人教版六年级数学上册【详解】六年级（上）第03讲 递推计数仅答案

第三讲递推计数例题答案：927

详解：将作文数量与完成作文的方法数列成一张表格，如下所示：

作文数作文数123456789101112完成方法数124713244481149274504927下面解释一下这张数表是如何累加得到的．写1、2、3篇作文的方法数可以枚举得到．写4篇作文的完成方法数可以分三类去数：如果第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下3篇有4种完成方法；如果第一天写2篇，同样参考数表可得，剩下2篇有2种完成方法；如果第一天写3篇，那么剩下1篇还有1种完成方法——因此4篇作文的完成方法总数为，如上表箭头所示．接着分析5篇作文的完成方法数，仍然分三类：第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下4篇还有7种完成方法；第一天写2篇，那么剩下3篇还有4种完成方法；第一天写3篇，那么剩下2篇还有2种完成方法——因此5篇作文的完成方法数等于……以此类推便可填满整张表格．答案：28

详解：我们同样可以列出一个递推数列，将其表示如下：

方格表大小覆盖方法数1123469131928

下面详细说明该问题的递推规律．覆盖1×3、2×3和3×3方格表的方法数可以枚举得到．接着分析覆盖4×3的表格有几种覆盖方法．如下图所示，左上角的阴影方格在覆盖的时候有两种方法：竖着覆盖或横着覆盖．当竖着覆盖时，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2；当横着覆盖时，其下方的方格只能被横放的纸片盖住，因此只剩下一个1×3的方格表需要覆盖，方法数为1．由此可得4×3表格的方法数为2+1=3．用同样的方法分析5×3方格表大小覆盖方法数1123469131928余下部分是的方格表，覆盖方法有2种．阴影方格下方的格子只能用横放的纸片盖住，因此只剩下的方格表需要覆盖．答案：5051

详解：我们同样可以列出一个递推数列，将其写为如下的一张数表：

直线数量12345…100平面被分成的区域数量24711165051…

下面详细说明该递推过程．平面上有1、2、3条直线的情形画图即可解决，我们从第4条直线开始分析．如右图所示，当画上第4条直线时，会把原有的区域一分为二（如编号为I、II、III、IV的4个区域），因此会增加4个新区域．而之所以能产生4个新区域，就是由于第4条直线会与原有的3条直线产生3直线数量12345…100平面被分成的区域数量24711165051…第4条IIIIIIIVIIIIIIIV增加第n条直线产生个交点第n条直线被分成n部分直线的每一部分都分出一个新区域增加n个新区域ABCD010001011123222367774212020205606161616183182182182754654754754781641164016401640答案：1641

详解：本题的方法称为“传球法”．传球法在很多问题中有着广泛的应用．如右侧表格所示，除了第“0”行外，其余每一行的数量都是由上一行的数量通过某种规则累加得到的．比如第“1”行A下方的0，就是通过第“0”行B、C、D的数量相加得到的；第“3”行B下方的7，就是通过第“2”行A、C、D的数量相加得到的；第“4”行C下方的20，就是通过第“5”行A、B、D的数量相加得到的；第“6”行D下方的182，就是通过第“5ABCD0100010111232223677742120202056061616161831821821827546547547547816411640164016401230111123326883162222444606051201641646328448448答案：1224

详解：我们把这个七位数看作是1、2、3三个人之间传6次球的一个传球顺序，具体的传球规则是：1能传球给2、3，但不能给自己；2、3都能传球给1、2、1230111123326883162222444606051201641646328448448答案：42

详解：我们依照连续偶数的次序进行递推累加．（1）圆周上有2个点，只有1种连法．（2）圆周上有4个点，只有2种连法．（3）圆周上有6个点A1、A2、A3、A4、A5、A6（如下左图），那么与A1相连的点只能是A2、A4或A6．依次分三类情况讨论：第一，A1连A2，剩下4个点连法数为2；第二，A1连A4，剩下4个点连法数为1；第三，A1连A4，剩下4个点连法数也为2．由此可得，6个点共有5种不同的连法．（4）如果圆周上有8个点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8（如下右图），那么与A1相连的点有四种可能，分别是A2、A4、A6或A8．以此分四类讨论，共14种方法．

A3A1A2A4A5A6A1A2A3A4A5A6A7A8还剩4个点，2种方法．1种方法．还剩4个点，2种方法．还剩6个点，共5种方法．剩余个点，方法数为．剩余个点，方法数为．还剩6个点，共5种方法．6个点共5种方法8个点共14种方法（5）如果圆周上有10个点，同样考虑能与A3A1A2A4A5A6A1A2A3A4A5A6A7A8还剩4个点，2种方法．1种方法．还剩4个点，2种方法．还剩6个点，共5种方法．剩余个点，方法数为．剩余个点，方法数为．还剩6个点，共5种方法．6个点共5种方法8个点共14种方法A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10剩余8个点共14种方法剩余个点共种方法剩余个点共种方法剩余个点共种方法剩余8个点共14种方法AABCDEF

练习：

练习1、答案：12简答：仿照例题1进行分类讨论，列出如下数表进行累加即可，注意累加规则．

台阶数台阶数123456789101112上台阶方法数0111223457912练习2、

答案：21简答：仿照例题2，找到左上角的方格，按照该方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两类讨论即可得递推规则．

方格表大小覆盖方法数方格表大小覆盖方法数123581321练习3、答案：1276简答：本题与直线分平面的问题本质相同，因此与例题3类似进行递推即可．如下表所示

直线数量直线数量12345…50圆被分成的区域数量24711161276……练习4、答案：43简答：本题的传球规则和例题4相同，都只能把球传给别人，因此累加规则也相同．但最后的拿球人不是发球人这一点要注意！

作业：答案：89

简答：

蛋黄派数蛋黄派数12345678910吃的方法数123581321345589答案：36

简答：

石子数石子数123456789101112抓取方法数01122458111724360123401234001111143333212131313133525151515142042052052052055820819819819819632763277327732773277答案：3277

简答：如右表所示，用传球法列表解决．传球规则是：0不能发球，其它都可以发球；传球不能传给自己，只能传给别人；总共传球传6次．答案：29

简答：如下方左图所示，和例题2类似，找到某个方格，依据这个方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两种情况讨论．