小值为．三、解答题(本题共49分，第19~25题每小题6分，第26题7分)19．（6分）计算：（1）3×；（2）+÷．20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF，EF与对角线AC相交于点O．求证：OE＝OF．21．（6分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．（1）图中DE＝尺，EB＝尺；（2）求水的深度与这根芦苇的长度．22．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；（2）如图2，当D是AB的中点时，①四边形ADCE的形状是；（填“矩形”、“菱形”或“正方形”）②若AB＝10，ED＝8，则四边形ADCE的面积为．23．（6分）对于函数y＝|x﹣1|，小芸探究了该函数的部分性质，下面是小芸的探究过程，请补充完整：（1）①对于函数y＝|x﹣1|，当x≤1时，y＝﹣x+1；当x＞1时，y＝；②当x≤1时，函数y＝|x﹣1|的图象如图所示，请在图中补全函数y＝|x﹣1|的图象；（2）当y＝3时，x＝；（3）若点A（﹣1，y1）和B（x2，y2）都在函数y＝|x﹣1|的图象上，且y2＞y1，结合函数图象，直接写出x2的取值范围．24．（6分）某校七年级和八年级学生人数都是200人，学校想了解这两个年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七、八年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图（不完整）如图（两个年级的数据都分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12）．b．八年级学生一周阅读时长在6≤x＜8这一组的数据是：66666.56.577777.57.5．c．七、八年级学生一周阅读时长的平均数、中位数和众数如表：年级平均数中位数众数七年级6.22577八年级6.375m8根据以上信息，回答下列问题：（1）图1中p%＝%；（2）①补全八年级学生一周阅读时长统计图（图2）；②上表中m的值为．（3）将收集的这80名学生的数据分年级由大到小进行排序，其中有一名学生一周阅读时长是6.5小时，排在本年级的前20名，由此可以推断他是年级的学生；（填“七”或“八”）（4）估计两个年级共400名学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，作射线OB．给出如下定义：如果点P在∠BOA的内部过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，那么称PM与PN的长度之和为点P关于∠BOA的“内距离”，记作d（P，∠BOA），即d（P，∠BOA）＝PM+PN．（1）如图1，若点P（3，2）在∠BOA的平分线上，则PM＝，PN＝，d（P，∠BOA）＝；（2）如图2，若∠BOA＝75°，点C（a，a）（其中a＞0）满足d（C，∠BOA）＝2+，求a的值；（3）若∠BOA＝60°，点Q（m，n）在∠BOA的内部，用含m，n的式子表示d（Q，∠BOA），并直接写出结果．26．（7分）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．（1）如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD；①△AOB与△全等，∠OBA+∠ADC＝°；②若OA＝a，OB＝b，则BD＝；（用含a，b的式子表示）（2）如图2，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．四、填空题(本题6分)27．（6分）在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系：例如：由（+1）（﹣1）＝1，可得+1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝+1．类似地，＝﹣，＝+；＝2﹣，＝2+；…．根据小腾发现的规律，解决下列问题：（1）＝，＝；（n为正整数）（2）若＝2﹣m，则m＝；（3）计算：＝．五、解答题(本题共14分，第28题6分，第29题8分)28．（6分）如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，∠ACD＝α（60°＜α＜120°），点P，Q，M分别是AD，CD，CE的中点．（1）求∠PQM的度数；（用含α的式子表示）（2）若点N是BC的中点，连接NM，NP，PM，求证：△PNM是等边三角形．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），我们将|x1﹣x2|+2|y1﹣y2|称为点M与点N的“纵2倍直角距离”，记作dMN．例如：点M（﹣2，7）与N（5，6）的“纵2倍直角距离”dMN＝|﹣2﹣5|+2|7﹣6|＝9．（1）①已知点P1（1，1），P2（﹣4，0），P3（0，），则在这三个点中，与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点是；②已知点P（x，y），其中y≥0．若点P与原点O的“纵2倍直角距离”dPO＝3，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形．（2）若直线y＝2x+b上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，求b的取值范围；（3）已知点A（1，1），B（3，1），点T（t，0）是x轴上的一个动点，正方形CDEF的顶点坐标分别为C（t﹣，0），D（t，），E（t+，0），F（t，﹣）．若线段AB上存在点G，正方形CDEF上存在点H，使得dGH＝5，直接写出t的取值范围．

2020-2021学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共30分，每小题3分)第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜4 B．x≥4 C．x＞4 D．x≥0【解答】解：在实数范围内有意义，则x﹣4≥0，解得：x≥4．故选：B．2．（3分）如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数为（）A．30° B．25° C．20° D．15°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A＝70°，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，故选：C．3．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是最简二次根式；B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；C、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；D、＝10，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故选：A．4．（3分）下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝3，b＝4，c＝6 D．a＝1，b＝1，c＝【解答】解：A、12+22≠22，故不能构成直角三角形，不符合题意；B、22+32≠42，故不能构成直角三角形，不符合题意；C、32+42≠62，故不能构成直角三角形，不符合题意；D、12+12＝（）2，故能构成直角三角形，符合题意．故选：D．5．（3分）在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示：成绩/m1.551.601.651.701.751.80人数143462这些运动员成绩的众数是（）A．1.65 B．1.70 C．1.75 D．1.80【解答】解：这组数据中1.75米出现了6次，次数最多，故这组数据的众数是1.75．故选：C．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（）A． B．2 C． D．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，则由勾股定理知：AB＝＝＝，又∵D为AB的中点，∴CD＝AB＝．故选：C．7．（3分）下列命题中，正确的是（）A．有一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有两个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形【解答】解：A、有一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，本选项说法错误，不符合题意；B、有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形，本选项说法错误，不符合题意；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项说法错误，不符合题意；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，本选项说法正确，符合题意；故选：D．8．（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：报名项目个数0123人数514ab其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（）A．中位数，众数 B．平均数，方差 C．平均数，众数 D．众数，方差【解答】解：∵共有30名学生报名这3个项目，把这些数从小到大排列，中位数是第15、16个数的平均数，则不报的和报1个的就有19人了，所以中位数不会发生改变，因为报2个项目和3个项目的一共有11人，而报1个项目的就有14人，所以众数也不会发生改变．故选：A．9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），顶点B，C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（）A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3）【解答】解：延长BC交x轴于H，∵菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），∴OA＝OC＝BC＝2，AO∥BC，∴∠BHO＝∠AOH＝90°，∵点C的纵坐标为1，∴CH＝1，BH＝3，∴OH＝＝＝，∴点B（，3），故选：D．10．（3分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（）A．24 B．10 C．12 D．36【解答】解：在图1中，作BE⊥AD，垂足为E，在图2中，取M（6，6），N（12，10），当点P从点A到点B时，对应图2中OM线段，得AB＝x＝6，当点P从B到D时，对应图2中曲线MN从点M到点N，得AB+BD＝x＝12，解得BD＝6，当点P到点D时，对应图2中到达点N，得AD＝AP＝y＝8＝10，在△ABD中，AB＝BD＝6，AD＝10，BE⊥AD，解得AE＝5，在Rt△ABE中，AB＝6，AE＝5，BE²+AE²＝AB²，解得BE＝，∴▱ABCD的面积＝AD×BE＝10×＝10，故选：B．二、填空题(本题共21分，第11~15题每小题3分，第16~18题每小题3分)11．（3分）计算：（）2＝7．【解答】解：原式＝7，故答案为：7．12．（3分）已知正方形ABCD的对角线AC的长为3，则正方形ABCD的边长为3．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵AC2＝AB2+BC2，∴18＝2AB2，∴AB＝3，故答案为3．13．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5cm，则AD的长是10cm．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO＝DO，∵点E是AB的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴AD＝2OE，∵OE＝5cm，∴AD＝10cm．故答案为：10．14．（3分）已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝2．【解答】解：∵n是正整数，且也是正整数，∴18﹣n是一个完全平方数，∵18﹣n≥0，解得：n≤18，∴0＜n≤18，则18﹣n＝12，解得：n＝17，或18﹣n＝22，解得：n＝14，或18﹣n＝32，解得：n＝9，或18﹣n＝42，解得：n＝2，当18﹣n＝52时，解得：n＝﹣7，不符合n的范围．故答案为：2或9或14或17（只填一个即可）．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF平分∠AEC交BC于点F．若AD＝7，AE＝CD＝3，则BF的长为2．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝7，∴∠AEF＝∠EFC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∵AD＝7，AE＝CD＝3，∴DE＝4，∴EC＝＝＝5，∴FC＝5，∴BF＝2，故答案为2．16．（2分）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为4．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为10，∴AD2＝10，∴DH＝＝＝1，∵△AHD≌△DGC，∴AH＝DG＝3，∴HG＝DG﹣DH＝2，∴正方形EFGH的面积＝HG2＝4，故答案为：4．17．（2分）为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表：甲组1112131415乙组x6758如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么x＝4或9．【解答】解：甲组的平均数是×（11+12+13+14+15）＝13（h），则甲的方差S2＝[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，乙组的平均数为＝（h），乙的方差为：[（x﹣）2+（6﹣）2+（7﹣）2+（5﹣）2+（8﹣）2]，由题意得[（x﹣）2+（6﹣）2+（7﹣）2+（5﹣）2+（8﹣）2]＝2，解得x＝4或x＝9，故答案为：4或9．18．（2分）如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．（1）∠DAE＝15°；（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB+PC的最小值为．【解答】解：（1）∵△DAC是等边三角形，∴∠DAC＝∠ADC＝60°，AD＝DC，∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝DE，∠EDC＝90°，∴△ADE是等腰三角形，∴∠DAE＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°，故答案为15°；（2）作C点关于AE的对称点C'，连接C'B与AE交点为P，∴PB+PC＝BC'，∵∠EAD＝15°，∠DAC＝60°，∴∠GAC＝45°，∵AG⊥CG，∴∠DCA＝45°，∵AC＝2，∴GC＝，∴CC'＝2，过C'作C'H⊥AC，则△C'CH为等腰直角三角形，∴C'H＝2，∴H与A重合，∴C'A⊥AC，在Rt△ABC'中，AB＝AC+BC＝5，AC'＝2，∴BC'＝，∴PB+PC的最小值为，故答案为．三、解答题(本题共49分，第19~25题每小题6分，第26题7分)19．（6分）计算：（1）3×；（2）+÷．【解答】解：（1）原式＝3＝6；（2）原式＝3+＝3+＝4．20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF，EF与对角线AC相交于点O．求证：OE＝OF．【解答】证明：如图，连接AF，CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵BE＝DF，∴AB﹣BE＝CD﹣DF，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF．21．（6分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．（1）图中DE＝1尺，EB＝5尺；（2）求水的深度与这根芦苇的长度．【解答】解：（1）由题意可得：DE＝1尺，BE＝AB＝5尺；故答案为：1，5；（2）设芦苇长DC＝BC＝x尺，则水深EC＝（x﹣1）尺，在Rt△ECB中，52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13，则EC＝13﹣1＝12（尺），答：芦苇长13尺，水深为12尺．22．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；（2）如图2，当D是AB的中点时，①四边形ADCE的形状是菱形；（填“矩形”、“菱形”或“正方形”）②若AB＝10，ED＝8，则四边形ADCE的面积为24．【解答】（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AC＝ED．（2）①解：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴AD＝CD＝BD，∴四边形ADCE是菱形，故答案为菱形；②∵四边形ADCE是菱形，∴AC⊥DE，又∵AC⊥BC，∴DE∥BC，∵CE∥AB，∴四边形ECBD是平行四边形，∴DE＝BC＝8，∵AB＝10，∴AC＝＝＝6，∴四边形ADCE的面积为＝＝24．故答案为24．23．（6分）对于函数y＝|x﹣1|，小芸探究了该函数的部分性质，下面是小芸的探究过程，请补充完整：（1）①对于函数y＝|x﹣1|，当x≤1时，y＝﹣x+1；当x＞1时，y＝x﹣1；②当x≤1时，函数y＝|x﹣1|的图象如图所示，请在图中补全函数y＝|x﹣1|的图象；（2）当y＝3时，x＝﹣2或4；（3）若点A（﹣1，y1）和B（x2，y2）都在函数y＝|x﹣1|的图象上，且y2＞y1，结合函数图象，直接写出x2的取值范围．【解答】解：（1）①对于函数y＝|x﹣1|，当x≤1时，y＝﹣x+1；当x＞1时，y＝x﹣1；故答案为：x﹣1；②函数图象如图所示；（2）把y＝3代入y＝﹣x+1求得x＝﹣2，把y＝3代入y＝x﹣1求得x＝4，∴当y＝3时，x＝﹣2或4，故答案为﹣2或4；（3）∵函数图象关于直线x＝1对称，∴x＝﹣1和x＝3时的函数值相同，观察图象，当y2＞y1时，x2＜﹣1或x2＞3．24．（6分）某校七年级和八年级学生人数都是200人，学校想了解这两个年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七、八年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图（不完整）如图（两个年级的数据都分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12）．b．八年级学生一周阅读时长在6≤x＜8这一组的数据是：66666.56.577777.57.5．c．七、八年级学生一周阅读时长的平均数、中位数和众数如表：年级平均数中位数众数七年级6.22577八年级6.375m8根据以上信息，回答下列问题：（1）图1中p%＝10%；（2）①补全八年级学生一周阅读时长统计图（图2）；②上表中m的值为6.25．（3）将收集的这80名学生的数据分年级由大到小进行排序，其中有一名学生一周阅读时长是6.5小时，排在本年级的前20名，由此可以推断他是八年级的学生；（填“七”或“八”）（4）估计两个年级共400名学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数．【解答】解：（1）图1中p%＝1﹣（5%+22.5%+27.5%+30%+5%）＝10%，即p＝10，故答案为：10；（2）①4≤x＜6的人数为40﹣（5+12+10+2）＝11（人），补全图形如下：②由题意知，这组数据的第20、21个数据为6、6.5，所以这组数据的中位数m＝＝6.25，故答案为：6.25；（3）∵这名学生一周阅读时长是6.5小时，大于八年级阅读时长的中位数6.25小时，而小于七年级阅读时长7小时，∴可以推断他是八年级的学生，故答案为：八．（4）一周阅读时长不低于8小时的人数为200×（30%+5%）+200×＝130（人）．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，作射线OB．给出如下定义：如果点P在∠BOA的内部过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，那么称PM与PN的长度之和为点P关于∠BOA的“内距离”，记作d（P，∠BOA），即d（P，∠BOA）＝PM+PN．（1）如图1，若点P（3，2）在∠BOA的平分线上，则PM＝2，PN＝2，d（P，∠BOA）＝4；（2）如图2，若∠BOA＝75°，点C（a，a）（其中a＞0）满足d（C，∠BOA）＝2+，求a的值；（3）若∠BOA＝60°，点Q（m，n）在∠BOA的内部，用含m，n的式子表示d（Q，∠BOA），并直接写出结果．【解答】解：（1）如图1中，∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM＝PN，∵P（3，2），∴PM＝PN＝2，∴d（P，∠BOA）＝2+2＝4，故答案为：2，2，4．（2）如图2中，过点C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．∵C（a，a），∴EC＝OE＝a，OC＝a，∴∠EOC＝45°，∵∠AOB＝75°，∴∠COF＝75°﹣45°＝30°，∵CF⊥OB，∴CF＝OC＝a，∵d（C，∠BOA）＝2+，∴a+a＝2+，∴a＝2．（3）如图3中，过点Q作QE⊥OA于E，QF⊥OB于F，延长FQ交x轴于J．∵Q（m，n），∴QE＝n，OE＝m，∵∠JFO＝90°，∠FOJ＝60°，∴∠QJE＝30°，∵∠QEJ＝90°，∴QJ＝2QE＝2n，EJ＝EQ＝n，∴OJ＝OE+EJ＝m+n，∴FJ＝OJ•cos30°＝（m+n）•＝m+n，∴FQ＝FJ﹣QJ＝m+n﹣2n＝m﹣n，∴d（Q，∠BOA）＝QE+QF＝n+m﹣n＝m+n．26．（7分）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．（1）如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD；①△AOB与△DCA全等，∠OBA+∠ADC＝90°；②若OA＝a，OB＝b，则BD＝（a+b）；（用含a，b的式子表示）（2）如图2，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．【解答】解：（1）①∵CD∥OB，∴∠AOB＝∠DCA＝90°，在△AOB和△DCA中，，∴△AOB≌△DCA（SAS），∴∠ABO＝∠CAD，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠ABO+∠ADC＝90°，故答案为：DCA，90．②如图1中，过点D作DR⊥BO交BO的延长线于R．∵△AOB≌△DCA，∴OA＝CD＝a，OB＝AC＝b，∵∠R＝∠ROC＝∠DCO＝90°，∴四边形OCDR是矩形，∴OR＝CD＝a，DR＝OC＝a+b，∴RB＝a+b，∴BD＝＝＝（a+b）．故答案为：（a+b）．（2）β的大小不变，β＝45°．理由：如图2中，过点C作CW⊥AC，使得CW＝OA．在△AOB和△WCA中，，∴△AOB≌△WCA（SAS），∴AB＝AW，∠ABO＝∠CAW，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO+∠CAW＝90°，∴∠BAW＝90°，∴∠AWB＝45°，∵BE＝OA，CW＝OA，∴BE＝CW，∵CW∥OB，∴四边形BECW是平行四边形，∴EC∥BW，∴∠CJW＝∠AWB＝45°，∵∠CJW＝∠CAW+∠ECO，∠CAW＝∠ABO，∴β＝∠ABO+∠ECO＝45°，四、填空题(本题6分)27．（6分）在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系：例如：由（+1）（﹣1）＝1，可得+1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝+1．类似地，＝﹣，＝+；＝2﹣，＝2+；…．根据小腾发现的规律，解决下列问题：（1）＝﹣，＝﹣；（n为正整数）（2）若＝2﹣m，则m＝±；（3）计算：＝9．【解答】解：（1）（1）＝﹣，＝﹣；（n为正整数）故答案为﹣，﹣；（2）∵＝2﹣m，∴（2+m）（2﹣m）＝1，∴8﹣m2＝1，解得m＝±；故答案为±；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+•••+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．故答案为9．五、解答题(本题共14分，第28题6分，第29题8分)28．（6分）如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，∠ACD＝α（60°＜α＜120°），点P，Q，M分别是AD，CD，CE的中点．（1）求∠PQM的度数；（用含α的式子表示）（2）若点N是BC的中点，连接NM，NP，PM，求证：△PNM是等边三角形．【解答】解：（1）∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝60°，∵点P，Q，M分别是AD，CD，CE的中点．∴PQ∥AC，QM∥DE，∴∠ACD+∠PQC＝180°，∠CQM＝∠CDE＝60°，∠ACD＝∠PQD＝α，∴∠PQC＝180°﹣α，∴∠PQM＝∠PQC+∠CQM＝240°﹣α；（2）如图，取AC的中点，H，连接PH，NH，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，CD＝DE＝CE，